群コホモロジー

1. $B^0=0$ で、$m\in Z^0$ は $(d^0m)(\sigma)=\sigma m-m=0$ がすべての $\sigma$ で成り立つこと、すなわち $m\in M^G$ である。
2. $f\in C^1$ について $(d^1f)(\sigma,\tau)=\sigma f(\tau)-f(\sigma\tau)+f(\sigma)$ なので、$f\in Z^1$ は交叉準同型の条件と同じである。$B^1=\operatorname{im}d^0$ は $\sigma\mapsto\sigma m-m$ の形の写像の全体である。
3. 自明な作用では交叉準同型の条件は $f(\sigma\tau)=f(\sigma)+f(\tau)$ となり、主交叉準同型は $\sigma m-m=0$ だけである。
4. $d^2$ と $d^1$ の定義式を $n=2$、$n=1$ で書いたものである。$\square$

要点：1 は $(g_0,\dots,g_n)=g_0\cdot(1,g_0^{-1}g_1,\dots,g_0^{-1}g_n)$ という一意な表示から、2 は $\mathbb{Z}$ 線形な縮約ホモトピー $(g_0,\dots,g_n)\mapsto(1,g_0,\dots,g_n)$ から、3 は基底 $(1,\sigma_1,\sigma_1\sigma_2,\dots)$ の成分を 1 つずつ除くと $d^n$ の各項が現れることから従う。

導来関手 の記事の命題「比較定理」により、$\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ に対する鎖写像 $u\colon P_\bullet\to X_\bullet$、$v\colon X_\bullet\to P_\bullet$ があり、$vu$ と $\mathrm{id}_P$、$uv$ と $\mathrm{id}_X$ はそれぞれ鎖ホモトピックである。反変加法関手 $\operatorname{Hom}_G(-,M)$ は鎖ホモトピー $s$ を $s^*$ に移し、等式 $\mathrm{id}-vu=\partial s+s\partial$ を $\mathrm{id}-u^*v^*=s^*\partial^*+\partial^*s^*$ に移す。よって $u^*,v^*$ は互いに逆のホモトピー同値であり、コホモロジー の記事の命題「ホモトピーな複体の射は同じ射を誘導する」により、コホモロジーに互いに逆の同型を誘導する。左辺は thm-gcoh-standard-resolution の 3 により $H^n(\operatorname{Hom}_G(X_\bullet,M))$ に等しい。$M$ についての自然性は、$G$ 準同型 $M\to N$ との合成が $u^*$ と可換なことから従う。$\square$

各 $n$ について、次の図式の行が完全で、四角形が可換であることを示す。
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & C^n(G,A) \ar[r]^{i_*} \ar[d]_{d^n} & C^n(G,B) \ar[r]^{j_*} \ar[d]_{d^n} & C^n(G,C) \ar[r] \ar[d]^{d^n} & 0\\ 0 \ar[r] & C^{n+1}(G,A) \ar[r]^{i_*} & C^{n+1}(G,B) \ar[r]^{j_*} & C^{n+1}(G,C) \ar[r] & 0 } $$
ここで $i_*h=i\circ h$、$j_*g=j\circ g$ であり、可換性とは $d^n\circ i_*=i_*\circ d^n$、$d^n\circ j_*=j_*\circ d^n$ のことである。これは $i,j$ が $G$ 準同型であることから従う（def-gcoh-cohomology の直後の説明）。行の完全性：$i$ が単射なので $i_*$ は単射である。$j\circ g=0$ となるのは $g$ が $\ker j=i(A)$ に値をとるとき、すなわち $g=i\circ(i^{-1}\circ g)$ と書けるときであり、$\ker j_*=\operatorname{im}i_*$ である。$j$ の集合としての切断 $s\colon C\to B$（$j\circ s=\mathrm{id}_C$）を 1 つとれば、任意の $f$ について $j_*(s\circ f)=f$ なので $j_*$ は全射である。
以上で $0\to C^\bullet(G,A)\to C^\bullet(G,B)\to C^\bullet(G,C)\to0$ は複体の短完全列であり、長完全列 の記事の定理「複体の短完全列の長完全列」により、コホモロジーの長完全列が得られる。同じ記事の接続準同型の構成（コサイクルを持ち上げ、その微分を $A$ の元として読む）を今の場合に書いたものが、主張の $\delta^n$ の記述である。$n=0$ では $C^0=$ 係数の加群、$H^0=$ 不変元であり（prop-gcoh-low-degree の 1）、$(d^0b)(\sigma)=\sigma b-b$ である。$\square$

$f\in Z^n(G,M)$ とし、$g\in C^{n-1}(G,M)$ を $g(\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}):=\sum_{\tau\in G}f(\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1},\tau)$ で定める（$n=1$ なら $g=\sum_\tau f(\tau)\in M$）。コサイクル条件 $(d^nf)(\sigma_1,\dots,\sigma_n,\tau)=0$ は
$$ \sigma_1f(\sigma_2,\dots,\sigma_n,\tau)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^if(\dots,\sigma_i\sigma_{i+1},\dots,\tau)+(-1)^nf(\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1},\sigma_n\tau)+(-1)^{n+1}f(\sigma_1,\dots,\sigma_n)=0 $$
である。$\tau$ について $G$ 全体で和をとる。$\tau\mapsto\sigma_n\tau$ は $G$ の全単射なので、第 3 項の和は $(-1)^ng(\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1})$ になる。したがって
$$ (d^{n-1}g)(\sigma_1,\dots,\sigma_n)+(-1)^{n+1}N\,f(\sigma_1,\dots,\sigma_n)=0 $$
であり、$Nf=(-1)^nd^{n-1}g\in B^n(G,M)$ である。$\square$

1. $N$ 倍写像 $\mu\colon M\to M$ は $G$ 準同型で、その逆も $G$ 準同型である。$\mu_*$ は $H^n$ 上の $N$ 倍写像であり、関手性により逆写像 $(\mu^{-1})_*$ をもつ。一方 prop-gcoh-order-kills により $\mu_*=0$ なので、$H^n(G,M)=0$ である。
2. prop-gcoh-low-degree の 3 により $H^1(G,\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}(G,\mathbb{Z})$ で、有限群の像は $\mathbb{Z}$ の有限部分群 $\{0\}$ なのでこれは $0$ である。短完全列 $0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0$ に thm-gcoh-long-exact を使うと、$H^1(G,\mathbb{Q})\to H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\xrightarrow{\delta^1}H^2(G,\mathbb{Z})\to H^2(G,\mathbb{Q})$ は完全で、両端は 1 により $0$ である。よって $H^2(G,\mathbb{Z})\cong H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ である。$\square$

$G$ 加群 $P$ について、$F\mapsto(p\mapsto F(p)(1))$ は同型 $\operatorname{Hom}_G(P,\operatorname{Map}(G,X))\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(P,X)$ を与え、逆写像は $u\mapsto(p\mapsto(\tau\mapsto u(\tau p)))$ である。

要点：$H$ への制限が主交叉準同型なら、その分を引いた交叉準同型は $H$ 上で $0$ になり、$G/H$ 上の $M^H$ 値の交叉準同型を経由する。