余可算位相

まず、高々可算な二つの集合 $A,B$ の合併が高々可算であることを見る。単射 $f\colon A\to\mathbb{N}$ と $g\colon B\to\mathbb{N}$ をそれぞれ一つ取り、$h\colon A\cup B\to\mathbb{N}$ を、$x\in A$ のとき $h(x)=2f(x)$、$x\in B\setminus A$ のとき $h(x)=2g(x)+1$ と定める。偶数と奇数は一致せず、$f$ と $g$ は単射なので $h$ は単射である。よって $A\cup B$ は高々可算である。二つの集合について単射を選ぶだけなので、選択公理は使わない。
(1) $\emptyset\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ は定義による。$X\setminus X=\emptyset$ は有限なので $X\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。
(2) 任意合併について。$\{U_i\}_{i\in I}$ を $\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ の元の族とし、$U=\bigcup_{i\in I}U_i$ とおく。すべての $U_i$ が空なら $U=\emptyset\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。そうでなければ $U_{i_0}\neq\emptyset$ となる $i_0\in I$ を一つ取る（空でない一つの集合から元を一つ取るだけなので選択公理は使わない）。定義より $X\setminus U_{i_0}$ は高々可算である。de Morgan の法則から
$$X\setminus U=\bigcap_{i\in I}(X\setminus U_i)\subset X\setminus U_{i_0}$$
であり、高々可算な集合の部分集合は高々可算なので $X\setminus U$ は高々可算である。よって $U\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。
(3) 有限交叉について。$U,V\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ とする。どちらかが空なら $U\cap V=\emptyset\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。ともに空でなければ $X\setminus U$ と $X\setminus V$ はいずれも高々可算で、
$$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$$
は冒頭で示したことから高々可算である。よって $U\cap V\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。二つの元についての交叉が閉じていれば有限個についても帰納法で従う。$\square$

$X\setminus\{x\}$ の補集合は $\{x\}$ であり、これは有限なので高々可算である。したがって $X\setminus\{x\}$ は開集合であり、$\{x\}$ は閉集合である。相異なる二点 $x\neq y$ に対し、$X\setminus\{y\}$ は $x$ を含み $y$ を含まない開集合なので、$T_1$ の条件が満たされる。$\square$

$U,V$ が空でない開集合なら、定義より $X\setminus U$ と $X\setminus V$ は高々可算である。$U\cap V=\emptyset$ と仮定すると
$$X=X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$$
となり、prf-cocountable-topology-axioms の冒頭で示したことから $X$ は高々可算になる。これは $X$ が非可算であることに反する。よって $U\cap V\neq\emptyset$ である。$\square$

1. $X$ は非可算なので相異なる二点 $x\neq y$ が取れる。$U$ を $x$ を含む開集合、$V$ を $y$ を含む開集合とすると、$U,V$ はいずれも空でないので prop-cocountable-topology-hyperconnected より $U\cap V\neq\emptyset$ である。よって $x$ と $y$ を交わらない開近傍で分離できず、$X$ は Hausdorff でない。
2. $X=U\cup V$、$U\cap V=\emptyset$、$U$ と $V$ はともに空でない開集合、という分割があったとすると prop-cocountable-topology-hyperconnected に反する。よって $X$ は連結である。
3. まず、距離空間 $(Y,d)$ は Hausdorff である。実際、$y\neq y'$ に対し $r=d(y,y')/2>0$ とおくと、開球 $B(y,r)$ と $B(y',r)$ は交わらない。もし $z$ が両方に属せば、三角不等式より
   $$d(y,y')\le d(y,z)+d(z,y')< r+r=d(y,y')$$
   となって矛盾するからである。Hausdorff であることは位相だけで決まる性質なので、1 と合わせて $X$ の位相は距離から定まらない。$\square$

$A$ が高々可算のときは $X\setminus A$ が開集合なので $A$ は閉集合であり、$\overline{A}=A$ である。
$A$ が非可算とする。$x\in X$ を任意に取り、$U$ を $x$ を含む開集合とする。$U\neq\emptyset$ なので $X\setminus U$ は高々可算である。$A\subset X\setminus U$ とすると $A$ が高々可算になって仮定に反するので、$A\not\subset X\setminus U$、すなわち $A\cap U\neq\emptyset$ である。$x$ の任意の開近傍が $A$ と交わるので $x\in\overline{A}$ であり、$x$ は任意だったから $\overline{A}=X$ である。$\square$

$X$ が高々可算ならば、任意の $U\subset X$ に対し $X\setminus U$ は高々可算なので $U$ は開集合であり、$\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ は離散位相である。
逆を対偶で示す。$X$ が非可算とし、$x\in X$ を取る。$X\setminus\{x\}$ が高々可算だと仮定すると、$X=(X\setminus\{x\})\cup\{x\}$ は高々可算な二つの集合の合併なので高々可算となり、仮定に反する。よって $X\setminus\{x\}$ は非可算である。$\{x\}$ は空でなく補集合が高々可算でないので、$\{x\}$ は開集合でない。したがって $\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ は離散位相でない。$\square$

ある $N$ から先が $x$ に等しいならば、$x$ を含むどの開集合 $U$ についても $n\ge N$ で $x_n=x\in U$ なので、$(x_n)$ は $x$ に収束する（この向きは位相の取り方によらない）。
逆に $(x_n)$ が $x$ に収束するとし、$D=\{x_n\mid n\ge1,\ x_n\neq x\}$ とおく。$D$ は高々可算である。実際、$d\in D$ に対し $\varphi(d)=\min\{n\ge1\mid x_n=d\}$ とおくと（$\mathbb{N}$ の空でない部分集合には最小元があるので定義でき、選択公理は使わない）、$\varphi(d)=\varphi(d')$ なら $d=x_{\varphi(d)}=d'$ なので $\varphi\colon D\to\mathbb{N}$ は単射である。よって $U=X\setminus D$ は開集合であり、$x\notin D$ だから $x\in U$ である。収束の定義より、ある $N$ が存在して $n\ge N$ ならば $x_n\in U$、すなわち $x_n\notin D$ である。$x_n\neq x$ であれば $D$ の定義から $x_n\in D$ となるので、$n\ge N$ では $x_n=x$ でなければならない。$\square$

1. $\mathcal U$ を開被覆とする。$X\ne\emptyset$ なので空でない $U_0\in\mathcal U$ があり、$C=X\setminus U_0$ は高々可算である。$C$ の各点 $c$ について $c$ を含む $U_c\in\mathcal U$ を一つずつ選ぶ（可算個の選択を使う）。$\{U_0\}\cup\{U_c\mid c\in C\}$ は高々可算で $X$ を覆う。
2. そのような族 $(U_n)$ があったとする。各 $U_n$ は空でない開集合なので $X\setminus U_n$ は高々可算であり、$D=\bigcup_n(X\setminus U_n)$ も高々可算である（可算個の高々可算集合の和。ここでも可算個の選択を使う）。$X$ は非可算なので $y\in X\setminus(D\cup\{x\})$ がとれる。$V=X\setminus\{y\}$ は $x$ を含む開集合であるが、$y\notin D$ なのですべての $n$ で $y\in U_n$ となり、どの $U_n$ も $V$ に含まれない。これは仮定に反する。$\square$

1. 開集合 $U_n$（$n\ge1$）のどれかが空なら共通部分は空で開集合である。すべて空でなければ、$X\setminus\bigcap_nU_n=\bigcup_n(X\setminus U_n)$ は高々可算な集合の可算個の和なので高々可算であり（可算個の選択を使う）、共通部分は開集合である。$X$ は非可算なので、このとき共通部分は非可算である。
2. 可算無限部分集合 $\{d_1,d_2,\dots\}\subset X$（相異なる点）をとり、$U_n:=X\setminus\{d_m\mid m\ge n\}$ とおく。$U_n$ は開集合で、$d_k\in U_{k+1}$ なので $\{U_n\}_{n\ge1}$ は $X$ を覆う。$U_1\subset U_2\subset\cdots$ で、$d_N\notin U_N$ だから有限個の $U_n$ は $X$ を覆わない。$\mathcal V$ をこの被覆の開細分とする。$\mathcal V$ の空でない元が有限個しかなければ、それぞれを含む $U_n$ を一つずつ選ぶと有限個の $U_n$ が $X$ を覆うことになり矛盾する。よって $\mathcal V$ は相異なる空でない元 $V_1,V_2,\dots$ を含み、1 により $\bigcap_kV_k\neq\emptyset$ である。その点は無限個の元に属するので、$\mathcal V$ は点有限でない。$\square$

1：有限集合はコンパクトである。$K\subset X$ が無限集合なら、可算無限部分集合 $D\subset K$ がとれる（可算個の選択を使う）。$D$ は可算なので $X$ の閉集合であり、$K$ でも閉である。また $d\in D$ について $D\cap\bigl(X\setminus(D\setminus\{d\})\bigr)=\{d\}$ なので、$D$ の相対位相は離散位相である。$K$ がコンパクトなら、その閉集合 $D$ もコンパクトになるが、無限離散空間 $D$ の一点集合による被覆は有限部分被覆をもたない。よって無限集合 $K$ はコンパクトでない。
2：$f\colon K\to X$ の像 $f(K)$ はコンパクトなので、1 により有限集合である。有限集合 $F\subset X$ の部分集合はどれも可算で $X$ の閉集合だから、$F$ の相対位相は離散位相である。$f(K)$ は連結な離散空間なので一点からなる。$[0,1]$ は連結でコンパクトなので、道は定値である。$\square$