Ex∞関手

1。$\sigma\in A_m$ の像を $C$ とし、$\sigma=\tau_C\circ\alpha$（$\alpha\colon[m]\to[\lvert C\rvert-1]$ は全射）と分ける。$\alpha$ の切断 $s$ について $\tau_C=\sigma\circ s=s^*\sigma\in A$ なので $C\in\operatorname{Ch}_A(P)$ であり、これが $\sigma$ の退化単体としての一意な表示である（単体的集合 の命題「退化単体の一意な表示」）。$C'\subset C$ なら $\tau_{C'}=\tau_C\circ\delta$（$\delta$ は位置の包含）なので、$f$ から作った族は条件をみたす。逆に条件をみたす族 $(y_C)$ に対し $f(\sigma):=\alpha^*y_C$ とおく。順序写像 $\theta\colon[m']\to[m]$ について $\alpha\theta=\delta\gamma$（$\gamma$ は全射、$\delta$ は単射）と分けると、$\sigma\theta=(\tau_C\delta)\gamma$ で $\tau_C\delta=\tau_{C'}$（$C'=\sigma\theta([m'])$）なので、$f(\sigma\theta)=\gamma^*y_{C'}=\gamma^*\delta^*y_C=\theta^*\alpha^*y_C=\theta^*f(\sigma)$ である。よって $f$ は単体的写像で、2 つの対応は互いに逆である。$P$ が有限なら $\operatorname{Ch}_A(P)$ は有限で、族の集合は関手 $Y\mapsto Y_q$ たちの有限極限である。フィルター余極限は次数ごとに計算され、集合の有限極限と可換なので、後半が従う。

2。$\sigma$ の像は鎖なので $\sigma(T_i)$ は空でない鎖で、$\tau_{\sigma(T_r)}$ は $\tau_{\sigma([m])}\in A$ の面なので $A$ に入る。$c[\alpha^*x;T]=(x\alpha(T_i))_i=c[x;\alpha_*T]$ なので $c$ は商の上で定まり、$T$ の項の選び方として働く単体作用素と可換である。逆向きに、$C_0\subset\cdots\subset C_r$ に対し $\tau=\tau_{C_r}$、$V_i=\tau^{-1}(C_i)$ として $d(C)=[\tau;V]$ とおくと、$cd=\mathrm{id}$ は明らかである。$dc=\mathrm{id}$ を示す。$[\sigma;T]$ について、$T_r$ を小さい順に並べる単射 $\delta$ と $S_i=\delta^{-1}(T_i)$ をとると $[\sigma;T]=[\sigma;\delta_*S]\sim[\sigma\delta;S]$ である。$\sigma\delta$ の像は $C_r=\sigma(T_r)$ なので $\sigma\delta=\tau\alpha$（$\alpha$ は全射）と書け、$[\sigma\delta;S]=[\alpha^*\tau;S]\sim[\tau;\alpha_*S]$ である。$\alpha(S_i)=\tau^{-1}(\sigma\delta(S_i))=\tau^{-1}(\sigma(T_i))=V_i$ なので $[\sigma;T]=dc[\sigma;T]$ である。よって $c$ は全単射で、単体的集合の同型である。自然性は $c[f\sigma;T]=(f(\sigma(T_i)))_i$ による。最後に、$\ell_A[\sigma;T]$ は $\sigma\circ\ell_m(T)=(\sigma(\max T_i))_i$ であり、$\sigma$ は順序を保つので $\sigma(\max T_i)=\max\sigma(T_i)$ である。$\square$

1。$\psi\colon X\to\operatorname{Ex}Y$ について、$x$ の成分の上で $\psi(x)\colon\operatorname{sd}\Delta^n\to Y$ とおく。$\Delta/X$ の射 $\alpha\colon(m',\alpha^*x)\to(m,x)$ について $\psi(\alpha^*x)=\alpha^*\psi(x)=\psi(x)\circ N(\alpha_*)$ なので、余極限の普遍性から $\psi^\flat\colon\operatorname{sd}X\to Y$ が定まる。逆に $\varphi\circ\iota_{\alpha^*x}=\varphi\circ\iota_x\circ N(\alpha_*)$ なので $x\mapsto\varphi\circ\iota_x$ は単体的写像である。2 つの対応が互いに逆であることは成分ごとに見ればわかる。$\operatorname{sd}t$ は $y$ の成分を $t(y)$ の成分に恒等写像で写すので $(\psi t)^\flat\iota_y=\psi(t(y))=\psi^\flat\,\operatorname{sd}(t)\,\iota_y$ であり、2 番目の式も同様である。$(j_Y)^\flat\iota_y=y\circ\ell_n=\ell_Y\iota_y$ である。

2。右随伴なので極限を保ち、単射（引き戻しで特徴づけられる）も保つ。$\operatorname{sd}\Delta^n=N(P_n)$ に lem-exinf-poset の 1 を当てると $(\operatorname{Ex}\operatorname{colim}_iY_i)_n=\operatorname{colim}_i(\operatorname{Ex}Y_i)_n$ である。$\operatorname{Ex}^\infty$ は次数ごとに $\operatorname{Ex}^t$ の列の余極限なので、有限極限との可換性は集合の列の余極限と有限極限の可換性から、単射の保存は単射の列の余極限が単射であることから、フィルター余極限との可換性は余極限どうしの交換から従う。$\operatorname{Hom}(\operatorname{sd}\Delta^n,\Delta^0)$ は 1 点である。

3。$\kappa\colon[n]\to P_n$、$\kappa(i)=\{0,\dots,i\}$ は順序を保ち $\max\kappa(i)=i$ なので、$\ell_n\circ N(\kappa)=\mathrm{id}$ であり、$\ell_n$ は各次数で全射である。よって $y\circ\ell_n=y'\circ\ell_n$ なら $y=y'$ である。単射の列の余極限への写像は単射である。$\square$

$0$ と $k$ を入れ替える $[n]$ の全単射は $P_n$ の順序同型を誘導し、$Q$ を $k=0$ のときの $Q$ に写すので、$k=0$、$V=\{1,\dots,n\}$ としてよい。$N(P_n)$ の非退化単体は真に増加する鎖 $\sigma=(S_0\subsetneq\cdots\subsetneq S_d)$ で、$N(Q)$ に入らないのは $U$ か $V$ を項にもつものである。そのような $\sigma$ について、$0$ を含まない項の個数を $a=a(\sigma)$ とし（それらは $S_0,\dots,S_{a-1}$）、$A=S_{a-1}$（$a=0$ なら $A=\emptyset$）、$B=A\cup\{0\}$ とおく。$a\le d$ かつ $S_a=B$ のとき $\sigma$ を I 型、そうでないとき II 型とよぶ。

(i) 対。II 型の $\sigma$ に、位置 $a$ に $B$ を入れた鎖 $\pi(\sigma)$ を対応させる。$a=0$ なら $S_0\ni0$ かつ $S_0\ne\{0\}$ なので $\{0\}\subsetneq S_0$、$0< a\le d$ なら $A\subsetneq B\subsetneq S_a$、$a=d+1$ なら $U$ は項でないので $S_d=V$、$B=U$ で末尾に付け加える。いずれも真に増加する鎖で、$\sigma$ の項をすべて含むので $N(Q)$ に入らず、$a$ は変わらず I 型である。逆に I 型の $\rho$ から項 $B$ を除くと、$B\ne V$ であり、$B=U$ なら $A=V$ が残るので、$U$ か $V$ を項にもつ鎖が残る。$A$ と $a$ は変わらず、次の項（あれば）は $B$ を真に含むので II 型である。よって $\pi$ は II 型から I 型への全単射で、$\sigma=d_a\pi(\sigma)$ であり、異なる項を除けば異なる鎖になるので $d_i\pi(\sigma)=\sigma$ となる $i$ は $a$ だけである。

(ii) 面の分類。次元 $d$ の II 型 $\sigma$ に順位 $(d,a)$ を与え、辞書式に比べる。$\pi(\sigma)$ の $\sigma$ 以外の真の面 $w$ は、$N(Q)$ に入るか、順位が $(d,a)$ より小さい II 型か、そのような II 型の対である。実際、次元 $d-1$ 以下の $w$ は、II 型なら順位の第 1 成分が小さく、I 型なら対の次元が $d-2$ 以下である。次元 $d$ の $w$ は $\pi(\sigma)$ から $B$ 以外の項を 1 つ除いたもので、$B$ より後の項か $S_j$（$j< a-1$）を除けば $A$ と $B$ が隣り合って残るので、$N(Q)$ に入らない限り I 型で、対は次元 $d-1$ である。$A$ を除くと（$a\ge1$）、$0$ を含まない最後の項は $S_{a-2}$（$a=1$ なら空）で、その直後の $B$ は $S_{a-2}\cup\{0\}$ と異なるので、$w$ は順位 $(d,a-1)$ の II 型であるか、$N(Q)$ に入る。

(iii) 貼り合わせ。$Z_{(d,a)}$ を、$N(Q)$ と順位 $(d,a)$ 以下の II 型 $\sigma$ と $\pi(\sigma)$ が生成する部分単体的集合とし、$Z'$ を順位が $(d,a)$ より小さいものについての和とする。(ii) により、$\pi(\sigma)\colon\Delta^{d+1}\to N(P_n)$（真に増加する鎖なので単射）は $\Lambda^{d+1}_a$ を $Z'$ に写す。$\Delta^{d+1}$ の $\Lambda^{d+1}_a$ の補集合は最高次元の単体と第 $a$ 面の退化であり、その像は $\pi(\sigma)$ と $\sigma$ の退化で、退化単体の一意な表示により $\sigma$ ごとに互いに異なり、$Z'$ に入らない。$Z_{(d,a)}\setminus Z'$ の単体はこれで尽くされるので、Kan–Quillenモデル構造 の節「1 単射と小対象の議論」の補集合による判定から、$Z_{(d,a)}$ は $Z'$ に $\coprod_\sigma\Delta^{d+1}$ を $\coprod_\sigma\Lambda^{d+1}_a$ に沿って貼った押し出しである。鎖の長さは $n+1$ 以下なので $d\le n-1$、$a\le d+1$ で、順位は有限個である。$N(Q)$ に入らない非退化単体はどれかの対に属するので、最後の段は $N(P_n)$ である。$\square$