stretched Cohen–Macaulay局所環

同義語：stretched Cohen–Macaulay local ringstretched CM local ring

概要

前提知識: 局所環, Cohen–Macaulay環, Gorenstein環

定義：Artin還元の二次以上が一本の列になる

$(A,\mathfrak n,k)$ をArtin局所環とし、有限生成 $A$-加群 $L$ の最小生成元数を
$$ \mu_A(L)=\dim_k L/\mathfrak nL $$
と書く。

stretched Artin局所環

$A$ が stretched Artin局所環 であるとは、$A$ が体ではなく、
$$ \mathfrak n^2=(a) $$
となる $a\in A$ が存在すること、すなわち $\mathfrak n^2$ が単項イデアルであることをいう。

零イデアルも $(0)$ で生成される単項イデアルなので、平方零の非体Artin局所環もstretchedに含む。従ってHilbert関数は
$$ 1,h,1,\ldots,1 $$
の形になるが、$\mathfrak n^2=0$ のときは後ろの1の列が空で、$(1,h)$ で止まる。体は除外する。
$(R,\mathfrak m,k)$ を $d$ 次元Cohen–Macaulay局所環とする。$Q=(x_1,\ldots,x_d)$ が $\mathfrak m$ の最小還元であるとは、$Q$ がパラメーターイデアルで、ある $N\geq0$ に対して
$$ \mathfrak m^{N+1}=Q\mathfrak m^N $$
を満たすことをいう。

stretched Cohen–Macaulay局所環

$R$ が stretched Cohen–Macaulay局所環（stretched Cohen–Macaulay local ring）であるとは、ある最小還元 $Q=(x_1,\ldots,x_d)$ が存在して、Artin局所環
$$ A=R/Q, \qquad \mathfrak n=\mathfrak m/Q $$
がstretchedになることをいう。

定義の量化は「ある最小還元」である。「任意の最小還元」に置き換えるには別の仮定や定理が必要であり、定義だけから強めてはならない。

定義の出典：Sallyは長さとembedding dimensionによる数値条件からstretched環を導入した Sal79 Sal80。極大イデアルの二乗の単項性、およびCM局所環をある最小還元によるArtin商で定義する形はGupta, Definition 3.11 Gup20 による。ここでは体を除く規約を採る。

Hilbert関数が記録するもの

$A=R/Q$ を定義に現れるArtin還元とし、$h=\operatorname{edim}A$ とする。$s$ を $\mathfrak n^s\neq0$ かつ $\mathfrak n^{s+1}=0$ となる最大の整数とする。

stretched Artin還元のHilbert関数

$A$ のHilbert関数は
$$ \dim_k\mathfrak n^i/\mathfrak n^{i+1} = \begin{cases} 1 & (i=0),\\ h & (i=1),\\ 1 & (2\leq i\leq s),\\ 0 & (i>s) \end{cases} $$
の形である。従って
$$ e(R)=\operatorname{length}_A(A)=h+s. $$

$\mathfrak n^2=0$ なら $s=1$ で、二次以降の列は空である。$\mathfrak n^2\neq0$ の場合を示す。随伴次数環 $G=\bigoplus_{i\ge0}\mathfrak n^i/\mathfrak n^{i+1}$ は一次成分で生成される。$\mathfrak n^2$ が単項なら、Nakayamaの補題により $G_2$ は一次元である。一次成分の元の積が $G_2$ を生成するので、$uv\neq0$ となる $u,v\in G_1$ を選べ、$G_2=k uv$ となる。
任意の $w\in G_1$ に対し $uw=\lambda_w uv$ である。従って $G_3=G_2G_1$ の任意の生成元は $(uv)w=(uw)v=\lambda_w uv^2$ となり、$\dim_kG_3\le1$。同じ計算を繰り返すと、$G_i$ は $uv^{i-1}$ で張られ、全ての $i\ge2$ で次元は高々1である。ある次数で零になると、一次成分で生成される性質によりそれ以降も零になる。従って $2\le i\le s$ では次元がちょうど1となる。どちらの場合も各成分の次元を足すと
$$ 1+h+\underbrace{1+\cdots+1}_{s-1\text{ 個}}=h+s $$
を得る。$Q$ は最小還元なので $e(R)=e(Q,R)$、さらにCohen–Macaulay性から $e(Q,R)=\operatorname{length}(R/Q)$ である。

この数列は、平方零の場合には一次部分で止まり、平方零でない場合には極大イデアルを二回掛けた後の各非零次数で新しい方向が一つだけ残ることを表す。Artin還元のembedding dimension $h$ は一次部分の広さを測り、$s$ は細い尾が何段続くかを測る。

例と反例

Artin局所環	Hilbert関数	型	判定
$k[\![t]\!]/(t^q)$（$q\geq2$）	$(1,1,\ldots,1)$	1	stretched、Gorenstein
$k[\![x,y]\!]/(x^2,xy,y^q)$（$q\geq3$）	$(1,2,1,\ldots,1)$	2	stretched、非Gorenstein
$k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2)$	$(1,2,1)$	1	stretched、Gorenstein
$k[\![x,y]\!]/(x,y)^3$	$(1,2,3)$	3	stretchedでない反例

一変数のstretched環

$$ A_q=k[\![t]\!]/(t^q), \qquad q\geq2 $$
では $\mathfrak n=(t)$ で、$\mathfrak n^2=(t^2)$ は単項だからstretchedである。$q=2$ では $\mathfrak n^2=0$ だが、$A_q$ は体でないため定義に含まれる。socleは $(t^{q-1})$ で1次元だからGorensteinでもある。

型2のstretched環

$$ B_q=k[\![x,y]\!]/(x^2,xy,y^q), \qquad q\geq3 $$
とする。極大イデアル $\mathfrak n=(x,y)$ に対して
$$ \mathfrak n^2=(y^2)\neq0 $$
なのでstretchedである。一方、$x\mathfrak n=0$ かつ $y^{q-1}\mathfrak n=0$ であり、
$$ \operatorname{Soc}(B_q)=(x,y^{q-1}) $$
は2次元である。従って $B_q$ は型2で、Gorensteinではない。

完全交叉のstretched環

$$ C=k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2) $$
では $\mathfrak n^2=(xy)$、$\mathfrak n^3=0$ である。従ってHilbert関数は $(1,2,1)$ でstretchedである。また0次元完全交叉環なのでGorensteinである。

反例：二次部分に三方向が残る

$$ D=k[\![x,y]\!]/(x,y)^3 $$
では $\mathfrak n^3=0$ であり、$\mathfrak n^2$ は $x^2,xy,y^2$ の像で生成される。これらは $k$ 上一次独立なので
$$ \mu_D(\mathfrak n^2)=\dim_k\mathfrak n^2=3. $$
従って $D$ はstretchedではない。この反例は「Artin局所環のHilbert関数が有限なら二次以降は自動的に1次元になる」という誤った含意を破る。

Gorenstein性と最小重複度との違い

Artin還元 $A=R/Q$ のsocle
$$ \operatorname{Soc}(A)=(0:_A\mathfrak n) $$
の $k$-次元は $R$ のCohen–Macaulay型
$$ r=\operatorname{type}(R)=\dim_k\operatorname{Ext}_R^d(k,R) $$
に等しい。

Gorenstein性は別の条件である

stretched Cohen–Macaulay局所環 $R$ がGorensteinであることと $r=1$ は同値である。stretched性だけから $r=1$ は従わない。

CM環のパラメータ系は正則列なので、そのArtin商のソクルの次元はCM型に等しい。Gorenstein環の定理「CM環のソクル判定」を適用すると、Gorenstein性と $r=1$ の同値が従う。$B_q$ の型2という計算は、stretched性だけから $r=1$ が従わないことを示す。

例 $B_q$ はstretchedだが型2、例 $C$ はstretchedで型1である。この比較により、stretched性は極大イデアルの冪の細さ、Gorenstein性はsocleまたは双対性の大きさを測る別の条件だと分かる。
残差体が無限な最小重複度Cohen–Macaulay局所環では、$\mathfrak m^2=Q\mathfrak m$ を満たす最小還元 $Q$ を選べる。このArtin還元は平方零で、Hilbert関数は $(1,h)$ で止まる。環が非正則、すなわち $h>0$ ならArtin還元は体ではないのでstretchedである。正則局所環ではArtin還元が体になるため、本稿の規約ではstretchedから除く。

Poincaré級数と自由加群の判定

有限生成 $R$-加群 $M$ に対し
$$ P_M^R(t)=\sum_{i\geq0}\beta_i^R(M)t^i, \qquad \beta_i^R(M)=\dim_k\operatorname{Tor}_i^R(M,k) $$
をPoincaré級数とする。また $c=\operatorname{edim}R-d$、$r=\operatorname{type}(R)$ とおく。

stretched環上の共通分母

$R$ が $d$ 次元stretched Cohen–Macaulay局所環なら、次が成り立つ。

$r=c$ なら $R$ はGolod環で、
$$ P_k^R(t)=\frac{(1+t)^d}{1-ct}, \qquad (1-ct)P_M^R(t)\in\mathbb{Z}[t]. $$
$r\neq c$ なら
$$ P_k^R(t)=\frac{(1+t)^d}{1-ct+t^2}, $$
かつ
$$ (1+t)^{c-r+1}(1-ct+t^2)P_M^R(t)\in\mathbb{Z}[t]. $$

Poincaré級数の出典：上の二分岐と任意の有限生成加群に共通する分母はGupta, Corollary 3.12(1)–(2) Gup20。これはSallyによる残差体のPoincaré級数の計算 Sal80 を、加群全体へ拡張した形である。この二分岐と、任意の有限生成加群に対する共通分母の一般証明は、この記事では行わない。Gup20 Corollary 3.12(1)–(2), pp.179–181 を参照。

具体例では式を直接照合できる。$B_q$ は $d=0,c=2,r=2$ なので
$$ P_k^{B_q}(t)=\frac1{1-2t}. $$
$C$ は $d=0,c=2,r=1$ なので
$$ P_k^C(t)=\frac1{1-2t+t^2}=\frac1{(1-t)^2}, $$
となり、余次元2の完全交叉環に対する計算とも一致する。

Ext消滅による自由性

$R$ をstretched Cohen–Macaulay局所環、$M$ を有限生成 $R$-加群とする。すべての $i\geq1$ で
$$ \operatorname{Ext}_R^i(M,M\oplus R)=0 $$
なら、$M$ は自由 $R$-加群である。

自由性判定の出典：この一般命題は、この記事では証明しない。Gup20 Corollary 3.12(3), pp.179–181 を参照。この命題は、stretchedという冪の条件がPoincaré級数の有理性だけでなく、加群の自己Ext消滅にも強い制約を与えることを示す。

基本構成で保たれる範囲

選んだ還元に沿う構成

$R$ が最小還元 $Q=(x_1,\ldots,x_d)$ によってstretchedであるとする。

$0\leq j\leq d$ に対し $R/(x_1,\ldots,x_j)$ は、残る $x_{j+1},\ldots,x_d$ を最小還元としてstretchedである。
$\mathfrak m$-進完備化 $\widehat R$ は $Q\widehat R$ によってstretchedである。
任意の $u\geq0$ に対し $R[\![z_1,\ldots,z_u]\!]$ は $(Q,z_1,\ldots,z_u)$ によってstretchedである。

いずれの場合も、指定した最小還元でさらに割ったArtin環は $R/Q$ と同型である。1ではCohen–Macaulay正則列の一部で割り、2ではArtin環の完備化が自分自身に一致し、3では新しい変数も還元へ入れる。従って「非体で、極大イデアルの二乗が単項」という条件が保たれる。

任意の商によってstretched Cohen–Macaulay性が保たれるとは限らない。1次元環
$$ T=k[\![\varepsilon,z]\!]/(\varepsilon^2) $$
は超曲面なのでCohen–Macaulayである。極大イデアルを $\mathfrak m_T=(\varepsilon,z)$ とすれば $\mathfrak m_T^2=z\mathfrak m_T$ なので $(z)$ は最小還元であり、そのArtin商 $k[\![\varepsilon]\!]/(\varepsilon^2)$ はstretchedである。従って $T$ もstretchedである。しかし $(\varepsilon z)$ で割った
$$ S=T/(\varepsilon z) \cong k[\![\varepsilon,z]\!]/(\varepsilon^2,\varepsilon z) $$
は1次元だが、$\varepsilon\neq0$ が極大イデアル $(\varepsilon,z)$ 全体で消されるため深さ0である。従って $S$ はCohen–Macaulayでなく、stretched Cohen–Macaulay局所環でもない。商を扱うときは「選んだ最小還元の正則列の一部」という条件を外してはならない。

仮定による違い

stretched性は、ある最小還元についてのArtin商の条件であり、任意の還元について同じ条件を課すものではない。平方零の非体Artin環は含まれるが、体は除かれる。Gorenstein性はCohen–Macaulay型が1かどうかで別に判定する。
Poincaré級数の分母は $r=c$ と $r\neq c$ で異なる。定義だけから随伴次数環のCohen–Macaulay性は結論できず、最小重複度の場合の結果をstretched全体へ移せない。また、stretched ideal、almost stretched環、$j$-stretched idealは別の概念である。

還元が重複度を計算する理由

$Q$ がパラメータイデアルであることだけから、$\mathfrak m$ に関する重複度 $e(R)$ が $\ell(R/Q)$ に等しいとは限らない。最小還元であるという条件によって $e(\mathfrak m,R)=e(Q,R)$ となり、さらにCM性によって $e(Q,R)=\ell(R/Q)$ となる。この二つの条件を順に用いて、Hilbert関数の長さを元の環の重複度へ戻す。
たとえば $R=k[\![t]\!]$ でパラメータイデアル $(t^q)$ は商の長さ $q$ を与えるが、$e(\mathfrak m,R)=1$ である。$q\ge2$ のとき $(t^q)$ は $\mathfrak m=(t)$ の還元でない。実際、$\mathfrak m^{N+1}=(t^{N+1})$ と $(t^q)\mathfrak m^N=(t^{N+q})$ はどの $N$ でも等しくならない。この例は、Artin商がstretchedになる任意のパラメータを取ればよいという定義への変更を許さない。

平方零と一本の尾の比較

平方零Artin環の型

$A$ が非体Artin局所環で $\mathfrak n^2=0$、$h=\dim_k\mathfrak n$ なら、$A$ はstretchedであり $\operatorname{Soc}(A)=\mathfrak n$、型は $h$ である。従ってGorensteinであることと $h=1$ は同値である。

平方零性から $\mathfrak n$ の全ての元が $\mathfrak n$ で消されるので、$\mathfrak n\subseteq\operatorname{Soc}(A)$。一方、$a\notin\mathfrak n$ は局所環の単元である。もし $\mathfrak n a=0$ なら $a^{-1}$ を掛けて $\mathfrak n=0$、すなわち $A$ は体となり、仮定に反する。従ってソクルは $\mathfrak n$ に含まれ、等号が成立する。型はこのソクルの剰余体上の次元なので $h$。零次元局所環のソクル判定により最後の同値が従う。

平方零の環は、二次以上の尾が最も短いstretched環であるが、型は一次部分の広さ $h$ に等しい。従って尾を短くすることは、双対性の型を小さくすることと同じではない。たとえば $k[x_1,\ldots,x_h]/(x_1,\ldots,x_h)^2$ は任意の $h\ge1$ についてstretchedであり、型 $h$ をもつ。
逆に $B_q$ では、二次以降に $y$ の冪が一方向だけ続き、$x$ は最初からソクルに入る。$k$-基底は $1,x,y,y^2,\ldots,y^{q-1}$ で、長さは $q+1$。一次部分は二次元、最高の非零次数は $q-1$ なので、式 $h+s=2+(q-1)=q+1$ と一致する。$y^{q-1}$ が末尾のソクルを作り、$x$ が別のソクル方向を作るため、型は2である。Hilbert関数だけでなく、どの一次元が極大イデアルで消されるかも見る必要がある。

選んだ最小還元の追跡

保存される構成で、Artin商が同じになるだけでなく、指定したイデアルが還元であることも確かめる。$\mathfrak m^{N+1}=Q\mathfrak m^N$ が成り立つとする。正則列の最初の $j$ 個で商を取った環では、この等式を商へ移すと、残りの $x_{j+1},\ldots,x_d$ による同じ還元等式が得られる。元の列はCM環のパラメータ系なので正則列であり、商もCM、次元は $d-j$ になる。従って残りの列は要求された長さのパラメータ系である。
完備化の場合には等式を $\widehat R$ へ拡張する。ネーター局所環の完備化は平坦で、次元とCM性を保つ。有限長商 $R/Q$ は既に完備であるから、$\widehat R/Q\widehat R\cong R/Q$ となる。従って還元等式とArtin商の単項性がともに保たれる。
一変数の形式的冪級数環 $S=R[\![z]\!]$ では、極大イデアルは $\mathfrak mS+(z)$ である。$z$ を含む $(N+1)$ 個の因子の積は、$(Q,z)$ と $N$ 個の因子の積の積に入る。$z$ を含まない項は $\mathfrak m^{N+1}S=Q\mathfrak m^NS$ に入る。従って
$$\mathfrak m_S^{N+1}=(Q,z)\mathfrak m_S^N$$
となる。$S/(Q,z)\cong R/Q$ であり、$S$ は次元 $d+1$ のCM環だから、$(Q,z)$ は指定された最小還元である。複数変数の場合も一変数ずつこの計算を繰り返す。

仮定を外す具体例

外す条件	反例	成り立たなくなること
二乗が単項	$k[\![x,y]\!]/(x,y)^3$	二次成分が一次元になるとは限らない
型が1	$B_q$	stretched性だけではGorenstein性が従わない
パラメータイデアルが極大イデアルの還元	$k[\![t]\!]$ の $(t^q)$、$q\ge2$	Artin商の長さが $e(R)$ に等しいとは限らない
商を取る列が選んだパラメータ正則列の一部	$T/(\varepsilon z)$	stretched CM性が商で保存されない

Poincaré級数の二つの分岐は、平方零例では $r=c$ 側に、一変数 $A_q$ の $q\ge3$ では同じく $r=c=1$ 側に入る。後者の $P_k(t)=1/(1-t)$ は、各次数のBetti数が1であることを示す。$C$ では $r=1,c=2$ で第二分岐となり、$1/(1-t)^2$ の係数は $i+1$ である。したがって、同じstretchedのクラスでも自由分解の成長は一定でない。Artin還元のHilbert関数を読む問題と、加群の自由分解を読む問題には、別々の数列が現れる。