依存領域

要点：滑らかな未来向き時間的ベクトル場 $T$ を作り、$-T$ の極大な積分曲線をとる。

1．$p\in A$ なら、$p$ から出る曲線は始点 $p$ で $A$ と交わる。2．$A$ と交わる曲線は $B$ とも交わる。3．$p\in D^+(A)$ とする。lem-dod-existence により $p$ から出る過去に延長不可能な過去向き因果曲線 $\gamma$ があり、$\gamma$ は $A$ の点 $a$ を通る。$\gamma$ の $p$ から $a$ までの部分を逆にたどれば $a$ から $p$ への未来向き因果曲線なので、$p\in J^+(a)$ である。$D^-$ も同様である。$\square$

1 ⇒ 2：$\gamma\colon(a,b)\to M$ を延長不可能な因果曲線とし、点 $p=\gamma(s_0)$ をとる。$p\in D^+(S)$ なら、$\gamma$ の $(a,s_0]$ の部分を逆向きにたどった曲線は $p$ から出る過去に延長不可能な因果曲線なので、$S$ と交わる。$p\in D^-(S)$ なら $[s_0,b)$ の部分を使う。
2 ⇒ 1：$p\notin D(S)$ と仮定する。$p\notin D^+(S)$ なので、$p$ から出る過去に延長不可能な因果曲線 $\alpha$ で $S$ と交わらないものがあり、$p\notin D^-(S)$ なので、$p$ から出る未来に延長不可能な因果曲線 $\beta$ で $S$ と交わらないものがある。$\alpha$ を逆にたどって $p$ に着き、そこから $\beta$ をたどる曲線は、$p$ で折れた延長不可能な因果曲線で、$S$ と交わらない。これは 2 に反する。
後半：延長不可能な時間的曲線は因果曲線なので、2 により $S$ と交わり、非時間性により 2 回以上は交わらない。非因果的なら、延長不可能な因果曲線についても同じである。$\square$

因果曲線の速度 $(\dot t,\dot x)$ は $\lvert\dot x\rvert\le\lvert\dot t\rvert$ を満たし、$\dot t\ne0$ で、未来向きなら $\dot t>0$、過去向きなら $\dot t<0$ である。よって因果曲線は $t$ でパラメータ付けでき、$x(\tau)$ は $\lvert x(\tau_1)-x(\tau_2)\rvert\le\lvert\tau_1-\tau_2\rvert$ を満たす。
$\supset$：$p=(t,x)$ が右辺の点とし、$\alpha$ を $p$ から出る過去に延長不可能な因果曲線とする。$\alpha$ を $t$ でパラメータ付けして $\tau\mapsto(\tau,y(\tau))$（$\tau\le t$）と書く。$\tau$ の下限 $\tau_*$ が有限なら、$\lvert y(\tau_1)-y(\tau_2)\rvert\le\lvert\tau_1-\tau_2\rvert$ により $\tau\downarrow\tau_*$ で $y(\tau)$ は Cauchy の条件を満たして収束し、$\alpha$ は過去の端点 $(\tau_*,\lim y)$ をもつことになって矛盾する。よって $\tau$ は $-\infty$ まで動き、$\alpha$ は $\tau=0$ で点 $(0,y(0))$ を通る。$\lvert y(0)-x\rvert\le t$ なので
$$ \lvert y(0)-x_0\rvert\le\lvert y(0)-x\rvert+\lvert x-x_0\rvert\le t+(r-t)=r $$
であり、$(0,y(0))\in S_r$ である。よって $p\in D^+(S_r)$ である。
$\subset$：$p=(t,x)\in D^+(S_r)$ とする。$t<0$ なら、$p$ から真下へ向かう直線 $s\mapsto(t-s,x)$（$s\ge0$）は過去に延長不可能な時間的曲線で、$t$ 座標が負なので $S_r$ と交わらず、矛盾する。よって $t\ge0$ である。$\lvert x-x_0\rvert+t>r$ と仮定する。単位ベクトル $e$ を、$x\ne x_0$ なら $e=(x-x_0)/\lvert x-x_0\rvert$、$x=x_0$ なら任意にとり、光的な直線 $\alpha(s):=(t-s,\,x+se)$（$s\ge0$）を考える。$\alpha$ は過去向きの因果曲線で、$t$ 座標が $-\infty$ へ動くので過去の端点をもたない。$\alpha$ が超平面 $t=0$ を通るのは $s=t$ のときだけで、その点 $(0,x+te)$ は $x-x_0$ と $e$ が同じ向きなので
$$ \lvert x+te-x_0\rvert=\lvert x-x_0\rvert+t>r $$
を満たし、$S_r$ に属さない。これは $p\in D^+(S_r)$ に反する。よって $\lvert x-x_0\rvert+t\le r$ である。$\square$

$0\le t< r$ に対し、$B_t:=\{x\mid\lvert x-x_0\rvert< r-t\}$ とおき、エネルギー
$$ e(t):=\frac12\int_{B_t}\bigl(\lvert\partial_tu\rvert^2+\lvert\nabla u\rvert^2\bigr)\,dx $$
を考える（$\nabla$ は $x$ についての勾配）。$F:=\lvert\partial_tu\rvert^2+\lvert\nabla u\rvert^2$ は連続で、$\partial_tF=2(\partial_tu\,\partial_t^2u+\nabla u\cdot\nabla\partial_tu)$ も連続である。極座標で $e(t)=\frac12\int_0^{r-t}G(t,\rho)\,d\rho$、$G(t,\rho):=\int_{\lvert\omega\rvert=1}F(t,x_0+\rho\omega)\rho^{n-1}\,d\omega$ と書けるので、積分の上端の微分と積分記号下の微分により
$$ e'(t)=\int_{B_t}\bigl(\partial_tu\,\partial_t^2u+\nabla u\cdot\nabla\partial_tu\bigr)\,dx-\frac12\int_{\partial B_t}F\,dS $$
である。発散定理（Gaussの発散定理）により $\int_{B_t}\nabla u\cdot\nabla\partial_tu\,dx=\int_{\partial B_t}\partial_tu\,\partial_\nu u\,dS-\int_{B_t}\partial_tu\,\Delta u\,dx$（$\nu$ は外向き単位法線）なので、方程式を使うと
$$ e'(t)=\int_{\partial B_t}\Bigl(\partial_tu\,\partial_\nu u-\frac12\lvert\partial_tu\rvert^2-\frac12\lvert\nabla u\rvert^2\Bigr)\,dS\le0 $$
となる。最後の不等号は $\lvert\partial_tu\,\partial_\nu u\rvert\le\lvert\partial_tu\rvert\lvert\nabla u\rvert\le\frac12(\lvert\partial_tu\rvert^2+\lvert\nabla u\rvert^2)$ による。
仮定から $t=0$ の閉球の上で $\partial_tu=0$ であり、$u(0,\cdot)$ は閉球の内部で $0$ なので $\nabla u(0,\cdot)=0$ でもある。よって $e(0)=0$ で、$e\ge0$ かつ $e$ は単調非増加だから $[0,r)$ 上で $e\equiv0$ である。$F\ge0$ は連続なので、$\{(t,x)\mid0\le t< r,\ \lvert x-x_0\rvert< r-t\}$ の上で $\partial_tu=0$、$\nabla u=0$ となる。この集合は凸なので、$u$ はその上で定数であり、$u(0,x_0)=0$ から $u=0$ である。連続性により閉包 $D^+(S_r)$ の上でも $u=0$ である。$\square$

$u-v$ に thm-dod-wave を $x_0=\bar x$、$r=\bar t$ で当てる。$(\bar t,\bar x)$ は $\lvert\bar x-\bar x\rvert+\bar t=\bar t\le r$ を満たし、円錐に属する。$\square$