連結成分

同義語：connected component位相空間の連結成分

概要

前提知識: 位相空間, 連結空間, 相対位相

空間を連結な部分に分ける

位相空間が連結でないときでも、各点のまわりには「これ以上大きな連結集合へ広げられない」部分がある。その部分を連結成分（connected component）という。実数直線から一点を除いた $\mathbb R\setminus\{0\}$ は、負の側と正の側という二つの連結成分に分かれる。一方、有理数全体を通常の位相で見ると、どの連結成分も一点集合である。空間を連結成分へ分ける操作は、図に見える「かたまり」を数えることより広い意味を持つ。
連結成分は開集合とは限らず、道で到達できる点の集合とも限らない。しかしどの点もただ一つの連結成分に属し、成分は常に閉集合である。本記事では、この分割を定義から構成し、連続写像、直積、部分空間でどう振る舞うかを証明する。連結性の基本定義そのものと実数の区間の特徴づけは連結空間を参照する。

定義と同値関係

$X$ を位相空間、$x\in X$ とする。$x$ を含む連結部分集合は少なくとも一点集合 $\{x\}$ を含むので、このような集合の族は空でない。そこに属する集合をすべて合併する。

点の連結成分

$$ C_X(x)=\bigcup\{A\subset X\mid A\text{ は連結で }x\in A\} $$
を $x$ の連結成分という。添字 $X$ は、どの空間の中で成分を取っているかを表す。連結成分とは、ある点 $x$ に対して $C_X(x)$ と書ける部分集合である。言い換えると、空でない連結部分集合のうち包含について極大なものである。空間が空なら点も連結成分もない。

この定義の「すべての連結部分集合」が重要である。いくつかを一度につなぐ必要があり、最初に選んだ小さな連結集合だけでは極大性を保証できない。共通点を持つ連結集合の合併は連結であるから、$C_X(x)$ 自身も連結であり、$x$ を含む連結部分集合のうち包含について最大である（StacksCC Lemma 5.7.3）。
「極大」は、より大きい連結部分集合が存在しないという意味である。「点の個数が最大」という意味ではなく、異なる連結成分の間に大きさの比較を要求しない。また、連結成分が一つの開集合で表せるとは限らない。集合としての極大性と、開集合・閉集合という位相的性質は区別する。
二点 $x,y$ に対し「$x$ と $y$ をともに含む連結部分集合が存在する」を $x\sim y$ と書く。

連結性による同値関係

$\sim$ は $X$ 上の同値関係であり、$x$ の同値類は $C_X(x)$ に等しい。したがって異なる連結成分は交わらず、すべての連結成分の合併は $X$ である。

$\{x\}$ は連結なので $x\sim x$ である。連結集合が $x,y$ の両方を含むという条件は対称だから、$x\sim y$ なら $y\sim x$。$x\sim y$ と $y\sim z$ の場合、それぞれの証人となる連結集合 $A,B$ を取れる。$y\in A\cap B$ なので $A\cup B$ は連結であり、$x,z$ をともに含む。よって $x\sim z$ で推移律も成り立つ。
$y\in C_X(x)$ なら合併のどれかの連結集合が $x,y$ を含むので $x\sim y$。逆に $x\sim y$ の証人は定義の合併に入るので $y\in C_X(x)$。同値類は互いに一致するか交わらず、すべての点は自分の同値類に属する。これが分割の主張である。$\square$

この証明は連結集合の合併を使っており、点から点への「道」を仮定していない。二点の間に道がない場合にも、両点を含む連結集合が存在することはありうる。したがって連結成分は道成分より大きくなりうる。
同値類としての記述から、空でない連結部分集合は必ずただ一つの成分に含まれる。実際、その集合から一点 $x$ を選べば、集合は $C_X(x)$ の定義の合併に入る。しかも二つの成分に同時に含まれるなら、二つの成分は $x$ を共有して一致する。この一意性は成分の計算に便利である。候補集合が連結であると示しただけでは成分と断定できないが、ほかの成分との境界を越える連結集合がないと示せば極大性が確定する。
任意の「連結集合による分割」が成分分割になるわけでもない。例えば区間 $[0,1]$ は $[0,1/2]$ と $(1/2,1]$ という二つの交わらない連結集合に分割できる。しかし $[0,1]$ 自身が連結なので、連結成分は全体ただ一つである。成分という語には、各部分が連結であることに加えて、包含について極大であることが含まれる。
空でない $X$ が連結であることと、連結成分がちょうど一つであることは同値である。$X$ が連結ならどの $C_X(x)$ にも $X$ 自身が合併の候補として入り、$C_X(x)=X$ となる。逆に連結成分が一つなら、それが連結で $X$ 全体を覆う。空集合を連結とする流儀では、空間が空の場合だけ「連結だが成分は零個」となるので、ここでは空でないことを明示した。Mathpedia の連結空間は空集合を連結とする流儀である。

成分は閉じている

連結集合 $A$ の閉包 $\overline A$ も連結である。直感的には、連結な集合へ極限点を加えても切れ目は生じない。次の証明は、連結成分の閉性を同時に与える。

連結成分は閉集合

任意の位相空間 $X$ と $x\in X$ について $C_X(x)$ は $X$ の閉集合である。ただし一般には開集合とは限らない。

まず連結な $A\subset X$ に対し $\overline A$ が連結であることを示す。もし $\overline A$ が互いに交わらない二つの空でない相対開閉集合 $U,V$ に分かれたなら、$A=(A\cap U)\cup(A\cap V)$ である。$A$ の連結性から一方、例えば $A\cap V$ は空になる。すると $A\subset U$ であり、$U$ は $\overline A$ の閉集合だから $\overline A$ は $U$ に含まれる。$V$ が空でないことに反する。
$C_X(x)$ は連結なのでその閉包も連結であり、$x$ を含む。定義により、$x$ を含む連結集合はすべて $C_X(x)$ に含まれる。したがって $\overline{C_X(x)}\subset C_X(x)$。逆の包含は閉包の定義から成り立つので等号となり、$C_X(x)$ は閉である。$\square$

閉であることから開であることは従わない。$X=\mathbb Q$ に通常の実数からの相対位相を入れると、各連結成分は一点集合 $\{q\}$ だが、どの $\{q\}$ も $X$ で開ではない。任意の有理数の近くには別の有理数があるからである。連結成分が一点という性質を完全不連結と呼ぶが、それは離散位相と同じではない（完全不連結空間）。

有理数の成分

異なる有理数 $p< q$ を取る。その間には無理数 $\alpha$ がある。$\mathbb Q\cap(-\infty,\alpha)$ と $\mathbb Q\cap(\alpha,\infty)$ は $\mathbb Q$ を二つの互いに交わらない空でない開集合へ分け、前者は $p$、後者は $q$ を含む。したがって両点をともに含む連結部分集合はない。任意の異なる二点について同じ議論ができるので、$C_{\mathbb Q}(q)=\{q\}$ である。

ここで無理数 $\alpha$ が $\mathbb Q$ に属さないため、二つの半直線との交わりは $\mathbb Q$ の中でそれぞれ開かつ閉になる。実数直線 $\mathbb R$ では同じ $\alpha$ 自身が残るので、$\mathbb R$ を同じ方法で二つに切れない。成分の計算では、どの空間の相対位相を使うかが決定的である。
成分が有限個しかないなら、各成分は開でもある。実際、ある成分 $C$ の補集合は残りの有限個の成分の合併であり、いずれも閉だから有限和として閉である。従って $C$ は開かつ閉となる。逆に成分がすべて開であっても、その個数が有限とは限らない。無限離散空間では各一点が開な連結成分で、成分は無限個ある。

有限個の成分と開閉分解

$X$ が有限個の連結成分 $C_1,\ldots,C_m$ を持つなら、各 $C_i$ は開かつ閉である。さらに、任意の開かつ閉集合 $U\subset X$ は連結成分の合併である。

最初の主張は $X\setminus C_i=\bigcup_{j\ne i}C_j$ が有限個の閉集合の合併であることから従う。次に任意の開閉集合 $U$ を取り、成分 $C_i$ を一つ固定する。$U\cap C_i$ と $C_i\setminus U$ は $C_i$ の相対位相でともに開であり、互いに交わらず $C_i$ を覆う。$C_i$ は連結だから、その一方は空である。ゆえに各成分は $U$ に全体として含まれるか、$U$ と交わらないかのどちらかである。$U$ は前者に当たる成分の合併となる。$\square$

最後の主張は、成分が無限個の場合にも成り立つ。開閉集合は成分を途中で切り分けられない。ただし、連結成分そのものが必ず開閉とは言えない。$\mathbb Q$ の一点成分はその反例である。各点を含むすべての開閉集合の共通部分を考える準連結成分は、連結成分とは一般に異なる。違いを論じる前に「連結集合による極大性」と「開閉集合で分けられないこと」を区別しておくとよい（StacksCC Remark 5.7.4）。
有限個の成分の場合は、空間全体をそれらの位相的な非交和として扱える。各成分が開であるため、各成分の相対開集合を任意に選んで合併すると $X$ の開集合になるからである。無限個の場合にはこの結論を無条件に延ばせない。例えば $\mathbb Q$ を各一点成分の非交和とみなした位相は離散位相になるが、通常の $\mathbb Q$ の位相は離散ではない。「集合として互いに交わらない成分の合併」と「位相空間としての非交和」は別の主張である。

例：区間、離散空間、積

実数直線の連結部分集合は区間である（連結空間の定理「実数直線の連結部分集合」）。従って $\mathbb R\setminus\{0\}$ の成分は $(-\infty,0)$ と $(0,\infty)$。集合 $[0,1]\cup[2,3]$ なら二つの閉区間が成分となる。端点どうしの間に空いた区間があり、その間の実数で分離できるからである。
一方、$X=\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}\subset\mathbb R$ では、各連結成分は一点である。異なる二点の間には $X$ に属さない実数があり、上の有理数と同じ分離の議論が使える。しかし $\{0\}$ は $X$ の開集合ではない。すべての $1/n$ が $0$ に近づくためである。これは、連結成分が開でない例を $\mathbb Q$ より小さな可算コンパクト空間で示している。実際 $X$ は有界閉集合なので $\mathbb R$ でコンパクトだが、コンパクトであっても成分は開とは限らない。
点の個数だけでは成分数は決まらない。二点集合に離散位相を入れれば、各一点が連結成分であり成分は二個になる。同じ集合に密着位相、すなわち開集合が空集合と全体だけの位相を入れれば、全体が連結で成分は一個になる。両者は同じ集合を台としていても位相が異なる。図で点を二つ離して描いたかどうかよりも、相対開集合で分離できるかどうかが連結性を決める。
積空間では成分を各座標ごとに計算できる。たとえば $(\mathbb R\setminus\{0\})\times(\mathbb R\setminus\{0\})$ の成分は四つの象限である。これは図だけに頼る事実ではなく、次の命題の帰結である。

二つの空間の積の連結成分

位相空間 $X,Y$ の点 $(x,y)$ について、積位相を入れた $X\times Y$ における連結成分は
$$ C_{X\times Y}(x,y)=C_X(x)\times C_Y(y) $$
である。

$D\subset X\times Y$ を $(x,y)$ を含む任意の連結集合とする。二つの射影は連続なので、その像はそれぞれ $x$ を含む $X$ の連結集合、$y$ を含む $Y$ の連結集合である。従って $D\subset C_X(x)\times C_Y(y)$ となる。
逆向きには、連結空間 $A=C_X(x)$、$B=C_Y(y)$ の積が連結であることを示せばよい。$b_0=y$ を固定すると $A\times\{b_0\}$ は連結である。各 $a\in A$ について $\{a\}\times B$ も連結で、前者と点 $(a,b_0)$ で交わる。従って各 $(A\times\{b_0\})\cup(\{a\}\times B)$ は連結で、しかもいずれも $A\times\{b_0\}$ を含む。これらの合併は $(A\times\{b_0\})\cup\bigcup_{a\in A}(\{a\}\times B)=A\times B$ だから連結である。この積は $(x,y)$ を含むので $C_{X\times Y}(x,y)$ に含まれる。両向きの包含から等号を得る。$\square$

有限個の積にも同じ式を繰り返して使える。無限積については、連結空間の積が連結であるという別の定理が必要である。有限積の証明をそのまま一度に無限個の座標へ適用したことにはならないので、主張の範囲を意識する。

部分空間と連続写像

部分空間 $A\subset X$ の成分は、$X$ の成分を単純に $A$ と交わらせただけでは一般に得られない。$A$ で使う開集合は $X$ の開集合との交わりであり、点を取り除くと、それまで一つだった連結な部分が切れることがある。

部分空間への制限

$A\subset X$、$x\in A$ なら $C_A(x)\subset C_X(x)\cap A$ が成り立つ。この包含は真になりうる。

$C_A(x)$ は $A$ の相対位相で連結だから、$X$ の部分集合としても連結である。そのため $x$ を含む $X$ の連結集合の一つであり、$C_X(x)$ に含まれる。もちろん $C_A(x)\subset A$ なので主張の包含を得る。真の包含の例として $X=[0,2]$、$A=X\setminus\{1\}$、$x=0$ を取る。$X$ は区間なので $C_X(0)=X$、従って $C_X(0)\cap A=A$ である。一方、$A$ は $[0,1)$ と $(1,2]$ に分かれ、$C_A(0)=[0,1)$ だけである。$\square$

連続写像は成分を必ず「成分の中へ」送るが、成分全体の上に写すとは限らない。この向きは、連続像が連結であることから直ちに従う。

連続写像が成分に誘導する写像

連続写像 $f:X\to Y$ と $x\in X$ に対して
$$ f(C_X(x))\subset C_Y(f(x)) $$
が成り立つ。従って成分の集合を $\pi_0(X)$ と書けば、$[x]\mapsto[f(x)]$ は集合の写像 $\pi_0(f):\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ を定める。同相写像ならこれは全単射である。

$C_X(x)$ は連結で、連続像 $f(C_X(x))$ も連結であり、点 $f(x)$ を含む。$C_Y(f(x))$ の極大性から包含が従う。同じ成分の点 $x,x'$ なら $C_X(x)=C_X(x')$ なので、その像は $f(x)$ と $f(x')$ を含む連結集合になり、両者は $Y$ の同じ成分に属する。よって同値類への対応は代表元に依存しない。$f$ が同相なら $f^{-1}$ にも同じ議論を適用でき、誘導写像は互いに逆になる。$\square$

連続写像は別々の成分を一つにまとめることがある。例えば二つの閉区間の位相的な非交和から $[0,1]$ へ、各区間を恒等的に写すと、定義域には二つの成分があるが、像には一つしかない。連続全射でも成分数は保存されない。一方、同相なら成分数と各成分の位相型は保存される。
連続全射 $f:X\to Y$ なら $\pi_0(f)$ も全射である。任意の $Y$ の成分から点 $y$ を選び、全射性により $f(x)=y$ となる $x$ を選べば、その成分は $\pi_0(f)([x])$ に等しい。つまり全射は成分を新たに作り出さない。ただし複数の成分を一つへ写すことはできるので、成分数が有限なら「$Y$ の成分数は $X$ の成分数以下」と言える。全射でない連続写像では、到達しない成分が $Y$ にあってもよい。
この対応は関手的で、$X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ に対して $\pi_0(g\circ f)=\pi_0(g)\circ\pi_0(f)$ である。$x$ の像を追えば両辺とも $[g(f(x))]$ になる。連結成分の集合 $\pi_0(X)$ は、空間の大域的な分かれ方を記録する不変量である。成分の個数だけでなく、成分を連続写像がどう対応させるかを記録できる。
$\pi_0(X)$ に、自然な全射 $q:X\to\pi_0(X)$ の商位相を入れることもある。このとき部分集合 $U\subset\pi_0(X)$ が開であることは、その逆像である成分の合併 $q^{-1}(U)$ が $X$ で開であることを意味する。特に $\pi_0(X)$ が離散空間になることと、$X$ のすべての成分が開であることは同値である。$\mathbb Q$ の例では成分は一点ずつでも開でないので、この商空間は離散空間にならない（StacksCC Lemma 5.7.9）。

道成分、局所連結性との違い

二点が道で結べるとき同値とみなして得る集合を道成分または弧状連結成分という。道の像は連結だから、各道成分はある連結成分に含まれる。逆の包含は一般には成り立たない。位相幾何学者の正弦曲線は、全体として連結なのに道では結べない点を含む例である。従って連結成分は一つでも、道成分は一つではない。$\mathbb R$ の開集合のように局所的な性質がよい場面では両者が一致しやすいが、一般の位相空間で交換してはいけない。
局所連結空間では、各点の十分小さな近傍に連結な近傍を取れる。その近傍は点の成分に含まれるため、成分は各点の近傍となり、結局開である。これは StacksCC Lemma 5.7.11 の主張でもある。ただし「$X$ の成分がすべて開」だけから $X$ の局所連結性は従わない。$X$ が連結ならその唯一の成分 $X$ は常に開だが、連結で局所連結でない空間も存在する。正しい特徴づけには「$X$ の任意の開部分集合の成分が開」という条件が必要である（局所連結空間）。
さらに、連結成分と既約成分も異なる。既約な空間は連結だが、連結な空間は既約とは限らない。例えば実数区間 $[0,1]$ は連結だが、通常の Hausdorff 位相では一点より大きい閉集合を既約とみなすことはできない。一方、スキームの Zariski 位相では既約成分が複数あっても、互いに交わればその合併は連結になりうる。構成に使う「これ以上広げられない性質」が何かを確かめる必要がある。

文献

連結成分の定義、極大性、閉性、連続写像、商集合 $\pi_0(X)$、局所連結性との関係は StacksCC Topology, Section 5.7（Tag 004R）にある。刊行書では Mun23 第 3 章の連結性の節を参照できる。ここでは Mathpedia の連結空間に合わせて空集合を連結とする流儀を用いたが、空空間が連結かどうかの流儀の差は、点を通る成分の定義や上の命題を変えない。