ファイバー束

同義語：fiber bundle繊維束

概要

前提知識: 位相空間, 連続写像, 積位相, ファイバー, 切断

ファイバー束とは

ファイバー束（fiber bundle）は、空間 $B$ の各点の上に同じ型の空間 $F$ が載り、各点の近くではその全体が直積 $U\times F$ に見える構造である。底空間の点 $b$ の上の部分 $p^{-1}(\{b\})$ をファイバーと呼ぶ。ただし、ファイバーが一つずつ $F$ と同相であるだけでは足りない。近くの点のファイバーを連続的にそろえる局所自明化が必要である（EoMBundle, MathWorldBundle）。
たとえば直積 $B\times F\to B$ は最も簡単なファイバー束である。これに対し Möbius の帯は円周上では小さい弧ごとに帯が直積に見えるが、一周すると横方向が反転する。局所的な直積と、大域的な直積は区別しなければならない。ベクトル束は各ファイバーにベクトル空間構造と線形な局所自明化を加えた特別なファイバー束であり、本記事では一般の位相的な束を扱う。
もう一つの似た言葉に茎がある。ファイバー束のファイバーは全空間 $E$ の一点上の逆像である。一方、層の茎は近傍上の切断の芽を集めたものなので、通常は同じ集合ではない。この差は、切断の局所的な情報を読むときに重要になる。

局所自明性の定義

$B,E,F$ を位相空間、$F$ を空でない空間とし、$p:E\to B$ を連続写像とする。$E$ は全空間、$B$ は底空間、$F$ は標準ファイバーと呼ぶ。$b\in B$ に対し $E_b=p^{-1}(\{b\})$ と書く。局所自明性とは、各 $b$ の近くで $p$ が直積からの第一射影と同じ形になることである。

ファイバー束

$p:E\to B$ がファイバー $F$ を持つファイバー束であるとは、各 $b\in B$ に開近傍 $U$ と同相写像
$$ \phi_U:p^{-1}(U)\longrightarrow U\times F $$
が存在し、$\operatorname{pr}_1\circ\phi_U=p|_{p^{-1}(U)}$ を満たすことをいう。$\phi_U$ を局所自明化という。$U=B$ と取れるとき、束を自明束という。

可換性の条件は単なる飾りではない。$\phi_U$ が $E_b$ を $\{b\}\times F$ に写すから、各ファイバーが $F$ と同相になる。全空間として偶然 $p^{-1}(U)\cong U\times F$ でも、その同相が底への射影を保たなければ束の局所自明化とは言えない。定義は EoMBundle の局所自明束と MathWorldBundle の射影と可換な同相写像に対応する。
局所自明化の取り方は普通一意ではない。ファイバー $E_b$ を $F$ と同一視する仕方も、選んだ自明化に依存する。従って各 $E_b$ は $F$ と同相だが、一般には全ての $E_b$ を $F$ の点として同時に読む標準的な方法はない。異なる近傍で選んだ座標の食い違いが、束のねじれを記録する。

ファイバーと局所切断

$p:E\to B$ を上のファイバー束とする。各 $b\in B$ で $E_b\cong F$ であり、$p$ は全射である。また、任意の $b$ に対し $b$ の開近傍 $U$ 上の連続な切断 $s:U\to E$ が存在する。

局所自明化で一点を選ぶ

$b$ を含む自明化 $\phi_U$ を取る。射影との可換性により $\phi_U$ を $E_b$ に制限すると $\{b\}\times F$ への同相写像になる。$F$ は空でないから各 $E_b$ も空で、$p$ は全射である。$f_0\in F$ を一つ選び、$s(u)=\phi_U^{-1}(u,f_0)$ と置くと連続で、$p(s(u))=u$ である。従って $s$ は $U$ 上の切断となる。

この証明は局所切断を作るが、大域切断の存在は保証しない。異なる自明化で選んだ一定の $f_0$ が重なりで一致するとは限らないためである。「局所的に選べる」と「底空間全体で連続に選べる」は、束でも別の問題になる。

遷移写像がねじれを記録する

底空間を開集合 $U_i$ で覆い、それぞれに局所自明化 $\phi_i$ を選ぶ。重なり $U_i\cap U_j$ 上で、一方の座標から他方の座標へ移る写像 $\phi_i\circ\phi_j^{-1}$ は第一成分を保つ。したがって各 $b\in U_i\cap U_j$ でファイバー $F$ の自己同相 $g_{ij}(b)$ が現れ、
$$ \phi_i\circ\phi_j^{-1}(b,f)=(b,g_{ij}(b)(f)) $$
と書ける。これが遷移写像である。$g_{ij}$ の連続性は、$(b,f)\mapsto g_{ij}(b)(f)$ が連続であるという意味で要求される。$F$ の自己同相群に別途どの位相を入れるかは、束の種類を追加指定するときの問題である。

遷移写像の整合条件

同じ束の局所自明化から得た遷移写像は、定義される重なりで
$$ g_{ii}(b)=\operatorname{id}_F,\qquad g_{ij}(b)g_{ji}(b)=\operatorname{id}_F,\qquad g_{ij}(b)g_{jk}(b)=g_{ik}(b) $$
を満たす。最後の式は三重の重なり $U_i\cap U_j\cap U_k$ 上で成り立つ。

座標変換の合成

$\phi_i\circ\phi_i^{-1}$ は恒等写像なので第1式が従う。$(\phi_i\circ\phi_j^{-1})(\phi_j\circ\phi_i^{-1})$ も恒等写像なので第2式が従う。三重の重なり上では
$$ (\phi_i\circ\phi_j^{-1})\circ(\phi_j\circ\phi_k^{-1}) =\phi_i\circ\phi_k^{-1}. $$
両辺を $(b,f)$ に作用させて第二成分を比較すれば第3式になる。全ての式は、同じ点 $b$ の上のファイバーで座標変換を合成している。

自明束なら一つの大域自明化を使えば遷移写像は恒等にできる。ただし、選んだ局所自明化の遷移写像が一見複雑であることだけで非自明とは結論できない。座標の選び直しで単純になることがある。束が自明かどうかは、全空間から $B\times F$ への底を保つ大域同相写像が存在するかで判定する。
同じことを切断の座標で見ると、$U_i$ 上の切断 $s$ は $\phi_i(s(b))=(b,h_i(b))$ という $F$ 値関数 $h_i$ で表される。$U_i\cap U_j$ 上では
$$ h_i(b)=g_{ij}(b)(h_j(b)) $$
となる。局所的に選んだ関数 $h_i$ を一つの大域切断に貼るには、この等式が全ての重なりで必要である。単に各 $h_i$ が連続であるだけでは足りない。直積束なら恒等の遷移写像を選べるので、重なりで関数値がそのまま一致すればよい。ねじれた束では遷移写像で変換した後に比較する。

局所座標での切断の貼り合わせ

束の局所自明化が開被覆 $\{U_i\}$ 上にあり、連続写像 $h_i:U_i\to F$ が各重なりで $h_i(b)=g_{ij}(b)(h_j(b))$ を満たすなら、これらはただ一つの大域切断 $s:B\to E$ を定める。逆に大域切断の局所座標はこの条件を満たす。

局所切断を貼る

$U_i$ 上で $s_i(b)=\phi_i^{-1}(b,h_i(b))$ と置く。各 $s_i$ は連続で $p\circ s_i=\operatorname{id}_{U_i}$ を満たす。重なりでは $\phi_i(s_j(b))=(b,g_{ij}(b)(h_j(b)))=(b,h_i(b))=\phi_i(s_i(b))$ なので $s_i=s_j$。よって $s(b)=s_i(b)$（$b\in U_i$）はよく定まり、開集合ごとに連続だから全体でも連続な切断となる。一意性は局所的に $s_i$ と等しいことから従う。逆向きは同じ座標変換の式を大域切断へ適用すればよい。

ベクトル束では $F=\mathbb R^r$ または $\mathbb C^r$ で、各 $g_{ij}(b)$ が線形同型となるように要求する。一般のファイバー束にはその線形条件がない。円周をファイバーに持つ束や有限集合をファイバーに持つ被覆空間も扱える。この一般性が、ベクトル束の記事と本記事の主題の違いである。

具体例と反例

直積束と関数としての切断

$E=B\times F$、$p(b,f)=b$ とする。$\phi_B$ を恒等写像とすれば自明なファイバー束である。切断 $s:B\to B\times F$ は $p\circ s=\operatorname{id}_B$ を満たすので、ただ一つの連続写像 $h:B\to F$ により $s(b)=(b,h(b))$ と書ける。従って直積束の切断は $F$ 値連続関数と同じデータである。一般の束では、各局所自明化で得る関数 $h_i:U_i\to F$ が重なりで遷移写像に従って変換する。

二重被覆は離散ファイバーの束

単位円周 $S^1$ 上の $p:S^1\to S^1$、$p(z)=z^2$ は二重被覆で、各ファイバーは二点集合である。各 $b$ の十分小さい弧 $U$ で平方根の二つの枝を選べば、$p^{-1}(U)\cong U\times\{1,2\}$ という底を保つ局所自明化が得られる。しかし大域的に一つの連続な平方根を選ぶ切断はない。各弧での二点の名前は、一周すると入れ替わる。

円周二重被覆に切断はない

もし連続切断 $s$ があれば $s(w)^2=w$ が全ての $w\in S^1$ で成り立つ。$h(t)=s(e^{2\pi it})$（$0\le t\le1$）と置き、区間上の連続な偏角を $h(t)=e^{2\pi i\theta(t)}$ と取る。$2\theta(t)-t$ は整数値の連続関数なので一定である。従って $2(\theta(1)-\theta(0))=1$。しかし $h(0)=h(1)$ だから $\theta(1)-\theta(0)$ は整数であり、左辺は偶数で矛盾する。この証明は大域切断がないことを示すが、局所切断の存在とは矛盾しない。

より一般に、$n$ 枚のシートを持つ被覆空間では、底の各点の近くの均一被覆近傍 $U$ に対し、その逆像が互いに素な $n$ 個の開集合に分かれ、それぞれが $U$ と同相になる。各シートに $1,\ldots,n$ と名前を付ければ $p^{-1}(U)\cong U\times\{1,\ldots,n\}$ が得られる。ただしシートの名前は近傍ごとに変わり、一周した後に入れ替わることもある。二重被覆の例は、この入れ替わりが大域切断を妨げる場合を示す。無限枚の被覆でも、各均一被覆近傍で使う離散ファイバーの集合の濃度が束の全体で一定になる状況なら、同様に束と見られる。

Möbius の帯と円周ファイバー

帯 $[0,1]\times[-1,1]$ の端を $(0,t)\sim(1,-t)$ で貼った Möbius の帯を、第一成分を円周にした射影で $S^1$ 上の束とみなす。各ファイバーは区間 $[-1,1]$ で、小さい弧上では直積に見える。端をまたぐ局所座標の切り替えでは $t\mapsto-t$ が現れる。全体は円周と区間の直積である円筒とは異なる。この例は、全てのファイバーが同じでも大域的な貼り方が異なり得ることを示す（MathWorldBundle）。
また Hopf ファイブレーションは $S^3\to S^2$ の円周 $S^1$ をファイバーとする例である。区間、離散集合、円周のどれも標準ファイバーになれるので、ファイバー束という語はファイバーの形を一つに固定しない。一方、ベクトル束には各ファイバーの線形構造という追加の条件がある。

ファイバーの形だけでは束にならない

$p:\mathbb R\to[0,\infty)$、$p(t)=t^2$ を考える。$b>0$ のファイバーは $\{\sqrt b,-\sqrt b\}$ の二点だが、$b=0$ のファイバーは $\{0\}$ の一点である。従って固定した空でない $F$ に全ファイバーが同相とはなれず、$p$ はファイバー束ではない。連続な全射であり、点ごとにファイバーを定義できるというだけでは局所自明性を保証しない。

さらに、たとえ全ファイバーが互いに同相でも、その同相を近傍で連続的に選べるとは限らない。「全ファイバーが同じ型」という必要条件と、「局所自明化がある」という定義を取り違えない。反例を調べるときは、まずファイバーの同相型が変わるかを見て、変わらなければ次に局所座標を実際に組み立てられるかを問う。
同じ理由で、$p:E\to B$ が全射であることや、全てのファイバーが非空であることも束の十分条件ではない。例えば上の $t\mapsto t^2$ は全射で各ファイバーは非空だが、$0$ の近くで二点と一点が混在する。局所自明化があるなら一つの近傍内ではファイバーの連結成分の個数などの位相的な性質は一定になる。こうした不変量が跳ぶ場合、局所自明化は存在し得ない。ただし不変量が一定であるという検査に通っても、それだけで同相写像 $\phi_U$ を構成したことにはならない。

引き戻しで底を変える

ファイバー束は底空間の写像に沿って引き戻せる。$q:B'\to B$ を連続写像とし、$E'=B'\times_B E=\{(b',e):q(b')=p(e)\}$ に部分空間位相を入れ、$p'(b',e)=b'$ とする。$b'$ 上のファイバーは元の $q(b')$ 上のファイバーと自然に対応する。EoMBundle はこの構成が再び局所自明束になると述べている。

束の引き戻しは束になる

$p:E\to B$ がファイバー $F$ を持つ束、$q:B'\to B$ が連続なら、$p':B'\times_B E\to B'$ もファイバー $F$ を持つ束である。元の束の切断 $s:B\to E$ があれば、$s'(b')=(b',s(q(b')))$ は引き戻した束の切断である。

自明化を引き戻す

$b'\in B'$ を取り、$q(b')$ を含む元の束の自明化 $\phi_U:p^{-1}(U)\to U\times F$ を選ぶ。$q^{-1}(U)$ は $b'$ の開近傍である。$(b'',e)\in p'^{-1}(q^{-1}(U))$ に対し、$\phi_U(e)=(q(b''),f)$ と書き、$(b'',e)\mapsto(b'',f)$ と定める。逆写像は $(b'',f)\mapsto(b'',\phi_U^{-1}(q(b''),f))$ であり、どちらも連続で第一射影と可換である。従って局所自明化となる。$s'$ については $p'(s'(b'))=b'$ を直接確かめられる。

この構成では、元の束を別の空間から観察する。たとえば点から $B$ への写像で引き戻すと、得られる束の全空間はその点の上の一つのファイバーである。地図の上の経路 $\gamma:[0,1]\to B$ で引き戻せば、経路に沿って並んだファイバーの族になる。引き戻しと単なる集合としての逆像の違いは、底 $B'$ と各ファイバーを結ぶ射影を新しく持つことにある。

切断の芽とファイバーを区別する

束 $p:E\to B$ の開集合 $U\subseteq B$ 上の連続切断全体を $\mathcal S(U)$ と書くと、切断の制限により $B$ 上の層になる。点 $b$ における茎 $\mathcal S_b$ の元は、$b$ のある近傍で定義された切断の芽である。各芽は切断の値 $s(b)\in E_b$ を持つので、評価写像
$$ \operatorname{ev}_b:\mathcal S_b\longrightarrow E_b,\qquad s_b\longmapsto s(b) $$
が定まる。これは代表を取り替えても変わらない。しかし一般には一対一ではない。
なぜ切断全体が層になるかを明示しておく。$U$ の開被覆上の切断 $s_i$ が重なりで一致すれば、各点で $s(b)=s_i(b)$ と置ける。重なりでの一致により値は一意であり、連続性は各 $U_i$ 上で確認できる。逆に二つの切断が各 $U_i$ で一致すれば、全ての点で値が一致するため同じ切断である。この層の茎は「一点上のファイバーの点」だけでなく、その点の周囲でどのように切断を選んだかまで覚えている。

局所切断の芽からファイバーへの評価

$F$ が空でないファイバー束では、$\operatorname{ev}_b$ は全射である。一方、自明な実数直線束 $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ の $b=0$ では単射でない。

同じ値を持つ異なる芽

任意の $e\in E_b$ に対し、$b$ の近くの自明化を選び $\phi_U(e)=(b,f)$ と書く。$u\mapsto\phi_U^{-1}(u,f)$ は局所切断で、その $b$ における値は $e$ である。従って評価写像は全射。自明な実数直線束では $s_0(t)=(t,0)$ と $s_1(t)=(t,t)$ を考える。両者は $t=0$ で同じ点 $(0,0)$ を選ぶが、$0$ のどの開近傍でも切断として一致しないので、芽は異なる。よって評価写像は単射でない。

これがファイバーと茎の基本的な対比である。ファイバーはその点で選ばれた値を集め、切断の茎はその値へ近づく選び方の局所的な振る舞いを集める。束そのものと層を同一視してはいけないが、切断を通じて相互に関係する。局所自明化があるから任意のファイバーの点を局所切断の値として実現できる一方、異なる局所切断が同じ値をとることもある。
なお、任意の層から作るエタレ空間は茎を各点の上に置くが、その射影がここで定義したファイバー束になるとは限らない。エタレ空間の射影は局所同相であっても、底の一つの開近傍の上で全てのシートを同時に $U\times F$ とそろえる条件は別に必要である。被覆空間なら離散ファイバーについてこの条件がある。この違いを保つと、「茎を並べれば必ずファイバー束になる」という誤解を避けられる。

適用範囲と読み方

ファイバー束を示すときは、射影が連続なことだけでなく、各底の点を含む開集合の上で底を保つ同相写像を作る。局所自明化ができれば、その開集合内のファイバーは全て同じ $F$ と同相になる。遷移写像を用いる場合は二重の重なりでファイバー座標がどう変わるか、三重の重なりで変換が整合するかを確認する。
切断を調べるときは、局所自明化上では $F$ 値関数として表せることを使える。ただし各開集合で得た関数が大域的に一つの $F$ 値関数になるとは限らない。大域切断の存在、束の自明性、局所切断の存在は三つの異なる主張である。たとえば Möbius の帯には中央線に沿う大域切断があるが、帯は直積束ではない。二重被覆には局所切断はあるが、大域切断はない。
このため、束の計算では「各点で選べる」「各点の近くで連続に選べる」「底全体で連続に選べる」を順に分けるとよい。
最後に「ファイバー束」と「ファイバー」も区別する。任意の写像には一点の逆像としてファイバーがある。しかし、そのファイバーを底の近くで同じ型に連続的にそろえられて初めてファイバー束になる。代数幾何でいうスキーム射のファイバーはさらに基礎体を伴うファイバー積で定義され、位相的なファイバー束と同じ構造を常に与えるわけではない。各分野で、何を底とし、どの種類の局所自明性を課すかを確かめる。