射影空間の因子類群

要点：$G^{(i)}$ の次数は $e$ から「全項に共通する $x_i$ の指数」を引いたもので、斉次化は分解を保つ。

1 と 2。素因子 $Y$ をとる。$Y$ は空でないので、ある $i$ について $Y\cap U_i\ne\emptyset$ である。余次元は生成点の局所環の次元なので $Y\cap U_i$ は $U_i$ の余次元 $1$ の既約閉集合であり、多項式環 $k[t_j]_{j\ne i}$ は一意分解整域だから、その高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ は既約多項式 $f$ で生成される。実際、$\mathfrak{q}$ の $0$ でない元を素元の積に書くと（一意分解整域 の定理「一意分解整域の特徴づけ」の 3）、ある素元 $f$ が $\mathfrak{q}$ に入り、$0\subsetneq(f)\subset\mathfrak{q}$ で $(f)$ は素イデアル、$\mathfrak{q}$ は高さ $1$ だから $\mathfrak{q}=(f)$ である。$Y\cap U_i=V(f)$ である。$F:=f^{\mathrm{h}}$ は $x_i\nmid F$ で、lem-cgps-dehomogenize の 1 と斉次化の乗法性により既約な斉次多項式であり（$F=GH$、$G,H$ が正の次数なら $x_i\nmid G,H$ で、1 により $f=G^{(i)}H^{(i)}$ は正の次数の多項式の積になる）、$F^{(i)}=f$ である。$(F)$ は斉次素イデアルなので $V_+(F)$ は既約閉集合で、$V_+(F)\cap U_i=V(f)=Y\cap U_i$ である。$Y$ と $V_+(F)$ はどちらも既約なので、空でない開集合 $U_i$ との交わりは稠密であり、閉包をとって $Y=V_+(F)$ を得る。
逆に $F$ を次数 $d\ge1$ の既約な斉次多項式とする。$F$ がすべての $x_i$ で割り切れることはない（$x_0$ と $x_1$ の両方の $k^\times$ 倍になってしまう）ので、$x_i\nmid F$ となる $i$ がある。lem-cgps-dehomogenize の 2 により $f:=F^{(i)}$ は既約で、$(f)$ は $0$ でない単項の素イデアルだから高さ $1$ であり（Krullの単項イデアル定理）、$V_+(F)\cap U_i=V(f)$ は $U_i$ の余次元 $1$ の既約閉集合である。上と同じく $V_+(F)$ は既約で $V(f)$ の閉包であり、余次元は $1$ である。
2：$Y=V_+(F)$、$x_i\nmid F$、$f=F^{(i)}$ とすると、$Y$ の生成点は $U_i$ の素イデアル $(f)$ に対応するので $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,Y}=k[t_j]_{(f)}$ であり、これは $f$ を素元とする離散付値環で、$\operatorname{ord}_Y$ は $f$ の指数 $v_f$ である。$G=F^aG_1$（$F\nmid G_1$）とすると lem-cgps-dehomogenize の 3 により $\operatorname{ord}_Y(G/x_i^e)=v_f(G^{(i)})=a=v_F(G)$ である。
1 の一意性：$V_+(F)=V_+(F')=Y$（$F,F'$ は既約な斉次多項式）とし、$x_i\nmid F$ とする。$Y\subset V_+(F')$ だから $F'/x_i^{\deg F'}$ は $Y$ の生成点で消え、2 により $v_F(F')=\operatorname{ord}_Y(F'/x_i^{\deg F'})\ge1$、すなわち $F\mid F'$ である。$F'$ は既約なので $F'\in k^\times F$ である。
3。$K$ の元は同じ次数の斉次多項式の比 $G/G'$ と書ける（$U_0$ の上の有理関数 $g/g'$ の分子分母を斉次化し、$x_0$ の冪を掛けて次数をそろえればよい）。$G,G'$ を次数 $e$ とし、素因子 $Y=V_+(F)$ ごとに $x_i\nmid F$ となる $i$ をとると、$\varphi=G/G'=(G/x_i^e)/(G'/x_i^e)$ だから、2 により
$$ \operatorname{ord}_Y(\varphi)=v_F(G)-v_F(G'),\qquad\operatorname{div}(\varphi)=\sum_F\bigl(v_F(G)-v_F(G')\bigr)\,V_+(F) $$
である（和は既約な斉次多項式を $k^\times$ 倍を除いてわたる。$G=AB$ なら最高次の斉次成分どうしと最低次の斉次成分どうしの積がともに $G$ の斉次成分になるので、斉次多項式の既約因子は斉次であり、$G$ の素因数分解はこの形の $F$ の冪の積と $k^\times$ の元の積である）。よって $\deg\operatorname{div}(\varphi)=\sum_Fv_F(G)\deg F-\sum_Fv_F(G')\deg F=e-e=0$ であり、$\deg$ は $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ を誘導する。
全射：超平面 $H=V_+(\ell)$ は $\ell$ が既約なので素因子で、$\deg H=1$ である。単射：$D=\sum_Fn_FV_+(F)$ が $\sum_Fn_F\deg F=0$ をみたすとき、$\varphi:=\prod_FF^{n_F}$ は分子と分母が同じ次数の斉次多項式の比なので $K^\times$ の元であり、上の式により $\operatorname{div}(\varphi)=D$ である。最後に、次数 $m$ の因子 $D$ について $D-mH$ は次数 $0$ なので主因子であり、$D\sim mH$ である。$\square$

$\mathbb{P}^n$ はアフィン空間 $U_i$ で覆われる正則スキームなので局所分解的であり、$\mathcal{L}$ にその有理切断 $s$ の因子の類 $[\operatorname{div}(s)]$ を対応させる写像は同型 $\operatorname{Pic}\mathbb{P}^n\cong\operatorname{Cl}\mathbb{P}^n$ である（Weil因子 の定理「Cartier因子とWeil因子」の 3・4 と注意「Weil因子に付随する層と有理切断の因子」）。$\mathcal{O}(1)$ の大域切断 $x_0$ をとる。$U_i$ の上で $\mathcal{O}(1)$ は $x_i$ で生成され、$x_0=(x_0/x_i)\,x_i$ だから、$\operatorname{div}(x_0)$ の $U_i$ での局所方程式は $x_0/x_i$ である。thm-cgps-main の 2（$F=x_0$、$i\ne0$）により $\operatorname{ord}_H(x_0/x_i)=1$（$H=V_+(x_0)$）で、他の素因子 $V_+(F)$ では、$x_i\nmid F$ となる $i$ をとって同じく $\operatorname{ord}(x_0/x_i)=v_F(x_0)=0$ である。よって $\operatorname{div}(x_0)=H$ であり、$[\mathcal{O}(1)]$ は $\operatorname{Cl}\cong\mathbb{Z}$ の生成元 $[H]$ に対応する。$\mathcal{O}(m)=\mathcal{O}(1)^{\otimes m}$ は $m[H]$ に対応するので主張を得る。$\square$

$V_+(F)=\bigcup_jV_+(F_j)$ であり、thm-cgps-main の 1 により $V_+(F_j)$ は互いに異なる素因子、すなわち $V_+(F)$ の余次元 $1$ の既約成分である。Weil因子 の定理「開集合への制限の完全列」により $\mathbb{Z}^s\to\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\to\operatorname{Cl}(U)\to0$（$j$ 番目の基底を $[V_+(F_j)]$ に送る）は完全である。次数による同型 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ のもとで左の写像の像は $\sum_j\deg F_j\,\mathbb{Z}=g\mathbb{Z}$ なので、$\operatorname{Cl}(U)\cong\mathbb{Z}/g\mathbb{Z}$ である。$\square$