関手圏(豊穣圏)

前提知識: 豊穣圏, 関手(豊穣圏), 積(圏論), 等化子

定義

以下 $\mathcal V$ は局所小で完備な対称モノイダル閉圏とする。テンソル積を $\otimes$、単位を $I$、内部Homを $[U,V]$ と書く。内部Homは任意の $T$ に自然な全単射
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V]) \cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)$$
を満たす。小ささは固定した宇宙で解釈し、関手全体を集める際には必要に応じて大きい宇宙に移る。
豊穣圏 $\mathcal A,\mathcal B$ はHom対象、結合的な合成
$\mathcal A(b,c)\otimes\mathcal A(a,b)\to\mathcal A(a,c)$、単位 $I\to\mathcal A(a,a)$ を持つ。豊穣関手（関手(豊穣圏)）$F$ は対象とHom対象を運び、合成・単位を保つ。以下 $\mathcal A$ の対象集合は小さいとする。

このHom対象を豊穣エンド（エンド(豊穣圏)）
$$[\mathcal A,\mathcal B](F,G)=\int_a\mathcal B(Fa,Ga)$$
とも書く。通常の自然変換の集合ではなく、自然性を満たす成分の族を集めた $\mathcal V$ の対象である。Kel05 §§2.1–2.2、式(2.2),(2.10)–(2.16)。

パラメータ付き自然性

この条件は $\mathcal A(a,b)$ 全体に対する射の等式である。$I\to\mathcal A(a,b)$ の個々の元だけを代入して確認することは、一般には十分でない。

例

合成と評価

豊穣前層と∞圏への接続

$\mathcal B=\mathcal V$ とし、$\mathcal A$ をその反対豊穣圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に替えた
$[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V]$ が豊穣前層圏（前層(豊穣圏)）である。ここで反対豊穣圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ とは、Hom対象を $\mathcal A^{\mathrm{op}}(a,b)=\mathcal A(b,a)$ とし、合成 $\mathcal A^{\mathrm{op}}(b,c)\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}(a,b)=\mathcal A(c,b)\otimes\mathcal A(b,a)$ を対称性 $\tau$ で $\mathcal A(b,a)\otimes\mathcal A(c,b)$ に並べ替えてから $\mathcal A$ の合成 $\to\mathcal A(c,a)=\mathcal A^{\mathrm{op}}(a,c)$ を施すことで定めた豊穣圏である（単位は $\mathcal A$ と同じ）。前層間のHom対象は内部Homのエンドとなり、豊穣米田の補題（米田の補題(豊穣圏)）や重み付き極限（重み付き極限(豊穣圏)）の普遍性を記述する。
$\mathcal V=\mathrm{sSet}$ でも、ここまでの構成は厳密な単体的関手と厳密な自然変換の理論である。一方、準圏の関手圏はすべてのホモトピー整合的変換を含む。Homが局所Kan（各HomがKan複体）な単体的圏はホモトピー整合的脈体によって準圏を与えるが、未置換の厳密な関手圏をそのまま∞関手圏と同一視しない。適切なcofibrant・fibrant表示や導来自然変換の比較が必要となる。HTT09 Remark 1.2.7.1、§§2.2.5, 4.2.4。

点ごとの豊穣積

通常の 関手圏 の命題「関手圏の極限は各点で計算される」は、対象ごとに極限を取って関手の射を誘導する。豊穣版でも同じ発想を使うが、対象ごとの通常の積だけでなく、Hom対象で表される豊穣積が必要になる。以下では二関手の積を例に、その違いを明示する。
$\mathcal B$ に二対象 $y,z$ の豊穣積 $y\times z$ があるとは、射影を持ち、任意の $x$ について
$$\mathcal B(x,y\times z)\cong\mathcal B(x,y)\times\mathcal B(x,z)$$
が基礎圏の同型になることをいう。右の積は基礎圏の通常の積である。指定同型は射影への後合成で定まり、$x$ に豊穣自然である。通常の射の組を持ち上げるだけでなく、任意の $T$ で動く射の組も持ち上げられる。

この証明は二段階からなる。まず点ごとの豊穣普遍性で関手の作用を構成し、次に自然性の条件を点ごとの普遍性と両立させる。最初の段階を省略して対象だけ並べると、$P$ が関手になることを示せない。二番目を省略すると、成分の積は作れても関手圏の積のHom同型を示せない。

加群の表現の積

一対象環 $R$ からAbへの関手の場合、二関手は左 $R$-加群 $M,N$ を選ぶ。点ごとの積はアーベル群 $M\times N$ で、作用を $r(m,n)=(rm,rn)$ とする。自然変換対象について
$$\operatorname{Hom}_R(L,M\times N)\cong\operatorname{Hom}_R(L,M)\times\operatorname{Hom}_R(L,N)$$
が加法群の同型になる。二射への射影で対応し、逆は $\ell\mapsto(f(\ell),g(\ell))$ である。左右の写像は加法を保ち、$R$ 作用も保持するので、これは通常の集合の対応だけでなく豊穣積を与える。
有限個の加群の場合、積と直和の台の加法群は一致する。しかし無限個の場合には積は任意の成分族、直和は有限台の成分族を扱うので異なる。関手圏で点ごとに計算するときも、どちらの普遍性を使っているかを指定しなければならない。Hom対象の積を使う式から、無限直和の式を自動的に導くことはできない。

関手による前合成と後合成

通常の 関手圏 の命題「前合成と後合成」に対応して、豊穣関手 $L:\mathcal E\to\mathcal A$ と $K:\mathcal B\to\mathcal D$ は豊穣関手圏の間の関手を誘導する。対象上ではそれぞれ $F\mapsto FL$ と $F\mapsto KF$ である。Hom対象を運ぶには、その普遍的なパラメータ付き変換を運ぶ。

一つの自然変換を運ぶ場合と、自然変換対象全体を運ぶ場合はこのように区別できる。前者は $I$ の成分を運ぶだけでよいが、後者は普遍的パラメータ $E(F,G)$ の成分を運び、得た射が基礎圏の射であることを示している。Setでは二つの説明は見た目が近いが、Catや単体的集合では後者が変換の高次構造も保持することが重要になる。

自然性の条件を計算へ使う

環の例では、関手圏のHom対象は作用を絡み合わせる写像の加法群になる。例えば $R=\mathbb Z[t]$ の作用をアーベル群上の自己準同型 $A,B$ で指定すると、Hom対象は $fA=Bf$ を満たす $f$ の部分群である。二つの条件写像 $f\mapsto fA$ と $f\mapsto Bf$ の等化子として計算できる。これは対象ごとの全Homを取っただけでは作用条件が欠けることを、具体的な線形方程式として示す。
順序による豊穣化では、自然変換対象は自然な成分族を点ごとに比較した順序集合になる。成分の大小は全ての対象で判定する。自然性を満たす成分族の間の大小は、通常の関手圏の射集合だけには記録されないため、豊穣関手圏を作る意味がここにある。単体的豊穣化では、同じ等化子を各次元で取り、面と退化が自然性の条件を保つことで単体的集合が得られる。

反例で確かめる条件

関連項目

• 前提: 豊穣圏, 関手(豊穣圏), 自然変換(豊穣圏), 等化子
• 発展: 前層(豊穣圏), エンド(豊穣圏), 重み付き極限(豊穣圏)
• 比較: 関手圏, 関手圏(∞圏), 米田の補題(豊穣圏)