sober空間
概要
sober空間（sober space）とは、空でない既約閉集合がどれもただ 1 つの生成点（その閉集合を閉包とする点）をもつ位相空間のことである。Hausdorff 空間、可換環のスペクトル、有限な $T_0$ 空間は sober であり、無限集合の補有限位相は $T_1$ だが sober でない。開集合のフレーム $\mathcal O(X)$ の点（完全素フィルター）は $X$ の既約閉集合と 1 対 1 に対応し、sober 性は $X$ が $\mathcal O(X)$ の点空間と同相になることと同値で、sober 空間は空間的フレームと双対に対応する。どのフレームの点空間も sober であり、各空間はその点空間に写すことで普遍的に sober 化される。
sober空間（sober space）とは、空でない既約閉集合がどれもただ 1 つの生成点、すなわちその閉集合を閉包としてもつ点をもつ位相空間のことである。Hausdorff 空間、可換環のスペクトル、有限な $T_0$ 空間はどれも sober である。
sober 性は、位相空間を開集合のなす フレーム(順序論) から復元できるかどうかを決める条件である。フレーム $\mathcal O(X)$ の点（フレーム準同型 $\mathcal O(X)\to\mathbf 2$）は $X$ の既約閉集合とちょうど 1 対 1 に対応する。したがって「$X$ の点が $\mathcal O(X)$ の点と 1 対 1 に対応する」ことが sober 性そのものである。この記事の主定理はこの対応であり、それを完全に証明する。あわせて、どのフレームの点空間も sober であること、各空間には「点を補って sober にしたもの」（sober 化）があることを証明し、点をもたないフレームの例を挙げる。
フレームとその準同型、点空間 $\operatorname{Pt}(L)$ と空間的フレームの定義は フレーム(順序論) に、射の向きを反転したロケールの圏は ロケール にある。ここではそれらを位相空間の側から読む。
定義
$X$ を位相空間とし、点 $x$ の閉包を $\overline{\{x\}}$ と書く。
- $x\in\overline{\{y\}}$ のとき $x\sqsubseteq y$ と書き、$\sqsubseteq$ を $X$ の 特殊化の前順序 という。
- 空でない閉集合 $C$ が 既約 であるとは、閉集合 $C_1,C_2$ について $C=C_1\cup C_2$ ならば $C=C_1$ または $C=C_2$ となることをいう（既約空間 の定義を相対位相で読んだもの）。
- 空でない閉集合 $C$ の点 $c$ が $C$ の 生成点 であるとは、$C=\overline{\{c\}}$ となることをいう。
- 空でない既約閉集合のそれぞれが、ただ 1 つの生成点をもつとき、$X$ を sober空間 という。
$x\sqsubseteq y$ は「$x$ の任意の開近傍が $y$ を含む」と同値である。1 点の閉包 $\overline{\{x\}}$ はつねに既約である（生成点 の補題「1 点の閉包は既約」）。したがって sober 空間では、空でない既約閉集合と点とが $x\mapsto\overline{\{x\}}$ で 1 対 1 に対応する。
sober 空間は $T_0$ 空間である。すなわち、相異なる 2 点 $x\neq y$ に対し、一方だけを含む開集合がある。
$x,y$ のどちらか一方だけを含む開集合がないとすると、$x$ を含む閉集合と $y$ を含む閉集合は一致するので $\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$ である。この既約閉集合は $x$ と $y$ を生成点にもち、sober 性の一意性から $x=y$ である。$\square$
$T_0$ 空間では特殊化の前順序は半順序になる。$T_0$ 空間 $X$ で、生成点の一意性は自動的に成り立ち（$\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$ なら $x=y$）、sober 性は「空でない既約閉集合が少なくとも 1 つの生成点をもつ」ことと同値である。
例
Hausdorff空間 は sober である。Hausdorff 空間の空でない既約閉集合は 1 点集合だけである。
$X$ を Hausdorff 空間、$C$ を空でない既約閉集合とする。$C$ が相異なる 2 点 $x,y$ を含むとすると、交わらない開集合 $U\ni x$、$V\ni y$ がとれる。$C_1:=C\setminus U$、$C_2:=C\setminus V$ は閉集合で、$U\cap V=\emptyset$ から $C_1\cup C_2=C\setminus(U\cap V)=C$ である。$x\notin C_1$、$y\notin C_2$ なので $C_1,C_2$ はどちらも $C$ と異なり、既約性に反する。よって $C=\{x\}$ である。Hausdorff 空間では 1 点集合は閉集合なので $C=\overline{\{x\}}$ であり、生成点 $x$ はただ 1 つである。$\square$
- 可換環のスペクトル．可換環 $A$ の素イデアル全体に Zariski位相 を入れた $\operatorname{Spec}A$ は sober である。空でない既約閉集合 $V(\mathfrak p)$ の生成点は素イデアル $\mathfrak p$ である（Spectral space の命題「可換環のスペクトルは spectral」）。
- 有限な $T_0$ 空間．有限な $T_0$ 空間は sober である（Spectral space の命題「有限 $T_0$ 空間と Stone 空間」）。
- Sierpiński 空間．$\{0,1\}$ に開集合 $\emptyset,\{1\},\{0,1\}$ を入れた Sierpinski空間 は有限な $T_0$ 空間なので sober である。閉集合 $\{0,1\}$ の生成点は $1$、閉集合 $\{0\}$ の生成点は $0$ である。$\{1\}$ は閉集合でないので、この空間は $T_1$ でない。
最後の例が示すように、sober 性は $T_1$ 性を含まない。逆に $T_1$ 空間でも sober とは限らない（ex-sober-cofinite）。
無限集合 $X$ に 補有限位相（閉集合は有限集合と $X$ 自身）を入れる。$X$ は $T_1$ である。$X$ 自身は既約である。実際、真の閉集合は有限集合なので、2 つの真の閉集合の和は有限集合であり $X$ にならない。ところが各点の閉包は 1 点集合なので、$X$ には生成点がない。よってこの空間は $T_1$ だが sober でない。
$\mathbb R$ に、開集合を $\emptyset$、$\mathbb R$、半直線 $(a,\infty)$（$a\in\mathbb R$）とする位相を入れた空間を $\mathbb R_{\uparrow}$ と書く。閉集合は $\emptyset$、$\mathbb R$、$(-\infty,a]$ であり、$\overline{\{a\}}=(-\infty,a]$ である。空でない閉集合どうしは包含で比較できるので、どれも既約である。
- $(-\infty,a]$ の生成点は $a$ だけであり、$\mathbb R_{\uparrow}$ は $T_0$ である。
- 閉集合 $\mathbb R$ は既約だが、どの点の閉包も $(-\infty,a]$ の形で $\mathbb R$ にならないので、生成点をもたない。
よって $\mathbb R_{\uparrow}$ は $T_0$ だが sober でない。欠けているのは「$+\infty$ にあたる点」であり、それを補うと sober になる（ex-sober-reflection-upper）。
主定理：フレームの点と既約閉集合
フレーム $L$ の 完全素フィルター とは、真のフィルター $F\subset L$（$1\in F$、$0\notin F$、上に閉じ、有限個の元の下限で閉じる）で、$\bigvee_i a_i\in F$ ならばある $i$ で $a_i\in F$ となるものをいう。フレーム準同型 $p\colon L\to\mathbf 2$ と完全素フィルター $F$ は $F=p^{-1}(1)$ で 1 対 1 に対応する（ロケール の命題「点と完全素フィルター」、GvG Proposition 6.11、p. 172）。以下では $L$ の点を完全素フィルターとして扱い、点全体の集合を $\operatorname{Pt}(L)$ と書く。$a\in L$ について $U_a:=\{F\in\operatorname{Pt}(L)\mid a\in F\}$ とおくと、$U_{\bigvee_i a_i}=\bigcup_iU_{a_i}$、$U_{a\wedge b}=U_a\cap U_b$ であり、$\{U_a\}_{a\in L}$ を開集合全体とする位相が $\operatorname{Pt}(L)$ に入る（フレーム(順序論) の命題「点空間の位相」）。
位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ を含む開集合全体 $N(x)$ は $\mathcal O(X)$ の完全素フィルターである。これで写像
$$
\varepsilon_X\colon X\longrightarrow\operatorname{Pt}(\mathcal O(X)),\qquad x\longmapsto N(x)
$$
が定まる。
$X$ を位相空間とする。
- 空でない既約閉集合 $C$ に対し、$F_C:=\{U\in\mathcal O(X)\mid U\cap C\neq\emptyset\}$ は $\mathcal O(X)$ の完全素フィルターである。
- $C\mapsto F_C$ は、$X$ の空でない既約閉集合全体から $\operatorname{Pt}(\mathcal O(X))$ への全単射である。逆写像は $F\mapsto X\setminus\bigcup\{U\in\mathcal O(X)\mid U\notin F\}$ である。
- $F_{\overline{\{x\}}}=N(x)$ である。したがって、$\varepsilon_X$ は写像 $x\mapsto\overline{\{x\}}$ を 2 の全単射で読み替えたものである。
- 次の 3 条件は同値である。（a）$X$ は sober である。（b）$\varepsilon_X$ は全単射である。（c）$\varepsilon_X$ は同相写像である。
主定理の 4 から、sober 空間 $X$ は開集合のフレーム $\mathcal O(X)$ だけから、点空間 $\operatorname{Pt}(\mathcal O(X))$ として同相を除いて復元される。
段 1（$F_C$ は完全素フィルター）．$C\neq\emptyset$ なので $X\in F_C$、$\emptyset\notin F_C$ であり、$F_C$ は上に閉じている。$U,V\in F_C$ とし、$U\cap V\cap C=\emptyset$ と仮定する。閉集合 $C_1:=C\setminus U$、$C_2:=C\setminus V$ について $C_1\cup C_2=C\setminus(U\cap V)=C$ である。$U\cap C\neq\emptyset$ なので $C_1\neq C$、同様に $C_2\neq C$ であり、既約性に反する。よって $U\cap V\in F_C$ である。$\bigcup_iU_i$ が $C$ と交われば、ある $U_i$ が $C$ と交わるので、$F_C$ は完全素である。
段 2（逆写像）．$F$ を完全素フィルターとし、$W:=\bigcup\{U\in\mathcal O(X)\mid U\notin F\}$ とおく。$W\in F$ とすると、完全素性からある $U\notin F$ が $F$ に属して矛盾する。よって $W\notin F$ である。開集合 $U$ について
$$
U\in F\iff U\not\subset W
$$
が成り立つ。実際、$U\notin F$ なら $W$ の定義から $U\subset W$ であり、$U\subset W$ かつ $U\in F$ なら $F$ が上に閉じていることから $W\in F$ となって矛盾する。$C:=X\setminus W$ とおくと、$C$ は閉集合で、$U\not\subset W$ は $U\cap C\neq\emptyset$ と同じなので $F=F_C$ である。$X\in F$ より $C\neq\emptyset$ である。$C$ が既約であることを示す。閉集合 $C_1,C_2$ で $C=C_1\cup C_2$、$C_1\neq C$、$C_2\neq C$ とすると、$U_j:=X\setminus C_j$ は $C$ と交わるので $U_j\in F$ であり、$U_1\cap U_2\in F$ である。ところが $U_1\cap U_2\cap C=C\setminus(C_1\cup C_2)=\emptyset$ なので $U_1\cap U_2\notin F_C=F$ となり、矛盾する。
逆に、空でない既約閉集合 $C$ から始めると、$F_C$ に属さない開集合は $C$ と交わらない開集合、すなわち $X\setminus C$ に含まれる開集合であり、それらの和は $X\setminus C$ である。よって段 2 の構成は $C$ を返す。以上で 2 が示された。
段 3（$N(x)$）．開集合 $U$ について、$x\in U$ と $U\cap\overline{\{x\}}\neq\emptyset$ は同値である（閉包の点の開近傍は $x$ を含む）。よって $N(x)=F_{\overline{\{x\}}}$ である。
段 4（sober 性との同値）．3 により、$\varepsilon_X$ が単射であることは $x\mapsto\overline{\{x\}}$ が単射であることと、全射であることは空でない既約閉集合がどれも 1 点の閉包であることと同値である。よって（a）と（b）は同値である。（c）⇒（b）は明らかである。（b）⇒（c）を示す。$V\in\mathcal O(X)$ について
$$
\varepsilon_X^{-1}(U_V)=\{x\mid V\in N(x)\}=V
$$
なので、$\varepsilon_X$ は連続である。$\varepsilon_X$ が全単射なら $\varepsilon_X(V)=U_V$ であり、$\operatorname{Pt}(\mathcal O(X))$ の開集合はすべて $U_V$ の形なので、$\varepsilon_X$ は開写像でもあり、同相写像である。$\square$
主定理の 2 は、どの位相空間についても成り立つ。フレーム $\mathcal O(X)$ の点は「$X$ の点」ではなく「$X$ の既約閉集合」であり、両者のずれが sober でないことの内容である。完全素フィルター $F$ と、$F$ に属さない元の上限 $m=\bigvee(L\setminus F)$ とは $L\setminus F=\{a\mid a\le m\}$ で対応し、$m$ は有限個の元の下限について素な元になる（GvG Proposition 6.11、p. 172）。開集合のフレームでは $m=X\setminus C$ であり、既約閉集合の補集合がこの素な元にあたる。
点空間は sober
任意のフレーム $L$ について、点空間 $\operatorname{Pt}(L)$ は sober である。
$T_0$．相異なる完全素フィルター $F\neq G$ については、一方だけに属する $b\in L$ があり、$U_b$ は $F,G$ の一方だけを含む。
生成点の存在．$\mathcal C$ を $\operatorname{Pt}(L)$ の空でない既約閉集合とし、
$$
G:=\{b\in L\mid U_b\cap\mathcal C\neq\emptyset\}
$$
とおく。prf-sober-points の段 1 と同じ議論で、$G$ は完全素フィルターである。実際、$\mathcal C\neq\emptyset$ から $1\in G$、$U_0=\emptyset$ から $0\notin G$ であり、$G$ は上に閉じている。$b,c\in G$ なら、$U_b\cap U_c\cap\mathcal C=\emptyset$ と仮定すると $\mathcal C=(\mathcal C\setminus U_b)\cup(\mathcal C\setminus U_c)$ が既約性に反するので、$U_{b\wedge c}=U_b\cap U_c$ は $\mathcal C$ と交わり $b\wedge c\in G$ である。$U_{\bigvee_ib_i}=\bigcup_iU_{b_i}$ が $\mathcal C$ と交われば、ある $U_{b_i}$ が交わる。
$G$ を $\operatorname{Pt}(L)$ の点とみて、$\overline{\{G\}}=\mathcal C$ を示す。$\operatorname{Pt}(L)$ の開集合はすべて $U_a$ の形なので、$\mathcal C$ の補集合は $U_a$ と書ける。$G\notin\mathcal C$ なら $G\in U_a$、すなわち $a\in G$ となり、$U_a\cap\mathcal C\neq\emptyset$ に反する。よって $G\in\mathcal C$ であり、$\overline{\{G\}}\subset\mathcal C$ である。逆に $H\in\mathcal C$ とし、$U_b$ を $H$ の開近傍とすると、$U_b\cap\mathcal C\ni H$ なので $b\in G$、すなわち $G\in U_b$ である。$H$ の開近傍はどれも $G$ を含むので、$H\in\overline{\{G\}}$ である。
一意性．sober 空間の定義の一意性は、$T_0$ 性から従う（$\overline{\{G\}}=\overline{\{G'\}}$ なら $G,G'$ は同じ開近傍をもつ）。$\square$
sober 化
位相空間 $X$ に対し、$X^{s}:=\operatorname{Pt}(\mathcal O(X))$ を $X$ の sober 化 という。thm-sober-pt により $X^{s}$ は sober であり、thm-sober-points により $X^{s}$ の点は $X$ の空でない既約閉集合と 1 対 1 に対応する。写像 $\varepsilon_X\colon X\to X^{s}$ は連続で、$\varepsilon_X^{-1}(U_V)=V$ をみたす（prf-sober-points の段 4）。
$X$ を位相空間、$Y$ を sober 空間、$f\colon X\to Y$ を連続写像とする。連続写像 $g\colon X^{s}\to Y$ で $g\circ\varepsilon_X=f$ となるものが、ただ 1 つある。
存在．$F\in X^{s}$（$\mathcal O(X)$ の完全素フィルター）に対し、$f_\sharp(F):=\{V\in\mathcal O(Y)\mid f^{-1}(V)\in F\}$ とおく。逆像 $f^{-1}$ は和集合と有限個の共通部分を保つので、$f_\sharp(F)$ は $\mathcal O(Y)$ の完全素フィルターである。$Y$ は sober なので、thm-sober-points の 4 により $\varepsilon_Y$ は全単射であり、$g(F):=\varepsilon_Y^{-1}(f_\sharp(F))$ と定められる。$x\in X$ について $f_\sharp(N(x))=\{V\mid x\in f^{-1}(V)\}=N(f(x))$ なので、$g(\varepsilon_X(x))=f(x)$ である。$Y$ の開集合 $V$ について、$\varepsilon_Y$ が同相で $\varepsilon_Y(V)=U_V$ だから
$$
g^{-1}(V)=\{F\mid V\in f_\sharp(F)\}=\{F\mid f^{-1}(V)\in F\}=U_{f^{-1}(V)}
$$
であり、$g$ は連続である。
一意性．$g_1,g_2\colon X^{s}\to Y$ が連続で $g_1\circ\varepsilon_X=g_2\circ\varepsilon_X=f$ とする。$Y$ の開集合 $V$ をとる。$X^{s}$ の開集合はすべて $U_W$ の形なので、$g_j^{-1}(V)=U_{W_j}$ と書ける。$\varepsilon_X^{-1}(U_W)=W$ から $W_j=\varepsilon_X^{-1}(g_j^{-1}(V))=f^{-1}(V)$ であり、$g_1^{-1}(V)=g_2^{-1}(V)$ である。よって各 $F\in X^{s}$ について、$g_1(F)$ と $g_2(F)$ は同じ開集合に属する。sober 空間は $T_0$（prop-sober-t0）なので $g_1(F)=g_2(F)$ である。$\square$
$X$ が sober なら $\varepsilon_X$ は同相写像であり、sober 化で何も変わらない。$T_0$ 空間 $X$ では $\varepsilon_X$ は単射で、$X$ を $X^{s}$ の部分空間とみなせる。
ex-sober-upper-rays の $\mathbb R_{\uparrow}$ の空でない既約閉集合は $(-\infty,a]$（$a\in\mathbb R$）と $\mathbb R$ である。したがって sober 化は、$\mathbb R$ に新しい点 $\infty$（既約閉集合 $\mathbb R$ に対応する点、すなわち空でない開集合全体からなる完全素フィルター）を加えた集合 $(-\infty,\infty]$ であり、開集合は $\emptyset$、全体、$(a,\infty]$ である。この空間では全体の生成点は $\infty$ である。
sober 空間と空間的フレーム
空間的フレーム（異なる元を点で区別できるフレーム）の定義と、空間的フレーム $L$ では $a\mapsto U_a$ が同型 $L\cong\mathcal O(\operatorname{Pt}(L))$ になることは フレーム(順序論) と ロケール にある。これと thm-sober-points、thm-sober-pt を合わせると、次の対応が得られる。
$\mathcal O$ と $\operatorname{Pt}$ は、sober 空間と連続写像の圏と、空間的フレームとフレーム準同型の圏の反対圏との圏同値を与える。対象については、sober 空間 $X$ について $X\cong\operatorname{Pt}(\mathcal O(X))$、空間的フレーム $L$ について $L\cong\mathcal O(\operatorname{Pt}(L))$ である。
対象についての主張は上の定理と フレーム(順序論) の同型から従う。射についての主張（連続写像 $X\to Y$ とフレーム準同型 $\mathcal O(Y)\to\mathcal O(X)$ の対応が sober 空間の間で全単射であること）と、$\mathcal O$ と $\operatorname{Pt}$ が一般の位相空間と一般のフレームの間の随伴を与えることは、この記事では証明しない（GvG Theorem 6.13、p. 173、Theorem 6.19、p. 176。Joh83 §3、p. 45）。一般のフレーム $L$ について、$\mathcal O(\operatorname{Pt}(L))$ は $L$ を空間的なフレームで近似したものであり、空間的なフレームの中への余反射を与える（Joh83 p. 45）。
点をもたないフレーム
すべてのフレームが空間的なわけではない。完備 Boole 代数は フレーム(順序論) の例「完備Boolean代数」によりフレームであり、その点は次のように原子で決まる。原子 とは、$0$ でなく、$0< c\le a$ ならば $c=a$ となる元 $a$ のことである。
$B$ を完備 Boole 代数とする。$B$ の完全素フィルター $F$ に対し、$a:=\bigwedge F$ は $F$ に属する原子であり、$F=\{b\in B\mid a\le b\}$ である。とくに、原子をもたない完備 Boole 代数には点がない。
完備 Boole 代数では補元をとる写像 $b\mapsto\neg b$ が順序を逆にする全単射なので、$\neg\bigwedge F=\bigvee_{b\in F}\neg b$ である。$\neg a\in F$ とすると、完全素性からある $b\in F$ で $\neg b\in F$ となり、$0=b\wedge\neg b\in F$ となって矛盾する。よって $\neg a\notin F$ である。$a\vee\neg a=1\in F$ と完全素性から $a\in F$ であり、$0\notin F$ から $a\neq0$ である。$a$ は $F$ の元の下限なので、$F=\{b\mid a\le b\}$ である。$0< c\le a$ とすると、$c\vee\neg c=1\in F$ から $c\in F$ または $\neg c\in F$ である。$c\in F$ なら $a\le c$ で $c=a$ である。$\neg c\in F$ なら $a\le\neg c$ で、$c=c\wedge a\le c\wedge\neg c=0$ となり、$0< c$ に反する。よって $a$ は原子である。$\square$
$\mathbb R$ の 正則開集合 全体 $\operatorname{RO}(\mathbb R)$ は完備 Boole 代数である（正則開集合 の定理「正則開集合のなす完備 Boole 代数」）。原子はない。実際、空でない正則開集合 $U$ は開区間 $(s,t)$（$s< t$）を含み、$m:=(s+t)/2$ とおくと $(s,m)$ は空でない正則開集合で、$(m,t)$ と交わらないので $U$ と異なる。prop-sober-boolean-points により $\operatorname{RO}(\mathbb R)$ には点がなく、$0\neq1$ なので空間的でない。$\operatorname{Pt}(\operatorname{RO}(\mathbb R))$ は空集合である。
点がない理由を直接見ることもできる。実数 $x$ を含む正則開集合の全体は、$\operatorname{RO}(\mathbb R)$ で $(-\infty,x)\vee(x,\infty)=\operatorname{int}\overline{\mathbb R\setminus\{x\}}=\mathbb R$ なのに $(-\infty,x)$ も $(x,\infty)$ も含まないので、素フィルターにならない。
反例と注意
sober 性は分離公理の列 $T_0$、$T_1$、$T_2$ の中に収まらない。表の各行は、ある性質をもつが別の性質をもたない空間やフレームである。
| 外す条件・替える条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $T_0$ 性 | 2 点の 密着位相 | 全体の閉集合が 2 つの生成点をもち、生成点が一意でない |
| $T_1$ でも生成点の存在は出ない | 無限集合の補有限位相（ex-sober-cofinite） | $T_1$ だが、既約閉集合 $X$ が生成点をもたない |
| $T_0$ でも生成点の存在は出ない | $\mathbb R_{\uparrow}$（ex-sober-upper-rays） | $T_0$ だが、既約閉集合 $\mathbb R$ が生成点をもたない |
| sober から $T_1$ は出ない | Sierpinski空間 | sober だが $\{1\}$ が閉集合でない |
| 部分空間をとる | $\mathbb R_{\uparrow}\subset(-\infty,\infty]$（ex-sober-reflection-upper） | sober 空間の部分空間が sober とは限らない |
| フレームを空間的でないものに替える | $\operatorname{RO}(\mathbb R)$（ex-sober-regular-open） | 点がなく、$\operatorname{Pt}$ で空間に戻すと情報が失われる |
表のうち、本文でまだ示していない行を示す。
各行の確認を開く
1 行目：2 点集合 $\{x,y\}$ の密着位相では閉集合は $\emptyset$ と全体だけである。全体は既約で、$\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}=\{x,y\}$ なので $x$ と $y$ がともに生成点である。$x,y$ を分ける開集合もないので $T_0$ でもない（prop-sober-t0 の対偶）。
4 行目：ex-sober-examples の 3 で見たとおり sober であり、$\{1\}$ の閉包は $\{0,1\}$ である。
5 行目：$(-\infty,\infty]$ は sober 化なので sober である（thm-sober-pt）。その部分空間 $\mathbb R$ の相対位相は $\mathbb R_{\uparrow}$ の位相に一致し、$\mathbb R_{\uparrow}$ は sober でない。一方、sober 空間 $X$ の開部分空間 $W$ は sober である。$W$ の空でない既約閉集合 $C$ をとると、$X$ での閉包 $\overline C$ は既約（既約空間 の命題「閉包と連続像」）なので生成点 $c$ をもつ。開集合 $W$ は $\overline{\{c\}}=\overline C$ と交わる（$C$ の点を含む）ので $c\in W$ であり、$W$ での $c$ の閉包は $\overline C\cap W=C$ である。一意性は $T_0$ 性から従う。
注意を 3 つ挙げる。
- 既約性の役割．thm-sober-points の段 1 は、完全素フィルターが「有限個の開集合の共通部分」で閉じるために既約性が必要であることを示している。既約でない閉集合 $C=C_1\cup C_2$ に対しては、$C_1$ だけと交わる開集合と $C_2$ だけと交わる開集合の共通部分が $C$ と交わらないことがある。
- 選択公理との関係．フレームが十分に点をもつかどうかは、一般には選択原理に依存する。たとえば分配束のイデアル全体のなすフレームがすべて空間的であることは、分配束の素イデアル定理と同値である（Joh83 §3、p. 46）。これについては Stone双対性 で扱う。
- スキームと代数幾何．スキームの基礎位相空間は sober であり、代数幾何学では生成点が既約閉集合を代表する点として使われる（生成点）。可換環のスペクトルとして現れる空間の位相的な特徴づけ（Hochster の定理）は Spectral space にある。
関連項目
参考文献
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