オペラッド

$0\le m\le k$ について、右辺の内側から $m$ 回の部分合成を行ったものが $\gamma(p;1,\dots,1,q_{k-m+1},\dots,q_k)$ に等しいことを $m$ の帰納法で示す。$m=0$ では単位律の第 2 式である。$m$ で成り立つとし、$u:=\gamma(p;1,\dots,1,q_{k-m+1},\dots,q_k)$ とおく。$u$ の入力のうち最初の $k-m$ 個は単位 $1\in P(1)$ のそれぞれ 1 本の入力なので、$u\circ_{k-m}q_{k-m}$ は $u$ に対し、$k-m$ 番目に $q_{k-m}$、ほかに単位を並べた合成である。結合律により、これは $\gamma(p;f_1,\dots,f_k)$ に等しく、$f_s=\gamma(1;1)=1$（$s< k-m$）、$f_{k-m}=\gamma(1;q_{k-m})=q_{k-m}$、$f_s=\gamma(q_s;1,\dots,1)=q_s$（$s>k-m$）である（単位律）。よって $m+1$ でも成り立ち、$m=k$ が主張である。$\square$

右作用であること：$((f\sigma)\tau)(x)=(f\sigma)(\tau\cdot x)=f(\sigma\cdot(\tau\cdot x))=f((\sigma\tau)\cdot x)=(f(\sigma\tau))(x)$。

結合律：$x=(x^{(1)},\dots,x^{(k)})$ を、さらに $r_t$ の入力ごとに細かく分ける。両辺とも $x$ を $f\bigl(g_1(r_1(\cdots),\dots),\dots,g_k(\dots,r_j(\cdots))\bigr)$ に写す。単位律は明らかである。

同変性の第 1 式：左辺は $x$ を $(f\sigma)(g_1(x^{(1)}),\dots,g_k(x^{(k)}))=f\bigl(g_{\sigma^{-1}(1)}(x^{(\sigma^{-1}(1))}),\dots,g_{\sigma^{-1}(k)}(x^{(\sigma^{-1}(k))})\bigr)$ に写す。右辺は $x$ を $\gamma(f;g_{\sigma^{-1}(1)},\dots)$ に $\sigma\langle j_1,\dots,j_k\rangle\cdot x=(x^{(\sigma^{-1}(1))},\dots,x^{(\sigma^{-1}(k))})$ を入れた値に写し、これは左辺と同じである。第 2 式：両辺とも $x$ を $f\bigl(g_1(\tau_1\cdot x^{(1)}),\dots,g_k(\tau_k\cdot x^{(k)})\bigr)$ に写す。位相空間の場合、合成と作用が連続であることはコンパクト生成空間の圏での写像空間の性質による。$\square$

1：式 1 の左辺は、$x$ の成分を「ブロックは $i_1,\dots,i_k$ の順、第 $s$ ブロックの中は $\omega_s$ の順」に並べた積である。右辺は $\theta_{j_{i_1}}(\omega_{i_1};x^{(i_1)})\cdots\theta_{j_{i_k}}(\omega_{i_k};x^{(i_k)})$ で、一般結合律により同じ積である。式 2 は $\theta_1(\iota_1;x)=x$ である。式 3：$(\sigma\cdot x)_i=x_{\sigma^{-1}(i)}$ なので $\theta_n(\omega;\sigma\cdot x)=x_{\sigma^{-1}(i_1)}\cdots x_{\sigma^{-1}(i_n)}=\theta_n(\omega\sigma;x)$ である。

2：$W$ を文字 $a_1,a_2,\dots$ の上の自由モノイド（文字の有限列の全体と連結）とし、$\Phi_n\colon\mathrm{Ass}(n)\to\operatorname{End}_W(n)$、$\Phi_n(\omega):=\theta_n(\omega;-)$ とおく。1 の 3 つの式はそれぞれ $\Phi(\gamma(\omega;\omega_1,\dots,\omega_k))=\gamma(\Phi(\omega);\Phi(\omega_1),\dots,\Phi(\omega_k))$、$\Phi(\iota_1)=\operatorname{id}$、$\Phi(\omega\sigma)=\Phi(\omega)\sigma$ を意味する。また $\Phi_n(\omega)(a_1,\dots,a_n)=a_{i_1}\cdots a_{i_n}$ から $\omega$ が読み取れるので、$\Phi_n$ は単射である。$\mathrm{Ass}$ の公理の各式の両辺を $\Phi$ で写すと、$\Phi$ が合成・単位・作用と両立するので、$\operatorname{End}_W$ の対応する式の両辺になる。後者は prop-op-end により等しく、$\Phi$ は単射なので、元の両辺も等しい。作用が右作用であることも同じ議論で従う。$\square$

1：$\mathrm{Ass}$ 代数 $(X,\theta)$ から始める。辞書式の合成の定義から $\gamma(\iota_2;\iota_2,\iota_1)=\iota_3=\gamma(\iota_2;\iota_1,\iota_2)$ なので、prop-op-structure-maps の 1 により $(xy)z=\theta_3(\iota_3;x,y,z)=x(yz)$ である。$\gamma(\iota_2;\iota_0,\iota_1)=\iota_1=\gamma(\iota_2;\iota_1,\iota_0)$ と同 2 により $ex=\theta_1(\iota_1;x)=x=xe$ である。よって $X$ はモノイドである。さらに $\iota_n=\gamma(\iota_2;\iota_{n-1},\iota_1)$（$n\ge2$）から帰納的に $\theta_n(\iota_n;x)=x_1\cdots x_n$ がわかり、$\omega=\iota_n\sigma$（$\sigma^{-1}(m)=i_m$）について同 3 から $\theta_n(\omega;x)=\theta_n(\iota_n;\sigma\cdot x)=x_{i_1}\cdots x_{i_n}$ である。したがって $\theta$ はこのモノイドから lem-op-ass で作った構造に一致する。逆にモノイドから lem-op-ass で作った代数の $\theta_2(\iota_2;-)$ と $\theta_0(\iota_0)$ は、元の積と単位元である。よって 2 つの対応は互いに逆である。

2：$\mathrm{Com}$ 代数でも、$\gamma(c_2;c_2,c_1)=c_3=\gamma(c_2;c_1,c_2)$、$\gamma(c_2;c_0,c_1)=c_1=\gamma(c_2;c_1,c_0)$ から同様にモノイドになる。互換 $\tau\in\Sigma_2$ について $c_2\tau=c_2$ なので、$yx=\theta_2(c_2;\tau\cdot(x,y))=\theta_2(c_2\tau;x,y)=xy$ であり、可換である。逆に可換モノイドについて $\theta_n(c_n;x)=x_1\cdots x_n$ は、1 と 2 を一般結合律から、3 を可換性から満たす。2 つの対応が互いに逆であることは 1 と同じである。

射：代数の射は $\theta_2$ と $\theta_0$ を保つのでモノイドの準同型である。逆にモノイドの準同型は積をすべて保つので、上の形の $\theta_n$ を保つ。$\square$

$\theta_k$ が定まること：第 $s$ 成分の代表元を $(q_s\tau,x')$（$x^{(s)}=\tau\cdot x'$）に取り替える。同変性の第 2 式により $\gamma(p;\dots,q_s\tau,\dots)=\gamma(p;\dots,q_s,\dots)(1\oplus\cdots\oplus\tau\oplus\cdots\oplus1)$ であり、$[u\pi;y]=[u;\pi\cdot y]$ と $(1\oplus\cdots\oplus\tau\oplus\cdots\oplus1)\cdot(\dots,x',\dots)=(\dots,\tau\cdot x',\dots)$ から、値は変わらない。

1：prop-op-structure-maps の 3 を確かめる。$z_s=[q_s;x^{(s)}]$ とすると、同変性の第 1 式により $\theta_k(p\sigma;z)=\bigl[\gamma(p;q_{\sigma^{-1}(1)},\dots)\,\sigma\langle j_1,\dots,j_k\rangle;x\bigr]=\bigl[\gamma(p;q_{\sigma^{-1}(1)},\dots);x^{(\sigma^{-1}(1))},\dots\bigr]=\theta_k(p;\sigma\cdot z)$ である。2 は単位律 $\gamma(1;q)=q$、1 は結合律から、どちらも代表元の上の等式として従う。

2：$\bar f$ が定まること：$\theta'_n(q\sigma;f(x_1),\dots)=\theta'_n(q;\sigma\cdot(f(x_1),\dots))=\theta'_n(q;f((\sigma\cdot x)_1),\dots)$ なので、$[q\sigma;x]$ と $[q;\sigma\cdot x]$ の値は一致する。$\bar f$ が射であること：$\bar f(\theta_k(p;z))=\theta'_j(\gamma(p;q_1,\dots,q_k);f(x))$ は、$A$ の構造写像の 1 により $\theta'_k(p;\bar f(z_1),\dots,\bar f(z_k))$ に等しい。$\bar f(\eta(x))=\theta'_1(1;f(x))=f(x)$ である。一意性：単位律 $\gamma(q;1,\dots,1)=q$ により $[q;x_1,\dots,x_n]=\theta_n(q;\eta(x_1),\dots,\eta(x_n))$ なので、$g\circ\eta=f$ を満たす射 $g$ は $g([q;x])=\theta'_n(q;f(x_1),\dots,f(x_n))$ を満たし、$\bar f$ に一致する。$\square$

そのような $P$ があったとし、$P$ 代数 $A$ に対応する群を $A^{\mathrm{grp}}$ と書く。

段 1：$F:=F_P(\{1,2\})$ とし、$F^{\mathrm{grp}}$ で$\eta(1)$ と $\eta(2)$ の積を $w$、$\eta(1)$ の逆元を $v$ とする。$w=[q;i_1,\dots,i_m]$、$v=[q';i'_1,\dots,i'_{m'}]$（$i_t,i'_t\in\{1,2\}$）と書き、$c_1,c_2$ を $i_t=1$、$i_t=2$ となる $t$ の個数、$c'$ を $i'_t=1$ となる $t$ の個数とする。

段 2：自然数の集合 $\mathbb{N}$ の上に、唯一の射 $P\to\mathrm{Com}$ と可換モノイド $(\mathbb{N},+,0)$ の $\mathrm{Com}$ 代数の構造（thm-op-monoid）を合成して、$\theta_n(p;a_1,\dots,a_n)=a_1+\cdots+a_n$ となる $P$ 代数 $N$ を作る。$a,b\in\mathbb{N}$ について、thm-op-free の射 $\varphi\colon F\to N$（$\varphi(\eta(1))=a$、$\varphi(\eta(2))=b$）は仮定により群の準同型 $F^{\mathrm{grp}}\to N^{\mathrm{grp}}$ である。よって $N^{\mathrm{grp}}$ の積と逆元は $a\cdot b=\varphi(w)=\theta_m(q;\varphi(\eta(i_1)),\dots,\varphi(\eta(i_m)))=c_1a+c_2b$、$a^{-1}=\varphi(v)=c'a+c''b$ と書ける（$c''$ は $i'_t=2$ の個数）。$b=0$ とおくと $a^{-1}=c'a$ である。

段 3：$N^{\mathrm{grp}}$ の単位元を $e$ とする。$a\cdot e=a$ に $a=0,1$ を入れると $c_2e=0$、$c_1+c_2e=1$ なので $c_1=1$ である。$e\cdot a=a$ から同様に $c_1e=0$、$c_2=1$ なので $e=0$ である。すると $1\cdot1^{-1}=1+c'\ge1$ は $e=0$ にならず、矛盾する。$\square$