ねじれ矢印圏

同義語：twisted arrow category

概要

前提知識: 圏, 関手, 反対圏, 極限(圏論), エンド

ねじれ矢印圏（twisted arrow category）は、圏 $\mathcal C$ の射を対象とし、射 $f\colon a\to b$ から $f'\colon a'\to b'$ への射を「$f$ の前と後ろに射を付け足して $f'$ にする方法」とする圏である。前に付け足す射は $a'\to a$ と逆向きになるので、矢印の圏（射の可換な四角形を射とする圏）と比べて片側の向きが「ねじれて」いる。このねじれのおかげで、第 1 変数について反変・第 2 変数について共変な関手 $H\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ を、ねじれ矢印圏の上の普通の関手に引き戻すことができ、エンドが通常の極限(圏論)として書ける。
この記事では、ねじれ矢印圏を定義し、それが Hom 関手の要素の圏であることと、エンドがねじれ矢印圏の上の極限であることを証明する。系として、自然変換の集合がねじれ矢印圏の上の極限であることを導く。

定義

ねじれ矢印圏と射影

圏 $\mathcal C$ のねじれ矢印圏 $\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ を次で定める。

対象は $\mathcal C$ の射 $f\colon a\to b$ である。
$f\colon a\to b$ から $f'\colon a'\to b'$ への射は、$\mathcal C$ の射の組 $(h,k)$、$h\colon a'\to a$、$k\colon b\to b'$ で
$$ f'=k\circ f\circ h $$
を満たすものである。
合成は $(h',k')\circ(h,k):=(h\circ h',\,k'\circ k)$、$f$ の恒等射は $(1_a,1_b)$ である。
対象 $f\colon a\to b$ を $(a,b)$ に、射 $(h,k)$ を $(h^{\mathrm{op}},k)$ に送る関手を $\pi\colon\operatorname{Tw}(\mathcal C)\to\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ と書く。

合成が射になることは、$f'=kfh$、$f''=k'f'h'$ から $f''=(k'k)f(hh')$ となることによる。結合律と単位律は $\mathcal C$ の合成から従う。$\pi$ が関手であることは、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ での合成が $h'^{\mathrm{op}}\circ h^{\mathrm{op}}=(h\circ h')^{\mathrm{op}}$ であることによる。
射 $(h,k)\colon f\to f'$ は、可換図式
$$ \begin{CD} a @>{f}>> b\\ @A{h}AA @VV{k}V\\ a' @>{f'}>> b' \end{CD} $$
で表せる。左の縦の矢印だけが上向きであることが「ねじれ」である。この定義は Mac98 Chapter IX §6, Exercise 3（p. 227）の twisted arrow category $\mathcal C_\#$ と同じものであり、エンドの記事で使っている向きとも一致する。文献によっては、この圏の反対圏（$\mathcal C\times\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の上にある）をねじれ矢印圏とよぶので、向きの規約に注意する。

直感

$\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ の射 $f\to f'$ は、$f$ を「内側」に含むより大きな射 $f'=kfh$ への移り方である。順序集合では、これは区間の包含になる（ex-twisted-arrow-poset）。関手 $H\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ は、射 $u\colon c\to d$ によって $H(c,c)\to H(c,d)$ と $H(d,d)\to H(c,d)$ の 2 本を与えるだけで、$c\mapsto H(c,c)$ は関手にならない。ところが $H\circ\pi$ は $\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ 上の普通の関手で、恒等射 $1_c,1_d$ から $u$ への射 $(1_c,u)$・$(u,1_d)$ がちょうどその 2 本を与える。エンドの楔の条件は、この 2 本の行き先が一致することであり、それが $H\circ\pi$ への錐の条件と同じになる（thm-twisted-arrow-end）。

要素の圏としての記述

関手 $P\colon\mathcal A\to\mathbf{Set}$ の要素の圏 $\int_{\mathcal A}P$ とは、対象を組 $(x,e)$（$x\in\mathcal A$、$e\in P(x)$）、$(x,e)$ から $(x',e')$ への射を $P(u)(e)=e'$ を満たす $\mathcal A$ の射 $u\colon x\to x'$ とする圏である。$(x,e)\mapsto x$ を射影という。

Hom 関手の要素の圏

$\mathcal C$ を局所小な圏とし、$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathbf{Set}$ を Hom 関手とする。$f\colon a\to b$ を $((a,b),f)$ に、$(h,k)$ を $(h^{\mathrm{op}},k)$ に送る対応は、$\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ 上の圏の同型
$$ \operatorname{Tw}(\mathcal C)\cong\int_{\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C}\operatorname{Hom}_{\mathcal C} $$
を与える。とくに $\pi$ は離散余ファイブレーションである。すなわち、対象 $f\colon a\to b$ と $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ の射 $(h^{\mathrm{op}},k)\colon(a,b)\to(a',b')$ について、$f$ を始点とし $\pi$ で $(h^{\mathrm{op}},k)$ に写る射がただ一つある。

$\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ の射 $(h^{\mathrm{op}},k)\colon(a,b)\to(a',b')$（$h\colon a'\to a$、$k\colon b\to b'$）について、$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(h^{\mathrm{op}},k)\colon\mathcal C(a,b)\to\mathcal C(a',b')$ は $f\mapsto k\circ f\circ h$ である。したがって要素の圏の射 $((a,b),f)\to((a',b'),f')$ は、$f'=kfh$ を満たす $(h^{\mathrm{op}},k)$ のことで、これは $\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ の射 $(h,k)\colon f\to f'$ と同じものである。合成と恒等射も両方の圏で同じ組の合成なので、対応は同型であり、射影は $\pi$ に対応する。
持ち上げについて：$f$ を始点として $(h^{\mathrm{op}},k)$ に写る射は、終点が $f'=kfh$ と決まる $(h,k)\colon f\to kfh$ だけである。$\square$

この記述は、局所小な圏について Rie16 Exercise 2.4.vii（p. 78）が「ねじれ矢印圏」とよぶものである。

エンドはねじれ矢印圏の上の極限

$H\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。対象 $T\in\mathcal D$ から $H$ への楔とは、射 $\alpha_c\colon T\to H(c,c)$ の族で、$\mathcal C$ のすべての射 $u\colon c\to d$ について
$$ H(1_c,u)\circ\alpha_c=H(u,1_d)\circ\alpha_d\colon T\longrightarrow H(c,d) $$
を満たすものであり、普遍的な楔をもつ対象が $H$ のエンド $\int_cH(c,c)$ である（エンドの定義「エンドと楔」）。以下、$H(u,v)$ と書くとき第 1 成分の $u$ は $\mathcal C$ の射とし、$H(u,v)=H(u^{\mathrm{op}},v)$ と略す。関手性から $H(u,v)=H(1,v)\circ H(u,1)=H(u,1)\circ H(1,v)$ である。

エンドと極限の一致

$\mathcal C$ を小さい圏、$H\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とし、$T\in\mathcal D$ とする。

$T$ から $H\circ\pi\colon\operatorname{Tw}(\mathcal C)\to\mathcal D$ への錐(圏論) $\lambda=(\lambda_f)_f$ に族 $(\lambda_{1_c})_{c}$ を対応させる写像は、錐の集合から $T$ から $H$ への楔の集合への全単射であり、逆写像は楔 $\alpha$ を $\lambda_f:=H(1_a,f)\circ\alpha_a$（$f\colon a\to b$）に送る。
この全単射は射 $t\colon T'\to T$ との前合成と両立する。
したがって $H$ のエンドが存在することと $H\circ\pi$ の極限が存在することは同値であり、そのとき
$$ \int_{c\in\mathcal C}H(c,c)\cong\lim_{(f\colon a\to b)\in\operatorname{Tw}(\mathcal C)}H(a,b) $$
が、普遍的な楔の成分 $\alpha_c$ と極限の脚 $\lambda_{1_c}$ を対応させる形で成り立つ。

錐から楔. $\lambda$ を錐とし $\alpha_c:=\lambda_{1_c}$ とおく。射 $u\colon c\to d$ について、$u=u\circ1_c\circ1_c$ なので $(1_c,u)\colon1_c\to u$ は $\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ の射であり、$u=1_d\circ1_d\circ u$ なので $(u,1_d)\colon1_d\to u$ も射である。この 2 本についての錐の条件は
$$ H(1_c,u)\circ\lambda_{1_c}=\lambda_u=H(u,1_d)\circ\lambda_{1_d} $$
であり、左右の等式が $\alpha$ の楔の条件である。さらに $f\colon a\to b$ について、射 $(1_a,f)\colon1_a\to f$ についての錐の条件から $\lambda_f=H(1_a,f)\circ\alpha_a$ となる。よって錐は対応する楔から決まり、写像 $\lambda\mapsto\alpha$ は単射である。
楔から錐. $\alpha$ を楔とし $\lambda_f:=H(1_a,f)\circ\alpha_a$ とおく。$\lambda_{1_c}=\alpha_c$ である。$\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ の射 $(h,k)\colon f\to f'$（$h\colon a'\to a$、$k\colon b\to b'$、$f'=kfh$）について、楔の条件 $H(h,1_a)\circ\alpha_a=H(1_{a'},h)\circ\alpha_{a'}$ を使うと
$$ H(h,k)\circ\lambda_f=H(1_{a'},kf)\circ H(h,1_a)\circ\alpha_a=H(1_{a'},kf)\circ H(1_{a'},h)\circ\alpha_{a'}=H(1_{a'},kfh)\circ\alpha_{a'}=\lambda_{f'} $$
となる。最初の等号は $H(h,k)\circ H(1_a,f)=H(h,kf)=H(1_{a'},kf)\circ H(h,1_a)$ による。よって $\lambda$ は錐であり、上の写像は全射である。
前合成と普遍性. $t\colon T'\to T$ について、錐 $\lambda\circ t$ に対応する楔は $(\lambda_{1_c}\circ t)_c=\alpha\circ t$ であるから 2 が成り立つ。極限は「任意の錐が射 $t$ との前合成としてただ一通りに書ける」錐であり、エンドは同じ性質をもつ楔である。1・2 により錐と楔の集合はこの前合成ごと一致するので、普遍的な錐と普遍的な楔は互いに対応し、3 が従う。$\square$

この定理は Mac98 Chapter IX §6, Exercise 3（p. 227）で示すよう求められている事実であり、同じ本の Chapter IX §5, Proposition 1（p. 224）は、分割圏という別の添字圏の上の極限としてエンドを書いている（エンドの命題「分割圏の上の極限としてのエンド」）。

自然変換の集合は極限

$\mathcal C$ を小さい圏、$\mathcal D$ を局所小な圏、$F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。$\mathbf{Set}$ の中で
$$ \operatorname{Nat}(F,G)\cong\lim_{(f\colon a\to b)\in\operatorname{Tw}(\mathcal C)}\mathcal D\bigl(F(a),G(b)\bigr) $$
であり、自然変換 $\alpha$ には族 $\bigl(G(f)\circ\alpha_a\bigr)_f=\bigl(\alpha_b\circ F(f)\bigr)_f$ が対応する。

$H(c',c):=\mathcal D(F(c'),G(c))$ とおく。$\mathbf{Set}$ の極限は一点集合からの錐の集合で与えられるので、thm-twisted-arrow-end の 1 により右辺は一点集合からの楔、すなわち $\alpha_c\in\mathcal D(F(c),G(c))$ の族で $G(u)\circ\alpha_c=\alpha_d\circ F(u)$ を満たすものと一対一に対応する。これは自然変換の定義そのものである（エンドの命題「自然変換の集合」と同じ計算）。対応する錐は $\lambda_f=H(1_a,f)\circ\alpha_a=G(f)\circ\alpha_a$ で、自然性からこれは $\alpha_b\circ F(f)$ に等しい。$\square$

例

一本の矢印

$\mathcal C=[1]=(0\xrightarrow{u}1)$ とする。$\operatorname{Tw}([1])$ の対象は $1_0,u,1_1$ の 3 つで、恒等射でない射は $(1_0,u)\colon1_0\to u$ と $(u,1_1)\colon1_1\to u$ だけである。よって $\operatorname{Tw}([1])$ は余スパン $1_0\to u\leftarrow1_1$ であり、その上の極限は引き戻しである。thm-twisted-arrow-end から $\int_cH(c,c)\cong H(0,0)\times_{H(0,1)}H(1,1)$ が再び得られる（エンドの例「一本の矢印」）。

順序集合と区間

順序集合 $P$ を圏とみなす。$\operatorname{Tw}(P)$ の対象は $a\le b$ を満たす組、すなわち区間 $[a,b]$ であり、$[a,b]\to[a',b']$ の射は $a'\le a$ かつ $b\le b'$ のときにただ一つある。よって $\operatorname{Tw}(P)$ は区間の集合を包含で順序づけた順序集合である。

群のねじれ矢印圏

群 $G$ を一対象 $*$ の圏とみなす。$\operatorname{Tw}(G)$ の対象は $g\in G$、射 $(h,k)\colon g\to kgh$ であり、どの射も逆 $(h^{-1},k^{-1})$ をもつ。$(1,g)\colon e\to g$ があるので連結な亜群で、$e$ の自己射は $kh=e$ を満たす $(h,h^{-1})$ である。合成は $(h',h'^{-1})\circ(h,h^{-1})=(hh',(hh')^{-1})$ なので、$h\mapsto(h^{-1},h)$ は群の同型 $G\to\operatorname{Aut}(e)$ を与える。
連結な亜群の上の錐 $\lambda$ は、対象 $e$ での成分 $\lambda_e$ から $\lambda_g=H\pi(1,g)\circ\lambda_e$ で決まり、$\lambda_e$ は $\operatorname{Aut}(e)$ の作用で固定されていなければならない。逆に固定された元からはこの式で錐が矛盾なく定まる（$e\to g$ の 2 本の射は $\operatorname{Aut}(e)$ の元の違いしかない）。エンドの例「群作用の固定点」の $H$ では、$(h^{-1},h)$ は $x\mapsto h\cdot x$ と作用するので、極限は固定点の集合 $X^G$ になり、エンドの計算と一致する。

反対圏のねじれ矢印圏

$f\mapsto f^{\mathrm{op}}$、$(h,k)\mapsto(k^{\mathrm{op}},h^{\mathrm{op}})$ は圏の同型 $\operatorname{Tw}(\mathcal C)\cong\operatorname{Tw}(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ を与え、射影を $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\cong\mathcal C\times\mathcal C^{\mathrm{op}}$（成分の入れ替え）で移す。

$\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ の射 $(h,k)\colon f\to f'$（$f\colon a\to b$、$f'\colon a'\to b'$、$f'=kfh$）をとる。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で $f^{\mathrm{op}}\colon b\to a$、$f'^{\mathrm{op}}\colon b'\to a'$ であり、$k^{\mathrm{op}}\colon b'\to b$、$h^{\mathrm{op}}\colon a\to a'$ について $h^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}}\circ k^{\mathrm{op}}=(kfh)^{\mathrm{op}}=f'^{\mathrm{op}}$ である。よって $(k^{\mathrm{op}},h^{\mathrm{op}})$ は $\operatorname{Tw}(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ の射 $f^{\mathrm{op}}\to f'^{\mathrm{op}}$ である。合成は $(h',k')\circ(h,k)=(hh',k'k)\mapsto\bigl((k'k)^{\mathrm{op}},(hh')^{\mathrm{op}}\bigr)=\bigl(k^{\mathrm{op}}k'^{\mathrm{op}},h'^{\mathrm{op}}h^{\mathrm{op}}\bigr)=(k'^{\mathrm{op}},h'^{\mathrm{op}})\circ(k^{\mathrm{op}},h^{\mathrm{op}})$ と保たれ、逆の対応も同じ式で与えられる。射影の対応は定義から明らかである。$\square$

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
前に付ける射 $h$ を逆向きにとる（ねじれ）	矢印の圏 $\operatorname{Ar}([1])$（射 $f\to f'$ は $h\colon a\to a'$、$k\colon b\to b'$、$kf=f'h$）	対象 $f\colon a\to b$ を $(a,b)$ に送る $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ への関手があり、$\operatorname{Hom}$ をそれで引き戻せること
持ち上げる射の始点を指定する	平行な 2 本の射 $f\ne g\colon a\to b$ だけをもつ圏で、終点 $g$ を指定する	$\pi$ による射の持ち上げの存在（$\pi$ は離散ファイブレーションでない）

表の反例の確かめ

1 行目：$\operatorname{Ar}([1])$ には射 $(u,u)\colon1_0\to1_1$ がある（$u\circ1_0=1_1\circ u$）。$1_0\mapsto(0,0)$、$1_1\mapsto(1,1)$ となる関手 $Q\colon\operatorname{Ar}([1])\to[1]^{\mathrm{op}}\times[1]$ があれば、$Q(u,u)$ は $(0,0)\to(1,1)$ の射、とくに $[1]^{\mathrm{op}}$ の射 $0\to1$、すなわち $[1]$ の射 $1\to0$ を含むが、そのような射はない。よって $\operatorname{Hom}_{[1]}$ を引き戻した関手は作れず、thm-twisted-arrow-end の形の主張は意味をもたない。
2 行目：$\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ の射 $(1_a^{\mathrm{op}},f)\colon(a,a)\to(a,b)$ を考える。$\pi$ で $(a,a)$ の上にある対象は $1_a$ だけで、$1_a$ を始点とする持ち上げは $(1_a,f)\colon1_a\to f$ ただ一つである（prop-twisted-arrow-elements）。一方、終点を $g$ と指定すると、$(1_a,f)\colon1_a\to g$ が射であるには $g=f\circ1_a\circ1_a=f$ が要るので、持ち上げは存在しない。

補足

∞圏への一般化. 準圏 $\mathcal C$ に対しても、エンド(∞圏) の定義「左ねじれ矢印∞圏」により $\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)$ が定まり、$\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ への射影は左ファイブレーションになる（左ファイブレーションと右ファイブレーション）。通常の圏 $A$ の脈体では、$\operatorname{Tw}^{\ell}(N(A))$ はこの記事の $\operatorname{Tw}(A)$ の脈体である。∞圏のエンドは、thm-twisted-arrow-end を定義に格上げして、$\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)$ の上の極限として定義される。
コエンド. 双対的に、コエンド $\int^cH(c,c)$ は $\operatorname{Tw}(\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ の上の余極限として書ける。$H$ を関手 $\mathcal C\times\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D^{\mathrm{op}}$ とみて thm-twisted-arrow-end を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ について当て、prop-twisted-arrow-op で $\operatorname{Tw}(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ を $\operatorname{Tw}(\mathcal C)$ に取り替えればよい。