双線形形式

基底を $e_1,\dots,e_m$、$u_1,\dots,u_n$ とし、$G=(f(e_i,u_j))$ とする。1：$v=\sum_ix_ie_i$ とすると、$f(v,-)$ は線形なので、$v$ が左核に入ることは $f(v,u_j)=0$（$j=1,\dots,n$）と同値である。$f(v,u_j)=\sum_ix_if(e_i,u_j)=(G^{\top}x)_j$ なので、左核は座標で見ると $\ker G^{\top}$ である。$\operatorname{rank}G^{\top}=r$（階数(線形代数) の記事の定理「列階数と行階数は等しい」）と次元定理（線形代数学 の記事の定理「次元定理」）により、その次元は $m-r$ である。同様に $w=\sum_jy_ju_j$ が右核に入ることは $f(e_i,w)=(Gy)_i=0$（すべての $i$）と同値で、右核は $\ker G$ にあたり、次元は $n-r$ である。$f^{\flat}$ の核は左核なので、次元定理により $\operatorname{rank}f^{\flat}=m-(m-r)=r$ であり、$f^{\sharp}$ も同様である。
2：(a) は $m-r=0$ かつ $n-r=0$、すなわち $m=n=r$ と同値であり、$G$ が $n$ 次正方行列で階数 $n$ であること、すなわち (b) と同値である（行列式）。$\dim W^{*}=n$（双対空間(線形代数) の記事の命題「双対基底の性質」）なので、$f^{\flat}$ が同型であることは $\operatorname{rank}f^{\flat}=r$ が $m$ とも $n$ とも等しいこと、すなわち $m=n=r$ と同値である。(d) も同じである。
3：$m=n$ なら $m-r=0$ と $n-r=0$ は同値である。$\square$

1：$\rho\colon V^{*}\to U^{*}$ を線形汎関数の $U$ への制限とする。$\rho$ の核は零化空間 $U^{0}$ であり、$\dim U^{0}=n-\dim U$（双対空間(線形代数) の記事の定理「零化空間の次元」）なので、$\rho$ の像の次元は $n-(n-\dim U)=\dim U=\dim U^{*}$ であり、$\rho$ は全射である。$f^{\sharp}\colon V\to V^{*}$ は thm-bf-nondegenerate により同型なので、合成 $\rho\circ f^{\sharp}\colon v\mapsto f(-,v)|_U$ は全射であり、その核は定義から $U^{\perp}$ である。次元定理により $\dim U^{\perp}=n-\dim U$ である。
2：$u\in U$、$v\in U^{\perp}$ なら $f(u,v)=0$ であり、反射性から $f(v,u)=0$ である。よって $u\in(U^{\perp})^{\perp}$ であり、$U\subset(U^{\perp})^{\perp}$ である。1 を 2 回使うと $\dim(U^{\perp})^{\perp}=n-(n-\dim U)=\dim U$ なので、両者は等しい。
3：$f$ の $U$ への制限 $f_U$ は反射的なので左核と右核は一致し、それは $\{u\in U\mid \text{すべての }u'\in U\text{ で }f(u',u)=0\}=U\cap U^{\perp}$ である。$U$ は有限次元なので、thm-bf-nondegenerate の 3 により (a) ⇔ (b) である。1 により $\dim U+\dim U^{\perp}=n$ なので、(b) ⇔ (c) である。$U^{\perp}$ に同じことを使うと、2 により $(U^{\perp})^{\perp}=U$ なので、(d) は $U^{\perp}\cap U=0$ と同値であり、(b) と同じ条件である。$\square$

$x,y,z\in V$ とする。$w:=f(x,y)z-f(x,z)y$ とおくと $f(x,w)=f(x,y)f(x,z)-f(x,z)f(x,y)=0$ なので、反射性から $f(w,x)=0$、すなわち
$$ f(x,y)f(z,x)=f(x,z)f(y,x)\qquad(\ast) $$
がすべての $x,y,z$ で成り立つ。$(\ast)$ で $z=x$ とおくと $f(x,x)\bigl(f(x,y)-f(y,x)\bigr)=0$ である。したがって
(i) $f(x,y)\ne f(y,x)$ なら $f(x,x)=0$ であり、$x,y$ の役割を入れ替えて $f(y,y)=0$ でもある。
$f$ が対称でないとし、$f(x,y)\ne f(y,x)$ となる $x,y$ を 1 組固定する。任意の $z$ について $f(z,z)=0$ を示せば、$f$ は交代的である。$f(z,x)\ne f(x,z)$ なら (i) により $f(z,z)=0$ であり、$f(z,y)\ne f(y,z)$ のときも同じである。そこで $f(z,x)=f(x,z)$ かつ $f(z,y)=f(y,z)$ とする。$(\ast)$ から $f(z,x)\bigl(f(x,y)-f(y,x)\bigr)=0$ なので $f(z,x)=f(x,z)=0$ である。$(\ast)$ で $x$ と $y$ の役割を入れ替えたもの $f(y,x)f(z,y)=f(y,z)f(x,y)$ から同様に $f(z,y)=f(y,z)=0$ である。すると
$$ f(x,y+z)=f(x,y),\qquad f(y+z,x)=f(y,x) $$
なので $f(x,y+z)\ne f(y+z,x)$ であり、(i) を $x,\ y+z$ に使うと $f(y+z,y+z)=0$ である。展開すると $f(y,y)+f(y,z)+f(z,y)+f(z,z)=0$ であり、$f(y,y)=0$（(i)）、$f(y,z)=f(z,y)=0$ なので $f(z,z)=0$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$f=0$ なら任意の基底を $z_1,\dots,z_n$ とすればよい（$n=0$ もこれに含まれる）。$f\ne0$ とし、$f(x,y)\ne0$ となる $x,y$ をとって $e_1:=x$、$f_1:=y/f(x,y)$ とおく。$f(e_1,f_1)=1$ であり、交代的なので $f(e_1,e_1)=f(f_1,f_1)=0$、$f(f_1,e_1)=-1$ である（双線形写像 の記事の命題「交代的と歪対称の関係」の 1）。$f_1=ce_1$ なら $f(e_1,f_1)=cf(e_1,e_1)=0$ となるので、$e_1,f_1$ は線形独立である。$P:=\operatorname{span}\{e_1,f_1\}$、$P':=\{v\in V\mid f(e_1,v)=f(f_1,v)=0\}$ とおく。
$V=P\oplus P'$ を示す。$v\in V$ に対し $p:=-f(f_1,v)e_1+f(e_1,v)f_1\in P$ とおくと、$f(e_1,v-p)=f(e_1,v)-f(e_1,v)=0$、$f(f_1,v-p)=f(f_1,v)+f(f_1,v)f(f_1,e_1)=0$ なので $v-p\in P'$ であり、$V=P+P'$ である。$ae_1+bf_1\in P'$ なら $f(e_1,ae_1+bf_1)=b=0$、$f(f_1,ae_1+bf_1)=-a=0$ なので $P\cap P'=0$ である。
$f$ の $P'$ への制限は $n-2$ 次元の空間上の交代形式なので、帰納法の仮定により $P'$ に求める形の基底 $e_2,f_2,\dots,e_k,f_k,z_1,\dots,z_s$ がある。$w\in P'$ について $f(e_1,w)=f(f_1,w)=0$ であり、歪対称性から $f(w,e_1)=f(w,f_1)=0$ でもある。よって $e_1,f_1$ をこの基底に加えたものが $V$ の求める基底である。
この基底に関する $f$ の行列は、$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ を $k$ 個と $s$ 次の零行列を対角に並べたものなので、階数は $2k$ である。$f$ が非退化なら階数は $n$ に等しい（thm-bf-nondegenerate）ので、$n=2k$ は偶数である。$\square$