Enriques曲面

1．$2K_X\sim0$ なので、任意の曲線 $D$ について $2(K_X\cdot D)=(2K_X)\cdot D=0$ である。
2．$\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g=1$ である（$h^2(\mathcal{O}_X)=h^0(\omega_X)=p_g$ は Serre 双対性）。曲面の Riemann–Roch の定理（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「曲面の Riemann–Roch の定理」）と 1 により $\chi(\mathcal{O}_X(D))=1+\frac12D\cdot(D-K_X)=1+\frac12D^2$ で、左辺が整数なので $D^2$ は偶数である。
3．$n$ が偶数なら $\omega_X^{\otimes n}\cong\mathcal{O}_X$ で $P_n=1$、奇数なら $\omega_X^{\otimes n}\cong\omega_X$ で $P_n=p_g=0$ である。
4．随伴公式（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の系「随伴公式」）と 1 により $C^2=C\cdot(C+K_X)=2p_a(C)-2\ge-2$ であり、等号は $p_a(C)=0$、すなわち $C\cong\mathbb{P}^1$ のときに限る（同記事の命題「算術種数と正規化の種数」）。$(-1)$ 曲線は $C^2=-1$ の射影直線なので存在しない。$\square$

1．$x\in X$ の近傍 $U$ で $L|_U=\mathcal{O}_Ue$ と自由な生成元をとると、$u:=\varphi(e\otimes e)$ は $U$ 上の単元で、$\mathcal{A}|_U\cong\mathcal{O}_U[t]/(t^2-u)$（$t\leftrightarrow e$）である。これは階数 $2$ の自由加群なので $\pi$ は次数 $2$ の有限平坦射である。相対微分は $\Omega_{Y/X}|_{\pi^{-1}U}=\mathcal{O}\,dt/(2t\,dt)$ で、$2$ と $t$（$t^2=u$ が単元）が可逆なので $\Omega_{Y/X}=0$ である。よって $\pi$ は平坦かつ不分岐、すなわちエタールである（Har77 III 演習 10.3）。$X$ が滑らかで $\pi$ がエタールなので $Y$ は滑らかであり、$\pi$ は有限なので $Y$ は射影的である。
$\pi_*\mathcal{O}_Y=\mathcal{A}=\mathcal{O}_X\oplus L$ は定義である。掛け算 $L\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{A}\to\mathcal{A}$ は局所的に $e\cdot\mathcal{A}=t\cdot\mathcal{A}$ への写像で、$t$ が単元なので同型であり、これが $\pi^*L\cong\mathcal{O}_Y$ を与える。最後に、相対微分の完全列 $\pi^*\Omega_X\to\Omega_Y\to\Omega_{Y/X}\to0$（Har77 II.8.11）で $\Omega_{Y/X}=0$ なので $\pi^*\Omega_X\to\Omega_Y$ は階数 $2$ の局所自由層の間の全射、したがって同型であり、最高次の外積をとって $\omega_Y\cong\pi^*\omega_X$ を得る。
2．$\pi$ はアフィン射なので $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)=H^0(X,\mathcal{O}_X)\oplus H^0(X,L)$ である。$L$ が $0$ でない切断 $s$ をもてば、$\varphi(s\otimes s)$ は $\mathcal{O}_X$ の $0$ でない切断、すなわち $0$ でない定数なので $s$ はどこでも $0$ にならず、$L\cong\mathcal{O}_X$ となる。よって $L\not\cong\mathcal{O}_X$ なら $H^0(X,L)=0$ で、$h^0(\mathcal{O}_Y)=1$ である。$Y$ が 2 つ以上の連結成分をもてば各成分の定数関数が 1 次独立な大域切断を与えるので、$Y$ は連結である。
3．閉点 $x$ の上のファイバーは $\operatorname{Spec}k[t]/(t^2-u(x))$ で、$u(x)\ne0$、標数が $2$ でないので 2 点 $t=\pm\sqrt{u(x)}$ からなる。$\iota$ は $t\mapsto-t$ でこの 2 点を入れ替えるので、固定点はない。$\square$

1．$\omega_X\not\cong\mathcal{O}_X$ なので lem-enr-double-cover の 2 により $Y$ は滑らかで連結な射影曲面で、$\omega_Y\cong\pi^*\omega_X=\pi^*L\cong\mathcal{O}_Y$ である。$\pi$ はアフィンなので $H^i(Y,\mathcal{O}_Y)=H^i(X,\mathcal{O}_X)\oplus H^i(X,\omega_X)$ で、Serre 双対性により $\chi(\omega_X)=\chi(\mathcal{O}_X)$ だから
$$ \chi(\mathcal{O}_Y)=2\chi(\mathcal{O}_X)=2 $$
である（prop-enr-basic の 2）。$h^0(\mathcal{O}_Y)=1$、Serre 双対性で $h^2(\mathcal{O}_Y)=h^0(\omega_Y)=h^0(\mathcal{O}_Y)=1$ なので、$2=1-h^1(\mathcal{O}_Y)+1$ から $h^1(\mathcal{O}_Y)=0$ である。したがって $Y$ は $\omega_Y\cong\mathcal{O}_Y$、$H^1(Y,\mathcal{O}_Y)=0$ をみたし、K3 曲面である（K3曲面 の定義「K3曲面」）。$\iota$ が固定点をもたないことは補題の 3 である。$\mathcal{A}$ の $\iota$ 不変部分は $\mathcal{O}_X$ なので、$X=\mathbf{Spec}_X\mathcal{A}^{\iota}$ は $Y$ の $\iota$ による商である。
2．$\iota$ が生成する位数 $2$ の群は $Y$ に自由に双正則に作用するので、$X$ はコンパクト連結な複素曲面で、$\pi\colon Y\to X$ は 2 重の被覆写像、とくに局所双正則である。よって $\omega_Y\cong\pi^*\omega_X$ である。$\pi_*\mathcal{O}_Y$ を $\iota$ の固有値 $\pm1$ で分けて $\pi_*\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_X\oplus L$（$L$ は反不変な関数の層）と書く。$x\in X$ の十分小さな近傍 $U$ では $\pi^{-1}(U)=U_1\sqcup U_2$ で $\iota$ が $U_1,U_2$ を入れ替えるので、$L|_U$ は $U_1$ 上 $1$、$U_2$ 上 $-1$ の関数 $\epsilon$ で生成される階数 $1$ の自由加群であり、$\epsilon^2=1$ から積 $L\otimes L\to\mathcal{O}_X$ は同型で、$\epsilon$ が単元なので $\pi^*L\cong\mathcal{O}_Y$ である。
$L^{\otimes2}\cong\mathcal{O}_X$ なので $2c_1(L)=0$ で、有理係数では $c_1(L)=0$ である。コンパクト複素曲面の直線束の Riemann–Roch の公式 $\chi(L)=\frac12c_1(L)\bigl(c_1(L)+c_1(X)\bigr)+\chi(\mathcal{O}_X)$（BHPV04 I.5.5 と (6)、p. 26）から $\chi(L)=\chi(\mathcal{O}_X)$ である。$\pi$ は有限なので $H^i(Y,\mathcal{O}_Y)=H^i(X,\mathcal{O}_X)\oplus H^i(X,L)$ で、
$$ 2=\chi(\mathcal{O}_Y)=\chi(\mathcal{O}_X)+\chi(L)=2\chi(\mathcal{O}_X) $$
から $\chi(\mathcal{O}_X)=1$ である（$\chi(\mathcal{O}_Y)=1-0+1$）。$H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は $H^1(Y,\mathcal{O}_Y)=0$ の直和因子なので $q(X)=0$、よって $p_g(X)=\chi(\mathcal{O}_X)-1+q(X)=0$ である。
同様に $\pi_*\omega_Y=\pi_*\pi^*\omega_X=\omega_X\oplus(\omega_X\otimes L)$ なので
$$ 1=h^0(\omega_Y)=h^0(\omega_X)+h^0(\omega_X\otimes L)=h^0(\omega_X\otimes L) $$
である。$\omega_X\otimes L$ の $0$ でない切断 $s$ をとる。$\pi^*s$ は $\pi^*(\omega_X\otimes L)\cong\omega_Y\otimes\pi^*L\cong\mathcal{O}_Y$ の $0$ でない切断、すなわちコンパクト連結な $Y$ 上の $0$ でない定数で、どこでも $0$ にならない。$\pi$ は全射なので $s$ もどこでも $0$ にならず、$\omega_X\otimes L\cong\mathcal{O}_X$、すなわち $\omega_X\cong L^{-1}\cong L$ である。したがって $\omega_X^{\otimes2}\cong\mathcal{O}_X$、$\omega_X\not\cong\mathcal{O}_X$（$p_g=0$）、$q=0$ で、$X$ は Enriques 曲面である（射影的であることは BHPV04 V.23、p. 239）。$\square$

$c_{ij}:=t_j^{\,i}$（$i=0,1,2$、$j=0,\dots,5$）とおくと、$Y$ は $Q_i:=\sum_jc_{ij}z_j^2$（$i=0,1,2$）の共通零点である。$3\times6$ 行列 $(c_{ij})$ のどの 3 列も Vandermonde 行列をなし、$t_j$ が相異なるのでその行列式は $0$ でない。とくにどの 2 列も 1 次独立である。
滑らかさ．$Y$ の点 $z$ で $z_j\ne0$ となる $j$ の集合を $T$ とする。$|T|\le2$ なら $\sum_{j\in T}c_{ij}z_j^2=0$（$i=0,1,2$）は、1 次独立な列 $(c_{ij})_i$（$j\in T$）の自明でない 1 次関係になって矛盾するので、$|T|\ge3$ である。Jacobi 行列 $(\partial Q_i/\partial z_j)=(2c_{ij}z_j)$ の列のうち $j\in T$ の列は $(c_{ij})_i$ の $0$ でない定数倍で、そのうち 3 つが 1 次独立なので、Jacobi 行列の階数は $3$ である。よって $Y$ は各点で滑らかな $2$ 次元の部分多様体であり、3 つの超曲面の交わりとして完全交叉である（Har77 II 演習 8.4 (a)）。
K3 曲面であること．$\mathbb{P}^5$ の滑らかな完全交叉で次数が $2,2,2$ のものは、$\omega_Y\cong\mathcal{O}_Y(2+2+2-6)=\mathcal{O}_Y$（Har77 II 演習 8.4 (e)）、$H^1(Y,\mathcal{O}_Y)=0$ かつ連結（同 III 演習 5.5、p. 231）をみたすので K3 曲面である（この 2 つの演習の主張はこの記事では証明しない）。
固定点がないこと．$\iota(z)=z$ となる点は、$(z_0,z_1,z_2,-z_3,-z_4,-z_5)=\lambda(z_0,\dots,z_5)$ をみたす。$\lambda^2=1$ なので $\lambda=1$ なら $z_3=z_4=z_5=0$、$\lambda=-1$ なら $z_0=z_1=z_2=0$ である。前者の点が $Y$ に乗れば $\sum_{j=0}^2c_{ij}z_j^2=0$（$i=0,1,2$）で、行列 $(c_{ij})_{0\le i,j\le2}$ は正則なので $z_0^2=z_1^2=z_2^2=0$ となり矛盾する。後者も同様である。$\iota$ は $Q_i$ を保つので $Y$ の正則な対合で、固定点をもたない。
thm-enr-k3 の 2 により $Y/\iota$ は Enriques 曲面である。$\square$

1．Noetherの公式 $12\chi(\mathcal{O}_X)=K_X^2+e(X)$ に prop-enr-basic の $\chi=1$、$K_X^2=0$ を入れて $e(X)=12$ である。$X$ は射影的なので Kähler で、Hodge分解 により $b_1=h^{1,0}+h^{0,1}=2q=0$、Poincaré 双対で $b_3=b_1=0$、$b_0=b_4=1$ なので $b_2=e-2=10$ である。
2．$h^{0,1}=q=0$、$h^{0,2}=p_g=0$、Hodge 対称で $h^{1,0}=h^{2,0}=0$、$h^{1,1}=b_2-h^{2,0}-h^{0,2}=10$ である。
3．指数層の完全列 $0\to\mathbb{Z}\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^*\to0$ のコホモロジー列
$$ H^1(X,\mathcal{O}_X)\to\operatorname{Pic}(X)\xrightarrow{c_1}H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathcal{O}_X) $$
で両端が $0$（$q=p_g=0$）なので $c_1$ は同型である。$H^2(X,\mathbb{Z})$ の階数は $b_2=10$ なので $\rho=10$ である。$\operatorname{Pic}^0(X)$ は $H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z})=0$ なので、$\operatorname{Pic}(X)$ は Néron–Severi 群 $\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)$ に等しい。
4．$\omega_X\not\cong\mathcal{O}_X$、$\omega_X^{\otimes2}\cong\mathcal{O}_X$ なので $K_X$ の類は位数 $2$ である。数値的に $0$ であることは prop-enr-basic の 1 である。$\operatorname{Pic}^0(X)=0$ なので、代数的同値は線形同値と一致し、$K_X\not\sim0$ から $K_X$ は $0$ に代数的同値でない。$\square$