エタール代数

$N^r=0$ とすると $C/N^{i+1}\to C/N^i$ の核 $N^i/N^{i+1}$ の二乗は零である。$2i\ge i+1$ だからである。平方零の場合の唯一の持上げを $i=1,\ldots,r-1$ について有限回続けると $C$ への持上げが得られる。二つの持上げが最初の商で一致すれば、同じ有限帰納により各段で一致する。
$c$ の商での逆元を $d$ に持ち上げると $cd=1+z$、$z\in N$ である。有限和 $\sum_{i=0}^{r-1}(-z)^i$ は $1+z$ の逆元で、$d\sum_i(-z)^i$ が $c$ の逆元となる。

有限表示は、逆元を表す一変数 $Y$ と関係 $hY-1$ を加えることで得られる。平方零 $N\subset C$ と $u:B\to C/N$ を取り、変数像の持上げを $c=(c_1,\ldots,c_n)$ とする。$f_i(c)\in N$ で、$h(c)$ と $\det J(c)$ は商で単元だから $C$ でも単元である。随伴行列の公式により $J(c)$ は可逆である。
$\nu=-J(c)^{-1}(f_i(c))_i\in N^n$ とおく。多項式の各単項式を展開すると、二つ以上の $\nu$ を含む項は $N^2=0$ により消え、
$$f_i(c+\nu)=f_i(c)+\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial X_j}(c)\nu_j=0$$
となる。$h(c+\nu)$ は同じ商で単元なので、$X_j\mapsto c_j+\nu_j$ は局所化した商 $B$ から $C$ への持上げを定める。
二つの持上げの像 $c',c''$ の差 $\mu\in N^n$ は $J(c')\mu=0$ を満たす。可逆性から $\mu=0$ で、変数像が一致する。局所化への写像は逆元像まで一意なので写像全体も一致する。一般の冪零試験は前補題で扱う。$n=0$ なら空行列式は1で、$B=A_h$ の主張となる。

$T=I/I^2$、$F=B^n$ とおく。$A$ 導分 $P\to M$ は $X_j$ の値を任意に指定することと同じで、$B$ 線形写像 $F\to M$ に対応する。積則による単項式の微分計算から、任意の導分は $D(f)=\sum_j(\partial f/\partial X_j)D(X_j)$ を満たす。$I$ を零にする条件は対応写像が $\delta(T)$ を零にすることなので、$\Omega_{B/A}$ は $F/\delta(T)$ に同型である。これが必要な余法線列の右完全性を直接与える。
エタールなら平方零商 $P/I^2\to B$ の恒等写像を持ち上げる切断 $s:B\to P/I^2$ がある。$D(p)=p\bmod I^2-s(\bar p)$ は $T$ に値を取る。積を展開すると $D(pq)=\bar pD(q)+\bar qD(p)$ なので導分であり、$f\in I$ に対して $D(f)=\bar f$ である。従って対応写像 $r:F\to T$ は $r\delta=1_T$ を満たし、$\delta$ は単射である。
一意性は $\Omega_{B/A}=0$ を意味する。実際、任意の $B$ 加群 $M$ に平方零環 $B\oplus M$ を積 $(b,x)(c,y)=(bc,by+cx)$ で入れる。導分 $d:B\to M$ は $b\mapsto(b,d(b))$ という恒等写像の持上げを与え、零導分と同じ商写像を持つので一意性から $d=0$ となる。普遍導分を $M=\Omega_{B/A}$ に取ると全生成元 $db$ が零となり、微分加群は零である。よって $\delta$ は全射でもある。
逆に $\delta$ が同型とする。平方零試験 $u:B\to C/N$ に対し、変数像を選んで持ち上げた $v:P\to C$ を取る。$v(I)\subset N$、$v(I^2)=0$ なので、$v$ は $B$ 線形写像 $q:T\to N$ を定める。$N$ の $B$ 作用は $u$ を通じて定義される。$q\delta^{-1}:F\to N$ に対応する導分 $D:P\to N$ を取り、$v'=v-D$ とする。$N^2=0$ と積則より $v'$ は $A$ 代数写像であり、$f\in I$ について $D(f)=q(\bar f)=v(f)$ だから $v'(I)=0$。よって $B$ への写像に降り、持上げが存在する。
二つの持上げの差は同じ積の展開により $A$ 導分 $B\to N$ である。その導分は $F/\delta(T)=0$ を経由するので零、従って一意である。一般冪零試験は有限反復で扱う。

$\delta:T\to F$ は前定理で同型である。$\mathfrak p\subset P$ を $\mathfrak q$ の逆像とする。$T_{\mathfrak q}\cong B_{\mathfrak q}^n$ の基底を $f_i$ の剰余で選べる。局所化した基底を選んだ場合も分母を単元倍して $I$ の実際の元で表せる。従って Jacobi 行列式 $\Delta$ は $\mathfrak q$ に入らない。
基底の生成性より、$P_{\mathfrak p}$ で $I_{\mathfrak p}=(f_1,\ldots,f_n)+I_{\mathfrak p}^2$ である。有限生成加群 $Q=I_{\mathfrak p}/(f_1,\ldots,f_n)$ は $Q=I_{\mathfrak p}Q$ を満たす。$I_{\mathfrak p}$ は局所環の極大イデアルに含まれるので $Q=0$ である。必要な Nakayama 計算は次の通りである。有限生成元 $z_i$ の関係 $z_i=\sum_j a_{ij}z_j$、$a_{ij}$ が極大イデアルに入るとき、随伴行列を掛ければ $\det(1-(a_{ij}))$ が全生成元を殺す。行列式は極大イデアルを法として1なので単元であり、全生成元は零となる。
$Q_0=I/(f_1,\ldots,f_n)$ も有限生成である。$\mathfrak p$ で各生成元が零になるため、それぞれを殺す $s_i\notin\mathfrak p$ を選び、その積 $s$ を取ると $(Q_0)_s=0$ となる。$\Delta$ の多項式代表 $d\notin\mathfrak p$ を取り $h=sd$ とすれば、必要な表示と行列式の可逆性が同時に得られる。
逆方向を確認する。余法線写像 $\delta$ を同じ有限表示から作る。各近傍 $B_b$ が形式的エタールなら、平方零商 $(P/I^2)_g\to B_b$（$g$ は $b$ の代表）は唯一の切断を持ち、先の導分計算から $\delta_b$ は分裂単射となる。局所化した多項式環の導分は変数像で決まり、逆元では $D(g^{-1})=-g^{-2}D(g)$ と計算する。従って自由加群はやはり $B_b^n$ である。一意性からその微分商も零なので $\delta_b$ は同型である。
近傍は全素点を覆うので $\ker\delta$ と $\operatorname{coker}\delta$ は全極大イデアルで局所化すると零になる。局所化は完全である。分数 $x/s$ の像が零ならある分母外の元が分子像を殺すため、単射と像・核が保たれることから分かる。また非零加群の元 $x$ は、真イデアル $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大イデアルで非零に残る。従って全局所化が零なら加群は零である。これを核・余核に適用すると $\delta$ は大域でも同型となり、前定理から $B$ はエタールである。零代数では素点はなく、$T=F=0$ なので同じ結論となる。

$B=0$ ならテンソル積も相対微分も零であり、結論は成立する。以下 $B\ne0$ とする。thm-etale-local-square-presentation により各素点近傍 $B_b$ は可逆な正方形 Jacobi 行列を持つ標準表示である。etale-flat-lem-fs-flat-standard を $c=n$ の場合に適用すると、各 $B_b$ は $A$ 上平坦である。
任意の $A$ 加群単射 $U\to V$ を取り、$U\otimes_AB\to V\otimes_AB$ の核を $K$ とする。局所化の完全性とテンソル結合の両写像から、各近傍で $K_b$ は $U\otimes_AB_b\to V\otimes_AB_b$ の核であり零である。非零 $z\in K$ があれば、真イデアル $\operatorname{Ann}_B(z)$ を含む極大イデアルで $z$ は非零に残る。その点を含む上の近傍でも非零に残るので矛盾する。従って $K=0$ で、全任意加群の単射を保つことから $B$ は平坦である。核 $K$ の有限生成性は使っていない。
相対微分の消滅は、平方零環 $B\oplus\Omega_{B/A}$ への持上げ $b\mapsto(b,db)$ と $b\mapsto(b,0)$ の一意性から全 $db=0$ としても直接得られる。微分加群はこれらの元で生成されるので $\Omega_{B/A}=0$。

商と自由加群。 $(V/H)\otimes_AT$ と $(V\otimes_AT)/\operatorname{im}(H\otimes_AT)$ の両逆は $(v+H)\otimes t\mapsto v\otimes t$ とその逆である。代表の差は左の像に入るので定義でき、有限和の生成元上で合成が恒等となる。これが右完全性を与える。$A^{(S)}\otimes_AT\cong T^{(S)}$ は基底成分を送る両逆であり、直和の単射は成分ごとに単射なので自由加群は平坦である。
分数。 $S^{-1}A\otimes_AN\cong S^{-1}N$ の両逆は $(a/s)\otimes n\mapsto an/s$ と $n/s\mapsto(1/s)\otimes n$。分数等号の差を殺す $t\in S$ を逆にすれば像は同じであり、$A$ の釣合いも分子の積で一致する。合成は生成元上で恒等である。単射 $N'\to N$ の元 $n/s$ が像で零なら、ある $t\in S$ が $n$ を像で殺すため源でも殺し、$n/s=0$。$0\in S$ の場合は双方零である。従って局所化は平坦である。
自由解像と比較。 自由全射とその核への自由全射を順に取り、任意加群 $N$ の自由解像 $F_\bullet\to N$ を作る。$\operatorname{Tor}_i^A(N,T)$ は $H_i(F_\bullet\otimes_AT)$ と定める。二つの解像の間で $N$ 上の恒等を持ち上げる鎖写像は、各自由基底の像を先に決めた微分の核から次段へ持ち上げる帰納で作れる。二写像の差についても、次数0で増大の核へ持ち上げ、次数 $i$ で既に作ったホモトピーとの差を次段へ持ち上げると $f-g=dh+hd$ となる。両方向の比較の合成は恒等とホモトピックなので、ホモロジーは選択に依存しない。
短完全列の両端の自由解像を取り、中間項の自由全射を両端の自由加群の直和で作る。右側の基底像を中間項へ持ち上げ、核にも同じ手続きを反復すると、各次数で分裂する短完全自由複体列を得る。テンソル後も各次数で完全である。右のサイクルを中間へ持ち上げ、微分を取り左へ戻すと接続写像になる。代表や持上げの変更は境界を変えるだけで、像が次の核に入ること、核元を持ち上げ直して前段の像に戻せることがこの同じ計算でわかり、長完全列を得る。任意階数の自由加群も各元は有限台なのでこの帰納は成立する。平坦 $T$ では完全な自由解像のサイクル・境界列も保たれ、正次数 Tor は零となる。

代数閉体での有限精度。 まず $k$ を代数閉体とする。$P[1/\Delta]$ の極大点はetale-flat-fs-flat-foundation-thm-nullstellensatz-zariskiにより $k$ 有理点 $a$ である。$z_i=X_i-a_i$ とし、その点の局所環を $T$ とする。各 $r\ge1$ について
$$T/(z_1,\ldots,z_n)^r\cong k[z_1,\ldots,z_n]/(z_1,\ldots,z_n)^r.$$
点で非零の分母は定数項が非零であり、その有限商で逆元を幾何級数の有限和で作れるからである。逆極限は係数ごとの両立列を級数へ戻す写像で $k[\![z_1,\ldots,z_n]\!]$ と同型になる。
小行列式の変数を最初の $c$ 個へ並べる。$w=(f_1,\ldots,f_c,z_{c+1},\ldots,z_n)$ の線型項行列は可逆である。この代入の逆を次数ごとに構成する。次数1で逆行列を使い、次数 $r$ まで決めた逆の誤差の次数 $r+1$ 成分を同じ線型行列で補正する。より低い次数は変わらず、各次数の単項式数は有限である。係数極限が左右逆を与える。多項式を $X=a+z$ へ代入した係数を使うだけなので、階乗で割る操作はなく、標数に依存しない。
完成で $f_1,\ldots,f_c$ は座標列になる。座標変数の乗算は係数をずらす単射であり、各先行部分列の商でも次の座標が非零因子である。$T$ は多項式局所環なので Noether である。etale-flat-lem-fs-flat-foundation-completionの忠実平坦性を各商の乗算核へ適用すれば、元の局所環でも列は正則となる。
任意の体への降下。 代数閉包 $K/k$ は非零自由 $k$ 加群なので忠実平坦である。$R=P[1/\Delta]$ 上の有限自由 Koszul 複体を考える。$R\otimes_kK$ の全極大点で、ある $f_i$ が単元なら、その二項因子は逆元によるホモトピーで可縮である。全 $f_i$ が極大イデアルに入る場合には前段の正則性から正次数ホモロジーが零となる。正則列の Koszul 完全性は、一元の場合と、次の元の乗算を写像とする二複体の cone の完全列から帰納して得る。全極大点で消える加群は零であることは、非零元の零化イデアルを含む極大点での分数零判定から従う。
平坦テンソルはサイクルと境界の二短完全列を保つのでホモロジーと交換する。従って忠実な $K$ テンソルで元の Koszul 正次数ホモロジーも零とわかる。局所環で全 $f_i$ が極大イデアル内なら、末尾 $f_c$ の cone 長完全列は前段の $H_i$（$i>0$）への $f_c$ 乗算を全射にする。これらは Noether 局所環上有限なので Nakayama により零。残った $H_0$ 上の $f_c$ 作用は単射である。末尾を除いて反復すれば指定順序の正則性を得る。各先行商は、生成イデアルが極大イデアル内なので非零である。単元がある場合の可縮性と、この正則列の結論を区別する。$n=c=0$ は体の局所化の空列として成立する。

平坦性から $\mathfrak m^r\otimes_AM\to M$ は単射で像が $\mathfrak m^rM$ である。$\mathfrak m^{r+1}\subset\mathfrak m^r$ の商をテンソルすることで
$$\operatorname{gr}_{\mathfrak m}M\cong\operatorname{gr}_{\mathfrak m}A\otimes_{A/\mathfrak m}(M/\mathfrak mM)$$
を得る。各次数の $f$ 作用は第二因子への作用で、体上テンソルは完全だから単射である。$fx=0$ なら、次数0で $x\in\mathfrak mM$、次の次数で $x\in\mathfrak m^2M$ と続き、$x\in\bigcap_r\mathfrak m^rM$ となる。$\mathfrak mP\subset\mathfrak n$ であり、固定 Artin–Rees と有限 Nakayama による交叉零を $P$ 上有限な $M$ へ適用すると $x=0$ である。
$Q=M/fM$ に対する完全列 $0\to M\xrightarrow{f}M\to Q\to0$ と、$M$ の $A$ 平坦性から
$$\operatorname{Tor}_1^A(A/\mathfrak m,Q)=\ker(f:M/\mathfrak mM\to M/\mathfrak mM)=0.$$
$Q/\mathfrak mQ$ は体上のベクトル空間なので平坦である。$Q$ は有限 $P$ 加群であり、etale-flat-fs-flat-foundation-cor-local-flatness-criterion-finiteを適用して $A$ 平坦となる。$M,Q$ の $A$ 有限性や $P$ の $A$ 有限性は使わない。

Noether 基礎環の場合。 $\mathfrak q\in\operatorname{Spec}B$、$\mathfrak p=\mathfrak q\cap A$ を固定する。$A$ を $\mathfrak p$ で、$A[X]_h$ を $\mathfrak q$ の逆像で局所化して局所環 $P$ を得る。多項式環は単項式基底の自由加群、局所化は分数零判定で単射を保つので、$P$ は $A_{\mathfrak p}$ 上平坦である。イデアルの縮約を $H=\{a:a/1\in J\}$ とすると $J=S^{-1}H$ であり、$H$ の有限生成元が $J$ を生成するから局所化は Noether 性を保つ。
閉ファイバー $P/\mathfrak pP$ は $\kappa(\mathfrak p)[X]$ の局所化である。ここではまだ $(f_1,\ldots,f_c)$ による商を取っていない。全 $f_i$ はその極大イデアル内、$\Delta$ は単元なので、etale-flat-lem-fs-flat-field-jacobiによりその指定列が正則である。$P$ から各先行商を $M$ としてetale-flat-lem-fs-flat-one-elementを反復する。初項は平坦、各段の閉ファイバー乗算は単射で、各商は有限 $P$ 加群である。従って $B_{\mathfrak q}$ は $A_{\mathfrak p}$ 平坦、さらに $A$ 平坦となる。任意単射のテンソル核を全 $\mathfrak q$ で検出する前述の零化イデアルの議論から $B$ 自体が平坦である。
有限係数の整数環への下降。 $\mathbf Z$ の非零イデアルの最小の正元を $a$ とすると、整数除法の余りが同じイデアルに入り $a$ より小さいので零である。従って全イデアルは $a\mathbf Z$（零の場合は $a=0$）で、$\mathbf Z$ は Noether である。有限個の係数を含む $A$ の部分環 $A_0$ は有限変数 $\mathbf Z$ 多項式環の商なので、Hilbert 基底定理から Noether である。
$\Delta$ の逆を $B$ で選び、その代表を $v=V/h^a\in A[X]_h$ とする。ある $u_i\in A[X]_h$ により
$$1-v\Delta=\sum_i u_if_i$$
が成り立つ。$h,f_i,V,u_i$ の分子の全係数を含む $A_0\subset A$ を取る。等式の分母を払い、必要ならその零判定に用いた同じ有限の $h$ 冪も使えば、同じ等式は $A_0[X]_h$ で成立する。係数の包含 $A_0\subset A$ は多項式環でも単射であるので、この有限等式の下降は正当である。従って $B_0=A_0[X]_h/(f_i)$ で $\Delta$ は単元、前段から $B_0$ は $A_0$ 平坦となる。$A_0$ の素点の剰余体は標数0でも正標数でも体であり、体上の証明は全標数で成立する。
商と局所化のテンソルの両逆から $A\otimes_{A_0}B_0\cong B$。任意の $A$ 加群単射 $U\to V$ を $A_0$ 加群として見れば、$B_0$ をテンソルしても単射である。結合則の両逆
$$u\otimes(a\otimes b)\longmapsto au\otimes b,\qquad u\otimes b\longmapsto u\otimes(1\otimes b)$$
により、これは $U\otimes_AB\to V\otimes_AB$ の単射性となる。$A$ が $A_0$ 上平坦であることは不要である。$B=0$ は零テンソルの枝、$c=0$ は多項式局所化の枝として成立する。

$A\to A'$ に対する底変換 $B'=B\otimes_A A'$ は、有限表示の係数を $A'$ へ移した表示を持つ。$A'$ 代数の試験写像 $B'\to C/N$ は $A$ 代数写像 $B\to C/N$ に対応する。その唯一の持上げ $v$ から $b\otimes a'\mapsto v(b)a'$ を定めれば、釣合い関係により唯一の $A'$ 代数持上げが得られる。底変換に平坦性は要求しない。
合成 $A\to B\to D$ では、まず試験写像 $D\to C/N$ を $B$ に制限し持ち上げ、それを使って $C$ に $B$ 代数構造を入れる。この構造のもとで $D$ の写像をただ一つ持ち上げる。二つの候補は $B$ でまず一致し、その共通構造のもとで $D$ でも一致する。有限表示も合成で保存される。$B$ の有限生成元、$D$ の $B$ 上の有限生成元を一緒に変数とし、$D$ の有限関係の係数を $B$ の変数で表した多項式に置き換えて、$B$ の有限関係も加えればよい。
局所化について、商で単元となる $b$ の像は $C$ でも単元なので、$B$ の持上げはただ一つ $B_b$ に延長する。有限表示は逆元変数 $Y$ と関係 $bY-1$ を加えて得る。任意積閉集合による局所化は形式的エタールではあるが、有限表示とは限らないので、無条件にエタールと呼ぶことはできない。

有限表示は一関係 $(e)$ で与えられる。試験写像 $A/(e)\to C/N$ があると、$e$ の $C$ での像は冪等かつ $N$ に属する。冪零イデアル内の冪等元は零である。$e=e^r$ を冪零指数以上まで反復すれば零となるからである。よって構造写像 $A\to C$ は $A/(e)$ をただ一つ経由し、これが必要な持上げである。

有限個の元 $a_1,\ldots,a_r$ で生成し、$k_i=k(a_1,\ldots,a_i)$ の塔を取る。各段の最小多項式 $f_i$ は、基礎体上の分離的最小多項式を割るので分離的である。互除法による $u_if_i+v_if_i'=1$ を商で評価すると $f_i'(a_i)$ は単元となる。各 $k_i=k_{i-1}[X]/(f_i)$ は前の正方形判定の一変数の場合でエタールである。合成の保存則から結論となる。原始元を一つ選ぶこともできるが、この証明には原始元定理を前提としない。