Bertiniの定理

$R/(\varphi)$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ について $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2\cong\mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2+(\varphi))$ であり、その次元は $\varphi\notin\mathfrak{m}^2$ なら $\dim\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2-1$、$\varphi\in\mathfrak{m}^2$ なら $\dim\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ である。
1：$\varphi\notin\mathfrak{m}^2$ なら、正則局所環の補題「正則パラメータ系の一部による商」により $R/(\varphi)$ は $r-1$ 次元の正則局所環である。$\varphi\in\mathfrak{m}^2$ なら $\dim\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2=r\neq r-1$ なので、$R/(\varphi)$ は $r-1$ 次元の正則局所環でない。
2：$R/(\varphi)$ が $r-1$ 次元の正則局所環なら $\dim\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\le\dim\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2+1=r$ であり、Noether 局所環ではつねに $\dim\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\ge\dim R=r$ なので等号が成り立ち、$R$ は正則である。$\square$

1 点ごとの線形代数。$x\in X$ について、線形写像
$$ \varepsilon_x\colon k^{n+1}\to\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x^2,\qquad a\mapsto\varphi_{a,x}\bmod\mathfrak{m}_x^2 $$
を考え、$K_x:=\ker\varepsilon_x$ とおく。$z_i:=x_i/x_j$ とおくと、$a$ を $j$ 番目の単位ベクトルにとれば $\varphi_{a,x}=1$、$i$ 番目から $z_i(x)$ 倍の $j$ 番目を引いたものにとれば $\varphi_{a,x}=z_i-z_i(x)$ である。$z_i-z_i(x)$（$i\neq j$）は $\mathfrak{m}_x$ を生成するので、$\varepsilon_x$ は全射である。$X$ は非特異なので $\dim_k\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x^2=1+r$ であり、$\dim K_x=n-r$ である。lem-bertini-local の 1 により、$H_a\cap X$ が $x$ で非特異でないか、$H_a\supset X$ であることは、$x\in H_a$ のもとで $\varphi_{a,x}\in\mathfrak{m}_x^2$、すなわち $a\in K_x$ と同値である（$H_a\supset X$ なら $\varphi_{a,x}=0$）。したがって
$$ B:=\{(x,[a])\in X\times\check{\mathbb{P}}^n\mid a\in K_x\} $$
とおくと、$U$ は第 2 射影 $p_2$ による像 $p_2(B)$ の補集合である。
$B$ は閉集合。$x_j\neq0$ の開集合 $U_j\cong\mathbb{A}^n$ の座標 $z=(z_i)_{i\neq j}$ をとり、$I(X\cap U_j)=(g_1,\dots,g_t)$、Jacobi 行列を $J(z)=(\partial g_l/\partial z_i)$ とする。$\varphi_{a,x}=a_j+\sum_{i\neq j}a_iz_i$ であり、$\varphi_{a,x}\in\mathfrak{m}_x^2$ は「$\varphi_{a,x}(x)=0$ かつ $a':=(a_i)_{i\neq j}$ が $J(x)$ の行の張る空間に属する」と同値である。

$d$ 次の Veronese 埋め込み $\nu_d\colon\mathbb{P}^n\to\mathbb{P}^N$ は閉集合 $V_+(\mathfrak{a}_{n,d})$ への同型である（Veronese埋め込みの定理「Veronese 埋め込みは像への同型」）。よって $\nu_d(X)$ は $\mathbb{P}^N$ の閉部分多様体で $X$ と同型であり、非特異である。超平面 $\sum_Mc_My_M=0$ は $G=\sum_Mc_MM$ に引き戻され、$c\mapsto G$ は $k^{N+1}$ と $S_d$ の線形同型である。$x_j(x)\neq0$ なら $\nu_d(x)$ で座標 $y_{x_j^d}$ は $0$ でなく、局所方程式 $\sum c_My_M/y_{x_j^d}$ は同型 $\mathcal{O}_{\nu_d(X),\nu_d(x)}\cong\mathcal{O}_{X,x}$ で $G/x_j^d$ に写る。thm-bertini を $\nu_d(X)\subset\mathbb{P}^N$ に当てればよい。$\square$

非特異な部分 $X^\circ:=X\setminus\{s_1,\dots,s_m\}$ の上で prf-bertini と同じ $B^\circ\subset X^\circ\times\check{\mathbb{P}}^n$ を作ると、同じ議論で閉集合で、既約成分の次元は $n-1$ 以下である。その閉包 $\overline{B^\circ}\subset X\times\check{\mathbb{P}}^n$ の各既約成分は $B^\circ$ の既約成分の閉包で、関数体が同じなので次元も $n-1$ 以下であり、$p_2(\overline{B^\circ})$ は $n-1$ 次元以下の閉集合である。$s_i$ を通る超平面の全体 $\check{H}_i$ は $\check{\mathbb{P}}^n$ の超平面である。$H$ が $p_2(\overline{B^\circ})\cup\check{H}_1\cup\cdots\cup\check{H}_m$ の外にあれば、$H$ は特異点を通らず、$X\cap H$ の点はすべて $X^\circ$ にあって $(x,H)\notin B^\circ$ なので非特異であり、$H\supset X$ もない（特異点の集合は $X$ の真の閉集合なので $X^\circ\neq\emptyset$ であり、$H\supset X$ なら $X^\circ$ の点 $x$ で $(x,H)\in B^\circ$ になってしまう）。
逆に、$H=H_a$ が条件をみたすとする。$H$ はどの $s_i$ も通らないので、どの $\check{H}_i$ にも属さない。$H\notin p_2(\overline{B^\circ})$ を示す。$(x,H)\in\overline{B^\circ}$ と仮定する。$a\in K_x$ なら $\varphi_{a,x}\in\mathfrak{m}_x^2\subset\mathfrak{m}_x$ なので $x\in H_a$ であり、$B^\circ$ は対の集合 $I:=\{(x,[a])\mid x\in H_a\}$ に含まれる。$I$ は双斉次多項式 $\sum_ia_ix_i$ の零点なので $X\times\check{\mathbb{P}}^n$ の閉集合であり、$\overline{B^\circ}\subset I$ となる。よって $x\in H$ であり、$H$ は特異点を通らないので $x\in X^\circ$ である。$B^\circ$ は開集合 $X^\circ\times\check{\mathbb{P}}^n$ の中で閉じているので $\overline{B^\circ}\cap(X^\circ\times\check{\mathbb{P}}^n)=B^\circ$ であり、$(x,H)\in B^\circ$、すなわち $a\in K_x$ となる。prf-bertini で見たとおり、これは $H\supset X$ であるか $H\cap X$ が $x$ で非特異でないことを意味し、$H$ が条件をみたすことに反する。よって $H\notin p_2(\overline{B^\circ})$ である。
以上から、条件をみたす $H$ の全体は閉集合 $p_2(\overline{B^\circ})\cup\check{H}_1\cup\cdots\cup\check{H}_m$ の補集合とちょうど一致する。この閉集合は $n-1$ 次元以下の閉集合の有限和なので $\check{\mathbb{P}}^n$ と異なり、補集合は空でない開集合である。$\square$

$r\ge2$ の正規な射影多様体を有効な豊富因子の台で切ると連結である（Har77 III 系 7.9、注意 7.9.1。この記事では証明しない）ので、$Y:=H\cap X$ は連結である。$Y$ の相異なる既約成分 $Z_1,Z_2$ が点 $x$ で交わるとする。零点定理により、$(\varphi)\subset\mathcal{O}_{X,x}$ の根基は $x$ を通る $Y$ の既約成分のイデアルの共通部分であり、それらは $(\varphi)$ の上の相異なる極小素イデアルである。一方 $\mathcal{O}_{X,x}/(\varphi)$ は正則局所環なので整域であり（正則局所環の命題「正則局所環は整域」）、$(\varphi)$ の上の極小素イデアルは $(\varphi)$ ただ 1 つである。これは矛盾なので、$Y$ の既約成分は互いに交わらない。有限個の互いに交わらない閉集合の和が連結なので、既約成分は 1 つである。$\square$