Alexandrov空間

同義語：Alexandrov spaceアレクサンドロフ空間

概要

Alexandrov空間（Alexandrov space）とは、完備な測地空間で、ある実数 $\kappa$ について、頂点から対辺の点までの距離が、曲率 $\kappa$ のモデル平面の同じ辺の長さの三角形での対応する距離以上になるもの、すなわち Alexandrov の意味で曲率が $\kappa$ 以上の空間である。断面曲率が $\kappa$ 以上の完備 Riemann 多様体とその列の Gromov–Hausdorff 極限が典型例である。$\kappa=0$ の比較は Stewart の公式で具体的な不等式になり、実ノルム空間の曲率が $0$ 以上であるのはノルムが内積から来るときに限ること、曲率が $0$ 以上の空間では最短線が枝分かれしないことが従う。有限位相空間で使われる Alexandrov 空間（Alexandrov 位相）とは別の概念である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 距離空間, 内積空間, 測地線, Gromov-Hausdorff距離

Alexandrov 空間（Alexandrov space）は、「断面曲率が $\kappa$ 以上である」という Riemann 多様体の性質を、距離だけで述べられる三角形の比較に置き換えて、一般の距離空間に広げたものである。曲率が $0$ 以上の空間では、三角形は Euclid 平面の同じ辺の長さの三角形よりも「太い」。すなわち、頂点から対辺の点までの距離が、Euclid 平面の三角形での対応する距離以上になる。断面曲率が $\kappa$ 以上の完備 Riemann 多様体はこの意味で曲率 $\kappa$ 以上であり、そのような多様体の列の Gromov-Hausdorff距離 による極限も同じ下界をもつ。そのため Alexandrov 空間は、多様体とは限らない極限空間の幾何を調べる枠組みになっている。この記事では、定義と Euclid 平面での比較の式（Stewart の公式）を述べ、ノルム空間が曲率 $0$ 以上になるのは内積から来るときに限ることと、曲率 $0$ 以上の空間では最短線が枝分かれしないことを証明する。
注意（同名の別概念）。 有限位相空間 の補足に現れる「Alexandrov 空間」は、任意個の開集合の共通部分が開集合になる位相空間（Alexandrov 位相をもつ空間）のことで、この記事の概念とは関係がない。また、曲率が上に有界な空間（CAT($\kappa$) 空間）も含めて Alexandrov 空間とよぶ文献があり（AKP23 の序文、p. 3）、この記事では曲率が下に有界なものを扱う。

定義

$(X,d)$ を距離空間とする。

最短線と測地空間

$p,q\in X$、$\ell:=d(p,q)$ とする。写像 $\gamma\colon[0,\ell]\to X$ で、$\gamma(0)=p$、$\gamma(\ell)=q$、かつすべての $s,t\in[0,\ell]$ について $d(\gamma(s),\gamma(t))=|s-t|$ を満たすものを、$p$ から $q$ への 最短線 という。任意の 2 点が最短線で結べる距離空間を 測地空間 という。

最短線は区間 $[0,\ell]$ の等長埋め込みである。完備で連結な Riemann 多様体では、任意の 2 点を結ぶ長さ最小の測地線がある（測地線 の定理「Hopf–Rinow 定理の主要な同値条件」）。その長さは $d(p,q)$ で、長さ最小の曲線の部分の弧もまた長さ最小なので、弧長で径数付けたものは最短線である。したがってこの多様体は測地空間である。
比較に使う モデル平面 $M_\kappa$ を、$\kappa=0$ なら Euclid 平面 $\mathbb{R}^2$、$\kappa>0$ なら半径 $1/\sqrt\kappa$ の 球面（大円に沿った距離）、$\kappa<0$ なら曲率 $\kappa$ の双曲平面とする。$D_\kappa:=\pi/\sqrt\kappa$（$\kappa>0$）、$D_\kappa:=\infty$（$\kappa\le0$）とおく。三角不等式を満たす 3 つの数 $a,b,c\ge0$ で $a+b+c<2D_\kappa$ のものについて、$M_\kappa$ の中に辺の長さが $a,b,c$ の三角形があり、$M_\kappa$ の等長変換を除いて一意である（AKP23 §6B、p. 63）。これを 比較三角形 という。

曲率が $\kappa$ 以上

$X$ を測地空間、$\kappa\in\mathbb{R}$ とする。次が成り立つとき、$X$ は（Alexandrov の意味で）曲率が $\kappa$ 以上 であるという：点 $p\in X$ と、$q$ から $r$ への最短線 $\gamma\colon[0,\ell]\to X$ が $d(p,q)+d(q,r)+d(r,p)<2D_\kappa$ を満たすとき、$M_\kappa$ の比較三角形 $\tilde p\tilde q\tilde r$（$|\tilde p\tilde q|=d(p,q)$ など）をとり、辺 $\tilde q\tilde r$ の上で $\tilde q$ から距離 $s$ の点を $\tilde\gamma(s)$ とすると、すべての $s\in[0,\ell]$ について
$$ d(p,\gamma(s))\ge|\tilde p\,\tilde\gamma(s)|. $$
ある $\kappa$ について曲率が $\kappa$ 以上である完備な測地空間を Alexandrov 空間（曲率が下に有界な Alexandrov 空間）という。

定義の流儀

AKP23 は一般の距離空間で 4 点の比較による条件 CBB($\kappa$) を定義し（Definition 8.2、p. 81）、測地空間ではそれが上の「辺の上の点との比較」と同値であることを示している（Theorem 8.14 (b) とその逆、p. 86）。この記事ではその同値性を証明しない。曲率の条件を各点の近傍でだけ課しても、完備な長さ空間では空間全体で成り立つ（大域化定理、同 Theorem 8.31、p. 95。この記事では証明しない）。$\kappa>0$ のとき直径が $D_\kappa$ 以下であることを定義に加える文献も多い（同 p. 82 の注意）。また同書は、完備な長さ空間（2 点の距離が、それらを結ぶ曲線の長さの下限に等しい距離空間）で CBB($\kappa$) を満たすものを扱い、測地空間であることは仮定しない（完備な長さ空間で CBB($0$) だが測地空間でない例を作る問題が同 Exercise 8.8、p. 83 にある）。

Euclid 平面での比較：Stewart の公式

$\kappa=0$ の比較は、次の恒等式で具体的な不等式に書き直せる。

Stewart の公式

$V$ を実内積空間とし、$p,q,r\in V$、$t\in[0,1]$、$m:=(1-t)q+tr$ とする。このとき
$$ |p-m|^2=(1-t)|p-q|^2+t|p-r|^2-t(1-t)|q-r|^2 $$
が成り立つ。

内積を展開する

$p-m=(1-t)(p-q)+t(p-r)$ なので $|p-m|^2=(1-t)^2|p-q|^2+t^2|p-r|^2+2t(1-t)\langle p-q,p-r\rangle$ である。$(p-q)-(p-r)=r-q$ の長さの 2 乗を展開すると $2\langle p-q,p-r\rangle=|p-q|^2+|p-r|^2-|q-r|^2$ である。代入して、$(1-t)^2+t(1-t)=1-t$、$t^2+t(1-t)=t$ を使えばよい。$\square$

曲率が $0$ 以上であることの言い換え

測地空間 $X$ の曲率が $0$ 以上であることは、すべての $p\in X$、$q$ から $r$ への最短線 $\gamma\colon[0,\ell]\to X$、$t\in[0,1]$ について
$$ d(p,\gamma(t\ell))^2\ge(1-t)\,d(p,q)^2+t\,d(p,r)^2-t(1-t)\ell^2 $$
が成り立つことと同値である。以下この不等式を $(\star)$ と書く。

$\mathbb{R}^2$ の比較三角形で、辺 $\tilde q\tilde r$ 上の $\tilde q$ から距離 $t\ell$ の点は $(1-t)\tilde q+t\tilde r$ なので、prop-alx-stewart によりその点と $\tilde p$ の距離の 2 乗は $(\star)$ の右辺に等しい。$\square$

$t=1/2$ のとき $(\star)$ は、中点 $m$ について $d(p,m)^2\ge\frac12d(p,q)^2+\frac12d(p,r)^2-\frac14d(q,r)^2$ となる。Euclid 平面ではこれは等号で、中線定理にあたる。

主定理 1：内積空間とノルム空間

内積空間の凸集合は曲率 $0$ 以上

$V$ を実内積空間、$C\subset V$ を空でない 凸集合 とし、$C$ に $V$ の距離 $|x-y|$ を制限した距離を入れる。

  1. $q,r\in C$、$\ell:=|q-r|>0$ について、$q$ から $r$ への最短線は $\sigma(s):=q+\frac s\ell(r-q)$（$0\le s\le\ell$）ただ一つである。とくに $C$ は測地空間である。
  2. $C$ の曲率は $0$ 以上であり、$(\star)$ はつねに等号で成り立つ。
  3. $V$ が Hilbert 空間で $C$ が閉集合なら、$C$ は Alexandrov 空間である。
三角不等式の等号条件

1。 $\sigma$ は凸性により $C$ に値をもち、$|\sigma(s)-\sigma(t)|=\frac{|s-t|}\ell|r-q|=|s-t|$ なので最短線である。逆に $\gamma$ を $q$ から $r$ への最短線とし、$s\in[0,\ell]$、$u:=\gamma(s)-q$、$v:=r-\gamma(s)$ とおくと、$|u|=s$、$|v|=\ell-s$、$|u+v|=\ell=|u|+|v|$ である。内積空間 の定理「三角不等式と平行四辺形の等式」の 1 の等号条件により、$u,v$ の一方は他方の $0$ 以上の実数倍なので、$u$ は $u+v=r-q$ と同じ向きで長さ $s$ をもつ。よって $u=\frac s\ell(r-q)$、すなわち $\gamma(s)=\sigma(s)$ である。$q=r$ なら最短線は定値写像だけである。
2。 1 により最短線は線分なので、$\gamma(t\ell)=(1-t)q+tr$ であり、prop-alx-stewart により $(\star)$ は等号で成り立つ。cor-alx-zero により曲率は $0$ 以上である。
3。 完備距離空間の閉集合は完備なので、2 から従う。$\square$

とくに $\mathbb{R}^n$、Hilbert 空間、その中の閉凸集合（閉球、半空間、多面体など）は曲率が $0$ 以上の Alexandrov 空間である。ノルム空間では逆が成り立つ。

ノルム空間が曲率 $0$ 以上になる条件

実ノルム空間 $(V,\|\cdot\|)$ に距離 $\|x-y\|$ を入れる。$V$ の曲率が $0$ 以上であることと、ノルムがある内積から $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ として得られることは同値である。

中点の比較から平行四辺形の等式を得る

ノルムが内積から来るなら、thm-alx-convex を $C=V$ に使えばよい。
逆を示す。$q\ne r$ について $\sigma(s):=q+\frac s\ell(r-q)$（$\ell:=\|q-r\|$）は $\|\sigma(s)-\sigma(t)\|=|s-t|$ を満たすので $q$ から $r$ への最短線であり、中点は $\frac{q+r}2$ である（$q=r$ なら定値写像）。とくに $V$ は測地空間である。$a,b\in V$ について $(\star)$ を $p=0$、$q=a$、$r=b$、$t=\frac12$、この最短線に使って 4 倍すると
$$ \|a+b\|^2\ge2\|a\|^2+2\|b\|^2-\|a-b\|^2,\quad\text{すなわち}\quad\|a+b\|^2+\|a-b\|^2\ge2\|a\|^2+2\|b\|^2 $$
である。これを $a+b$ と $a-b$ に当てはめると $\|2a\|^2+\|2b\|^2\ge2\|a+b\|^2+2\|a-b\|^2$、すなわち $2\|a\|^2+2\|b\|^2\ge\|a+b\|^2+\|a-b\|^2$ である。合わせて平行四辺形の等式 $\|a+b\|^2+\|a-b\|^2=2\|a\|^2+2\|b\|^2$ がすべての $a,b$ で成り立つ。Hilbert空間 の定理「平行四辺形の等式によるノルムの特徴づけ」により、ノルムは内積から来る。$\square$

一般の $\kappa$ について「$\mathbb{R}^m$ のノルムによる距離が曲率の下界をもつのは Euclid 的なときに限る」ことは AKP23 Exercise 8.15（p. 87）に演習問題として挙げられており、この記事では証明しない。

内積から来ないノルム
  1. $\mathbb{R}^2$ のノルム $\|x\|_1=|x_1|+|x_2|$ で、$p=0$、$q=(1,1)$、$r=(1,-1)$ とすると、線分 $qr$ の中点は $(1,0)$ である。$\|(1,0)\|_1^2=1$ だが、$(\star)$ の右辺は $\frac12\cdot4+\frac12\cdot4-\frac14\cdot\|(0,2)\|_1^2=3$ なので、$(\star)$ が成り立たない。
  2. $\mathbb{R}^2$ のノルム $\|x\|_\infty=\max(|x_1|,|x_2|)$ では、最短線が枝分かれする。$\gamma_1(s):=(s,s)$（$0\le s\le2$）は $0$ から $(2,2)$ への最短線である。$\gamma_2(s):=(s,s)$（$0\le s\le1$）、$\gamma_2(s):=(s,2-s)$（$1\le s\le2$）とすると、$s\le1\le t$ で $\gamma_2(t)-\gamma_2(s)=(t-s,\,2-t-s)$、$|2-t-s|\le t-s$ なので $\|\gamma_2(t)-\gamma_2(s)\|_\infty=t-s$ であり（$s,t$ が同じ側にあるときは明らか）、$\gamma_2$ は $0$ から $(2,0)$ への最短線である。$\gamma_1$ と $\gamma_2$ は $[0,1]$ で一致し、$s>1$ では異なる。

主定理 2：最短線は枝分かれしない

最短線は枝分かれしない

$X$ を曲率が $0$ 以上の測地空間とし、$\gamma_1\colon[0,\ell_1]\to X$ と $\gamma_2\colon[0,\ell_2]\to X$ を同じ点を始点とする最短線とする。ある $\tau>0$ について $[0,\tau]$ で $\gamma_1=\gamma_2$ なら、$[0,\min(\ell_1,\ell_2)]$ 全体で $\gamma_1=\gamma_2$ である。

分かれた直後の中点で比較する

$\ell:=\min(\ell_1,\ell_2)$ とし、$[0,t]$ で $\gamma_1=\gamma_2$ となる $t\le\ell$ の上限を $t_0$ とする。$t_0\ge\tau>0$ で、連続性から $[0,t_0]$ で $\gamma_1=\gamma_2$ である。$t_0<\ell$ と仮定して矛盾を導く。$\varepsilon:=\min(t_0,\ell-t_0)>0$ とする。上限の定義から、$(t_0,t_0+\varepsilon)$ の中に $\gamma_1(t_0+h)\ne\gamma_2(t_0+h)$ となる $t_0+h$ がある（$0< h<\varepsilon$）。
$$ q:=\gamma_1(t_0-h)=\gamma_2(t_0-h),\quad m:=\gamma_1(t_0)=\gamma_2(t_0),\quad x:=\gamma_1(t_0+h),\quad y:=\gamma_2(t_0+h) $$
とおき、$e:=d(x,y)>0$ とする。$\gamma_1$ を $[t_0-h,t_0+h]$ に制限して径数をずらしたものは $q$ から $x$ への長さ $2h$ の最短線で、$m$ はその中点である。$q,m,y$ は $\gamma_2$ の上にあるので $d(y,q)=2h$、$d(y,m)=h$ である。$(\star)$ を $p=y$、$t=\frac12$ で使うと
$$ h^2=d(y,m)^2\ge\frac12d(y,q)^2+\frac12d(y,x)^2-\frac14(2h)^2=\frac12(2h)^2+\frac12e^2-h^2=h^2+\frac{e^2}2 $$
となり、$e>0$ に反する。よって $t_0=\ell$ である。$\square$

一般の $\kappa$ についても、曲率が $\kappa$ 以上の空間では最短線は枝分かれしない（AKP23 Theorem 8.37、p. 100）。この記事では $\kappa=0$ の場合だけを証明した。ex-alx-normed-plane の 2 は、曲率の下界がないと枝分かれが起こりうることを示している。Riemann 多様体では、測地線が初期点と初速度で決まる（測地線 の命題「測地線の局所存在と一意性」）ことから同じ結論が従う。

例と、Riemann 幾何学とのつながり

  • Riemann 多様体。 断面曲率が $\kappa$ 以上の完備 Riemann 多様体は、曲率が $\kappa$ 以上の Alexandrov 空間である。これは Toponogov の比較定理の内容で、AKP23 p. 108 に、大域化定理（Theorem 8.31）の特別な場合として述べられている。この記事では証明しない。
  • 極限空間。 同じ箇所に、断面曲率が $\kappa$ 以上の完備 Riemann 多様体の列の Gromov–Hausdorff 極限も（rem-alx-conventions の CBB($\kappa$) の意味で）曲率が $\kappa$ 以上であることが述べられている。極限は一般に多様体でなく、次元が下がることもある（Gromov-Hausdorff距離 の例「有限集合による近似と潰れる方向」）。
  • 商空間と錐。 $G$ を直交群 $O(n+1)$ の閉部分群とすると、$\mathbb{R}^{n+1}/G$ は曲率が $0$ 以上である（AKP23 Example 8.7、p. 83。この記事では証明しない）。たとえば $\mathbb{R}^2$ を角 $2\pi/k$ の回転で割ると、頂点の全角が $2\pi/k$ の錐が得られる。
  • 体積。 完備な Riemann 多様体では、断面曲率が $0$ 以上なら Ricci 曲率も $0$ 以上なので、Bishop–Gromov の体積比較定理により体積測度は 倍加測度 である（その記事の例「Ricci 曲率が $0$ 以上の Riemann 多様体」）。

反例：条件を外すと成り立たない

外す条件反例成り立たなくなること
thm-alx-nonbranching の曲率 $0$ 以上$(\mathbb{R}^2,\Vert\cdot\Vert_\infty)$ の $\gamma_1,\gamma_2$（ex-alx-normed-plane の 2）$[0,1]$ で一致する 2 本の最短線が $[0,2]$ で一致すること
thm-alx-convex の凸性円環 $\{x\in\mathbb{R}^2\mid1\le\lvert x\rvert\le2\}$（Euclid 距離の制限）測地空間であること
thm-alx-convex の内積から来る距離$(\mathbb{R}^2,\Vert\cdot\Vert_1)$ 全体（凸集合）曲率が $0$ 以上であること
反例の確かめ
  1. ex-alx-normed-plane の 2 で確かめた。$\|\cdot\|_\infty$ は内積から来ないので、thm-alx-normed によりこの空間の曲率は $0$ 以上でない。
  2. $a=(-\frac32,0)$、$b=(\frac32,0)$ を結ぶ最短線 $\gamma$ があるとすると、prf-alx-convex の 1 と同じく、各 $\gamma(s)$ は $|a-\gamma(s)|+|\gamma(s)-b|=|a-b|$ を満たして線分 $ab$ の上にあり、$\gamma(\frac32)$ は原点になる。原点は円環に属さないので矛盾である。
  3. ex-alx-normed-plane の 1 で $(\star)$ が成り立たない。

関連項目

参考文献

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