Freedmanの定理

前提知識: 位相多様体, Poincaré双対, Rokhlinの定理, Kirby–Siebenmann不変量, E8多様体

Freedman の定理（Freedman's theorem）は、単連結な閉 $4$ 次元位相多様体を同相を除いて分類する定理である。向き付けられた単連結な閉 $4$ 次元多様体 $M$ は、交叉形式 $Q_M$ と Kirby–Siebenmann不変量 $\kappa(M)\in\mathbb{Z}/2$ の 2 つで同相類が決まる。逆に、どのユニモジュラな対称形式も交叉形式として現れる。ただし形式が偶のときは $\kappa$ は $\sigma/8\bmod2$ に決まり、奇のときは $\kappa$ が $0$ と $1$ の 2 通りとも現れる。Freedman が 1982 年に示し、Quinn の仕事で閉多様体全般に広がった。
この定理によって、単連結な閉 $4$ 次元位相多様体の分類は、整数上のユニモジュラな対称形式の分類という代数の問題にほぼ帰着する。とくに、$S^4$ とホモトピー同値な閉 $4$ 次元位相多様体は $S^4$ と同相である（$4$ 次元の位相的な Poincaré 予想）。一方、滑らかな多様体ではこの対応は大きく崩れる。$E_8$ 形式は Rokhlinの定理 により、$E_8\oplus E_8$ は Donaldsonの定理 により、滑らかな閉多様体の交叉形式にならない。
この記事では、主定理とホモトピー型の分類は所在を示して引用する。そのうえで、$4$ 次元の位相的な Poincaré 予想を主定理から導くことと、階数 $2$ 以下のユニモジュラ形式の分類とそれによる $b_2\le2$ の多様体の数え上げを完全に証明する。

定義と規約

多様体は Hausdorff かつ第 2 可算とし、閉多様体はコンパクトで境界のない多様体をいう。「多様体」は位相多様体を指し、滑らかな構造は仮定しない。ホモロジー・コホモロジーは $\mathbb{Z}$ 係数の特異（コ）ホモロジーとする。

形式

有限階数の自由アーベル群 $L$ と対称な双線形写像 $Q\colon L\times L\to\mathbb{Z}$ の組を形式という。ユニモジュラ・偶・奇・符号数・定値・不定値は Rokhlinの定理 の定義「ユニモジュラ・偶・符号数」の意味とする。形式の同型（等長同型）は、$Q'(\varphi x,\varphi y)=Q(x,y)$ をみたす群の同型 $\varphi\colon L\to L'$ である。$\langle a\rangle$ は階数 $1$ で生成元 $e$ が $Q(e,e)=a$ の形式、$nQ$ は $Q$ の $n$ 個の直交直和、$H$ は Gram 行列 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ の形式、$E_8$ は E8多様体 の定義「$E_8$ 形式」の正定値な形式である。$-Q$ は $Q$ の値の符号を反転した形式で、$-H\cong H$ である（基底の片方の符号を変える）。

交叉形式と向き

$M$ を向き付けられた閉 $4$ 次元多様体とし、$[M]\in H_4(M)$ を基本類とする。$FH^2(M):=H^2(M)/(\text{ねじれ})$ の上の
$$ Q_M(a,b):=\langle a\smile b,[M]\rangle $$
を交叉形式、その符号数を $\sigma(M)$ と書く。Poincaré 双対によりユニモジュラである（FNOP25 Definition 8.1、p. 60）。$M$ が単連結なら $H_1(M)=0$ で、普遍係数定理により $H^2(M)\cong\operatorname{Hom}(H_2(M),\mathbb{Z})$ はねじれをもたず、Poincaré 双対で $H_2(M)$ と同一視できる。
向きについて次の約束をする。

• 向きを反転した多様体を $-M$ と書く。$Q_{-M}=-Q_M$、$\sigma(-M)=-\sigma(M)$ である。
• $\mathbb{C}P^2$ には複素構造から定まる向きを入れる。このとき $Q_{\mathbb{C}P^2}\cong\langle1\rangle$ で、$\overline{\mathbb{C}P^2}:=-\mathbb{C}P^2$ の交叉形式は $\langle-1\rangle$ である。$S^2\times S^2$ の交叉形式は $H$ である（FNOP25 Example 8.2 (2)(3)、p. 61）。
• K3曲面 には複素構造から定まる向きを入れる。このとき交叉形式は $-E_8\oplus-E_8\oplus3H$ で、$\sigma=-16$ である（K3曲面 の節「複素数体上の K3 曲面」）。FNOP25 Example 8.2 (4)（p. 61）は向きを反転した $E_8\oplus E_8\oplus3H$ の形で述べている。
• 連結和 $M\#N$ は向きを保つように作る（境界に沿った貼り合わせと連結和）。このとき包含から来る同型 $H_2(M)\oplus H_2(N)\to H_2(M\#N)$ は $Q_M\oplus Q_N$ を $Q_{M\#N}$ に移す（FNOP25 Proposition 8.3、p. 61）。

Kirby–Siebenmann 不変量

閉 $4$ 次元多様体 $M$ の Kirby–Siebenmann 不変量 $\kappa(M)\in\mathbb{Z}/2$ は Kirby–Siebenmann不変量 の記事の意味とする（文献によっては $\mathrm{ks}(M)$ と書く）。次を使う。

• $\kappa(M)\in H^4(M;\mathbb{Z}/2)$ は向きを使わずに定まるので、$\kappa(-M)=\kappa(M)$ である。
• $M$ が滑らかな構造をもてば $\kappa(M)=0$ である（FNOP25 Theorem 9.2 (1)、p. 68）。
• $\kappa(M\#N)=\kappa(M)+\kappa(N)$ である（Kirby–Siebenmann不変量 の命題「連結和についての加法性」）。
• $M$ が spin なら $\kappa(M)\equiv\sigma(M)/8\pmod2$ である（Kirby–Siebenmann不変量 の定理「符号数との関係」）。単連結で $Q_M$ が偶なら $M$ は spin である（FNOP25 Remark 8.9、pp. 64–65）。

主定理

これは Freedman（1982）の定理で、FNOP25 Theorem 12.2（pp. 93–94。Freedman–Quinn の本の Theorem 10.1 の形で、閉多様体全般への拡張は Quinn による、と注記されている）、Kir89 Ch. III Theorem 2.1（p. 31）、Kos93 Ch. VIII §7（p. 164）による。この記事では証明しない。
主定理を不変量の言葉で言い直す。向き付けられた単連結な閉 $4$ 次元多様体の、向きを保つ同相による類は、組 $(Q_M\text{ の同型類},\ \kappa(M))$ と 1 対 1 に対応する。現れる組は、$Q$ が偶なら $(Q,\sigma(Q)/8)$ の 1 つ、$Q$ が奇なら $(Q,0)$ と $(Q,1)$ の 2 つである。実際、向きを保つ同相写像は交叉形式の同型を引き起こし、$\kappa$ は同相不変量なので、組は同相類の不変量である。そして主定理の 1 が全射性を、2 が単射性を与える。
同相より粗い、ホモトピー同値による分類は古典的である。

これは Milnor（Whitehead の仕事による）の定理で、FNOP25 Theorem 12.1（p. 93。滑らかな場合は Milnor、一般の場合は Milnor–Husemoller の本 Ch. V Theorem 1.5）による。この記事では証明しない。したがって、形式が奇のときの 2 つの多様体（$\kappa=0$ と $\kappa=1$）はホモトピー同値だが同相でない（FNOP25 p. 94）。

証明の道具について

主定理の証明の中心は、Casson ハンドルが位相的には標準的な $2$ ハンドル $D^2\times\mathbb{R}^2$ と同相であるという Freedman の定理である。これにより、$4$ 次元では滑らかには実行できない Whitney の技法が位相的には実行でき、単連結な $5$ 次元の h 同境が位相的には積になる（位相的な h 同境定理）。証明の流れは Kir89 Ch. XII–XIII（pp. 72–94）が述べ、そこでは Casson ハンドルを分解空間の理論で標準的なハンドルと比べる。$5$ 次元以上の多様体のあいだの h同境定理 と違い、$4$ 次元多様体のあいだの（$5$ 次元の）滑らかな h 同境定理は成り立たない（Kos93 Ch. VIII §7、pp. 164–165）。

4 次元の位相的な Poincaré 予想

これは FNOP25 Corollary 12.3（p. 94）の議論である。$S^4$ とホモトピー同値な滑らかな閉多様体が $S^4$ と微分同相かどうか（滑らかな $4$ 次元 Poincaré 予想）は、この定理からは分からない。$5$ 次元以上の対応する主張は 一般化されたPoincaré予想 で扱う。

階数 2 以下の形式と多様体

主定理により、$b_2(M):=\operatorname{rank}H_2(M)$ が小さい多様体は、形式の分類から数え上げられる。まず形式を分類する。

正定値の場合の議論は、2 変数 2 次形式の Gauss の簡約と同じものである。不定値のユニモジュラ形式一般の分類（奇なら $p\langle1\rangle\oplus q\langle-1\rangle$、偶なら $nE_8\oplus mH$ の形）は Rokhlinの定理 の定理「奇で不定値の形式の分類」と FNOP25 p. 65（Milnor–Husemoller の本の Theorem II.5.3 を引く）による。定値の形式は分類が難しく、偶で正定値のものに限っても、階数 $8$、$16$、$24$ で $1$、$2$、$24$ 個、階数 $32$ で $10^7$ 個以上ある（FNOP25 p. 65 の表）。
次の系を述べるために、Chern 多様体 $*\mathbb{C}P^2$ を、$\mathbb{C}P^2$ とホモトピー同値で $\kappa=1$ の閉 $4$ 次元多様体とする。これは存在して同相を除いて一意であり、$\mathbb{C}P^2$ と同相でない（FNOP25 Lemma 9.6・Definition 9.7、pp. 74–75。構成は $+1$ の枠で三葉結び目に沿って $D^4$ に $2$ ハンドルをつけ、境界のホモロジー球面を Freedman の可縮多様体でふさぐ）。$*\mathbb{C}P^2$ は単連結で、交叉形式は $\langle1\rangle$ である（thm-freedman-main の 1 で $Q=\langle1\rangle$、$k=1$ としたものと同相）。

$\mathbb{C}P^2\#\mathbb{C}P^2$ と $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$ は符号数が $2$ と $0$ で違い、向きを反転しても一致しない。$S^2\times S^2$ と $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$ はどちらも符号数 $0$ で $b_2=2$ だが、形式の偶奇が違うので同相でない（ホモトピー同値でもない）。

例

3 の議論は、偶で不定値の形式 $nE_8\oplus mH$（$m\ge1$）について一般に通る：$\kappa$ が $\sigma/8$ に決まるので、交叉形式が $nE_8\oplus mH$ の単連結な閉多様体は $E_8$ 多様体（$n< 0$ なら $-V$）の $\lvert n\rvert$ 個と $S^2\times S^2$ の $m$ 個の連結和と同相である（連結和の $\kappa$ は $\lvert n\rvert\equiv n=\sigma/8\pmod2$）。奇で不定値の形式 $p\langle1\rangle\oplus q\langle-1\rangle$（$p,q\ge1$）なら、$p\,\mathbb{C}P^2\#q\,\overline{\mathbb{C}P^2}$ か、そのうち 1 つの $\mathbb{C}P^2$ を $*\mathbb{C}P^2$ に替えたものと同相である。ただし、定値な偶の形式は $E_8$ の直和とは限らない（階数 $16$ の偶で正定値な形式は $2$ 個ある）ので、定値な場合は連結和に分解できるとは限らない。

滑らかな多様体との比較

主定理はどのユニモジュラ形式も位相多様体の交叉形式として実現するが、滑らかな閉多様体で実現されるものは限られる。

• Rokhlin の定理：滑らかで単連結な閉多様体の交叉形式が偶なら、符号数は $16$ の倍数である（Rokhlinの定理 の系「偶な交叉形式をもつ滑らかな閉多様体」）。$E_8$、$E_8\oplus H$ などは除かれる。主定理と合わせると、これらの形式の多様体は $\kappa=1$ である。
• Donaldson の定理：滑らかな閉多様体の交叉形式が定値なら、$n\langle1\rangle$ か $n\langle-1\rangle$ と同型である（Donaldsonの定理）。$E_8\oplus E_8$ のように $\kappa=0$ の定値な形式も除かれる。
• 偶で不定値の形式：$2pE_8\oplus mH$ は $m\ge3\lvert p\rvert$ なら K3 曲面と $S^2\times S^2$ の連結和で滑らかに実現される。滑らかに実現されるには $m\ge2\lvert p\rvert+1$ が必要である（Furuta の 10/8 定理。FNOP25 Theorem 8.13、p. 66）。その間の $m$ が実現されるかは $11/8$ 予想として未解決である（FNOP25 Conjecture 8.14、p. 66）。
  滑らかな構造については、同相だが微分同相でない閉多様体の組（ex-freedman-examples の 4）や、$\mathbb{R}^4$ と同相だが微分同相でない滑らかな多様体（エキゾチックR⁴）があり、主定理のような分類は滑らかな場合には知られていない（Kos93 Ch. VIII §7、p. 164）。

反例

補足

• 単連結でない場合：基本群が「よい群」（有限群・$\mathbb{Z}$ を含み、部分群・商・拡大・増大列の和で閉じた族）なら、主定理の証明の技法が使え、基本群 $\mathbb{Z}$ の場合などに同様の分類がある（FNOP25 §12.3、p. 94〜、Kir89 Ch. III §2、p. 32）。任意の有限表示群は閉 $4$ 次元多様体の基本群になるので、基本群を固定しない分類は期待できない（FNOP25 p. 93）。
• 自己同相写像：主定理の 2 を $M'=M$ に当てはめると、交叉形式のどの自己同型も $M$ の向きを保つ自己同相写像で実現される（FNOP25 p. 94）。
• 安定な平滑化：$\kappa(M)=0$ であることは $M\times\mathbb{R}$ が滑らかな構造をもつことと同値である（コンパクトで連結な場合。FNOP25 Theorem 9.2 (1)（p. 68）・Theorem 9.3（p. 73）・Example 9.4（p. 74）、Kos93 Ch. VIII §7、p. 164）。$E_8\oplus E_8$ の多様体 $N$ は、$N$ 自身は滑らかでないが $N\times\mathbb{R}$ は滑らかな構造をもつ。

関連項目

• 前提: 位相多様体, Poincaré双対, Rokhlinの定理, Kirby–Siebenmann不変量
• 比較: E8多様体, Donaldsonの定理, h同境定理, 一般化されたPoincaré予想, 多様体の構造の階層
• 直後に読む: Donaldsonの定理, エキゾチックR⁴
• 発展: Donaldson理論, 平滑化理論