シンプレクティック多様体

1．$\dim V$ に関する帰納法による。$V=0$ なら明らかである。$e_1\ne0$ をとると、非退化性から $\omega(e_1,u)\ne0$ となる $u$ があり、定数倍して $f_1$ とすれば $\omega(e_1,f_1)=1$ である。$U:=\operatorname{span}(e_1,f_1)$ とおく。$v\in V$ について
$$ w:=v-\omega(v,f_1)\,e_1+\omega(v,e_1)\,f_1 $$
とおくと、$\omega(f_1,e_1)=-1$ を使って $\omega(w,e_1)=\omega(v,e_1)-\omega(v,e_1)=0$、$\omega(w,f_1)=\omega(v,f_1)-\omega(v,f_1)=0$ となり、$w\in U^\omega$ である。また $ae_1+bf_1\in U^\omega$ なら $e_1$、$f_1$ との値から $b=a=0$ である。よって $V=U\oplus U^\omega$ である。$u\in U^\omega$ が $U^\omega$ のすべての元と $\omega$ の値 $0$ をとるなら、$U$ とも値 $0$ なので $V$ 全体と値 $0$ で、$u=0$ である。したがって $\omega|_{U^\omega}$ も非退化で、帰納法の仮定から $U^\omega$ の基底 $e_2,\dots,f_n$ が得られ、$e_1,f_1$ と合わせて求める基底になる。
2．$v\mapsto\omega(v,\cdot)|_W$ は $V$ から双対空間 $W^*$ への線形写像で、核が $W^\omega$ である。非退化性から $v\mapsto\omega(v,\cdot)$ は $V\to V^*$ の同型で、制限 $V^*\to W^*$ は全射なので、この写像は全射である。よって $\dim W^\omega=\dim V-\dim W$ である。$W\subset(W^\omega)^\omega$ は定義から明らかで、次元が等しいので一致する。$W=W^\omega$ なら $2\dim W=2n$ である。
3．1 の基底の双対基底 $e^i,f^i$ で $\omega=\sum_ie^i\wedge f^i$ と書け、$\omega^n$ は $n!\,e^1\wedge f^1\wedge\dots\wedge e^n\wedge f^n\ne0$ である。逆に $v\ne0$ が $\omega(v,\cdot)=0$ をみたすなら、$v=v_1$ を含む基底 $v_1,\dots,v_{2n}$ について、$\omega^n(v_1,\dots,v_{2n})$ は $\omega(v_a,v_b)$ の $n$ 個の積の 1 次結合で、どの積も $v_1$ を含む因子をもつので $0$ であり、$\omega^n=0$ である。$\square$

$\omega^k=d\beta$ と仮定する。$d\omega=0$ と外微分の Leibniz 則から $d(\beta\wedge\omega^{n-k})=d\beta\wedge\omega^{n-k}=\omega^n$ である。Stokesの定理 の系「閉多様体上の積分と完全形式」の 1 により $\int_M\omega^n=0$ となる。一方 $\omega^n$ は正の向きの各座標で正の関数と $dx^1\wedge\dots\wedge dx^{2n}$ の積なので、積分の定義（Stokesの定理 の定義「向き付けられた多様体上の $n$ 形式の積分」）から $\int_M\omega^n>0$ であり、矛盾する。$\square$

$n\ge2$ なら $H^2_{dR}(S^{2n})=0$ である（Lee13 Theorem 17.21、p. 450）。prop-sm-cohomology に反する。$\square$

$v=\sum_i(a_i\,\partial/\partial q_i+b_i\,\partial/\partial p_i)$ について $\pi(q,p)=q$ なので $d\pi(v)=\sum_ia_i\,\partial/\partial q_i$ であり、$\lambda(v)=\sum_ip_ia_i=\bigl(\sum_ip_i\,dq_i\bigr)(v)$ である。よって $\lambda=\sum_ip_i\,dq_i$ で、$-d\lambda=-\sum_idp_i\wedge dq_i=\sum_idq_i\wedge dp_i$ となる。$\lambda$ は座標によらずに定義されているので $\omega$ も大域的に定まり、完全形式なので閉じている。座標では標準形 $\omega_0$ と同じ形なので、各点で非退化である。$\square$

$\pi\circ s_\alpha=\mathrm{id}_Q$ なので $d\pi\circ ds_\alpha=\mathrm{id}$ であり、$w\in T_qQ$ について $(s_\alpha^*\lambda)(w)=\lambda_{s_\alpha(q)}(ds_\alpha w)=\alpha_q(d\pi\,ds_\alpha w)=\alpha_q(w)$ となる。$s_\alpha$ は左逆写像 $\pi$ をもつはめ込みで、像は $n$ 次元の部分多様体であり、$s_\alpha$ はその上への微分同相写像である。したがって像の接空間が等方的であることと $s_\alpha^*\omega=0$ は同値で、$s_\alpha^*\omega=-d(s_\alpha^*\lambda)=-d\alpha$ である。次元は $n$ なので、等方的なら Lagrange 部分空間である（thm-sm-linear-normal-form の 2）。$\square$

段 1（1 点で合わせる）． $p$ のまわりの座標で $p$ を原点に写すものをとり、その像に含まれる原点中心の開球 $B$ の上で考える。$\omega$ を $B$ の上の形式とみて $\omega_1$ と書く。$T_pM$ のシンプレクティック基底（thm-sm-linear-normal-form の 1）に合わせて座標を線形に取り替えれば、原点で $\omega_1=\omega_0$ としてよい。
段 2（差の原始形式）． $\sigma:=\omega_1-\omega_0$ は $B$ の上の閉形式で、原点で $0$ である。$B$ は星状なので 微分形式 の定理「Poincaré の補題」により $\sigma=d\alpha$ となる 1 次形式 $\alpha$ がある。定数係数の 1 次形式 $\alpha_0:=\alpha(0)$ は閉じているので、$\alpha$ を $\alpha-\alpha_0$ に替えて $\alpha(0)=0$ としてよい。
段 3（線分の非退化性）． $\omega_t:=\omega_0+t\sigma$ は閉形式で、原点ではすべての $t$ で $\omega_0$ に等しく非退化である。$\omega_t$ の成分の行列式は $(t,x)$ について連続で、コンパクト集合 $[-1,2]\times\{0\}$ の上で $0$ でないので、原点中心の開球 $B'\subset B$ を、$(t,x)\in[-1,2]\times B'$ で $\omega_t$ が非退化になるようにとれる。
段 4（Moser の方程式）． $t\in(-1,2)$、$x\in B'$ について、ベクトル場 $X_t$ を
$$ \iota_{X_t}\omega_t=-\alpha $$
で定める。成分で書けば、$\omega_t$ の行列（正則で $(t,x)$ について滑らか）の逆行列を $-\alpha$ の成分に掛けたものなので、$X_t$ は $(t,x)$ について滑らかである。$\alpha(0)=0$ なので $X_t(0)=0$ である。時刻に依存するベクトル場の流れ $\varphi_t$（$\varphi_0=\mathrm{id}$）は、定義域が $(-1,2)\times(-1,2)\times B'$ の開集合で、各 $\varphi_t$ はその定義域から開集合への微分同相写像である（Lee13 Theorem 9.48、p. 237）。原点は動かないので $\varphi_t(0)=0$ であり、定義域が開集合で $[0,1]$ がコンパクトなことから、原点の開近傍 $U_0$ で、すべての $t\in[0,1]$ について $\varphi_t$ が $U_0$ の上で定義されるものがある。
段 5（流れで引き戻す）． 時刻に依存する流れについての Lie 微分の公式（Lee13 Proposition 22.15、p. 573）と Cartan の公式（Lie微分 の定理「Cartan の公式」）により、$U_0$ の上で
$$ \frac{d}{dt}\bigl(\varphi_t^*\omega_t\bigr)=\varphi_t^*\Bigl(\mathcal{L}_{X_t}\omega_t+\frac{d\omega_t}{dt}\Bigr)=\varphi_t^*\bigl(d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t+\sigma\bigr)=\varphi_t^*\bigl(-d\alpha+0+\sigma\bigr)=0 $$
である。よって $\varphi_1^*\omega_1=\varphi_0^*\omega_0=\omega_0$ が $U_0$ の上で成り立つ。
段 6（新しい座標）． 段 1 の座標を $\psi$ とすると、$\psi':=\varphi_1^{-1}\circ\psi$ は $p$ の近傍 $\psi^{-1}(\varphi_1(U_0))$ の上の座標で、$\psi'(p)=0$ であり、$(\psi'^{-1})^*\omega=(\psi^{-1}\circ\varphi_1)^*\omega=\varphi_1^*\omega_1=\omega_0$ となる。この座標が求めるものである。$\square$

Cartan の公式により $\mathcal{L}_{X_H}\omega=d\iota_{X_H}\omega+\iota_{X_H}d\omega=d(dH)+0=0$ であり、Lie微分 の命題「流れによる不変性と Lie 微分」から $\varphi_t^*\omega=\omega$ である。また $X_HH=dH(X_H)=\omega(X_H,X_H)=0$ なので、$H$ は積分曲線に沿って一定である。$\varphi_t^*(\omega^n)=(\varphi_t^*\omega)^n=\omega^n$ である。$\square$

$p\in C$ を固定する。$f\in I_C$ なら $df_p$ は $T_pC$ の上で $0$ なので、$v\in T_pC$ について $\omega(X_f(p),v)=df_p(v)=0$、すなわち $X_f(p)\in(T_pC)^\omega$ である。逆に $(T_pC)^\omega$ はこのような $X_f(p)$ で張られる。実際、$p$ のまわりの $C$ のスライス座標 $(x,y)$（$C=\{y=0\}$）と、$p$ の近くで $1$、台がその座標近傍に含まれるコンパクト集合の隆起関数 $\chi$ をとると、$\chi y^b$ を外へ $0$ で延ばした関数は $I_C$ に属し、$p$ での微分 $dy^b_p$ は $T_pC$ を消す余接ベクトルの全体を張る。$v\mapsto\omega(v,\cdot)$ は $(T_pC)^\omega$ をこの全体の上に写すので、主張が従う。
したがって、すべての $f,g\in I_C$ で $\{f,g\}(p)=\omega(X_f(p),X_g(p))=0$ となることは、$(T_pC)^\omega$ が等方的、すなわち $(T_pC)^\omega\subset((T_pC)^\omega)^\omega$ であることと同値で、thm-sm-linear-normal-form の 2 により右辺は $T_pC$ である。$\square$