モノイダル関手

$\mu^{KJ}$ の自然性は $\mu^J$ と $\mu^K$ の自然性から従う。結合の等式の左辺は $$KJ(\alpha)\circ K(\mu^J_{X\otimes Y,Z})\circ\mu^K_{J(X\otimes Y),JZ}\circ(K\mu^J_{X,Y}\otimes\operatorname{id})\circ(\mu^K_{JX,JY}\otimes\operatorname{id})$$ である。$\mu^K$ の射の組 $(\mu^J_{X,Y},\operatorname{id}_{JZ})$ に関する自然性 $\mu^K_{J(X\otimes Y),JZ}\circ(K\mu^J_{X,Y}\otimes\operatorname{id})=K(\mu^J_{X,Y}\otimes\operatorname{id})\circ\mu^K_{JX\otimes JY,JZ}$ を使うと、左辺は $$K\bigl(J(\alpha)\circ\mu^J_{X\otimes Y,Z}\circ(\mu^J_{X,Y}\otimes\operatorname{id})\bigr)\circ\mu^K_{JX\otimes JY,JZ}\circ(\mu^K_{JX,JY}\otimes\operatorname{id})$$ になる。$J$ の結合の等式で括弧の中を $\mu^J_{X,Y\otimes Z}\circ(\operatorname{id}\otimes\mu^J_{Y,Z})\circ\alpha_{JX,JY,JZ}$ に替え、$K(\alpha_{JX,JY,JZ})\circ\mu^K_{JX\otimes JY,JZ}\circ(\mu^K_{JX,JY}\otimes\operatorname{id})$ に $K$ の結合の等式を使うと $$K\bigl(\mu^J_{X,Y\otimes Z}\circ(\operatorname{id}\otimes\mu^J_{Y,Z})\bigr)\circ\mu^K_{JX,JY\otimes JZ}\circ(\operatorname{id}\otimes\mu^K_{JY,JZ})\circ\alpha_{KJX,KJY,KJZ}$$ を得る。$\mu^K$ の $(\operatorname{id}_{JX},\mu^J_{Y,Z})$ に関する自然性 $K(\operatorname{id}\otimes\mu^J_{Y,Z})\circ\mu^K_{JX,JY\otimes JZ}=\mu^K_{JX,J(Y\otimes Z)}\circ(\operatorname{id}\otimes K\mu^J_{Y,Z})$ と モノイダル圏 の命題「テンソル積の交換法則」により、これは $\mu^{KJ}_{X,Y\otimes Z}\circ(\operatorname{id}\otimes\mu^{KJ}_{Y,Z})\circ\alpha_{KJX,KJY,KJZ}$ に等しい。

左単位の等式は、$\mu^K$ の $(u^J,\operatorname{id}_{JX})$ に関する自然性、$J$ の左単位の等式、$K$ の左単位の等式を順に使って $$KJ(\lambda_X)\circ\mu^{KJ}_{I,X}\circ(u^{KJ}\otimes\operatorname{id})=K\bigl(J(\lambda_X)\circ\mu^J_{I,X}\circ(u^J\otimes\operatorname{id})\bigr)\circ\mu^K_{I,JX}\circ(u^K\otimes\operatorname{id})=K(\lambda_{JX})\circ\mu^K_{I,JX}\circ(u^K\otimes\operatorname{id})=\lambda_{KJX}$$ と確かめられる。右単位も同様である。同型射の合成は同型射、恒等射の合成は恒等射なので、最後の主張も従う。$\blacksquare$

1．$(\theta'\theta)_{X\otimes Y}\circ\mu_{X,Y}=\theta'_{X\otimes Y}\circ\mu'_{X,Y}\circ(\theta_X\otimes\theta_Y)=\mu''_{X,Y}\circ(\theta'_X\otimes\theta'_Y)\circ(\theta_X\otimes\theta_Y)$ であり、最後はテンソル積の交換法則で $\mu''_{X,Y}\circ\bigl((\theta'\theta)_X\otimes(\theta'\theta)_Y\bigr)$ に等しい。単位は $\theta'_I\theta_I u=\theta'_Iu'=u''$。恒等自然変換については両条件が自明である。

2．$K\theta$ について、$\mu^K$ の自然性により $$K(\theta_{X\otimes Y})\circ K(\mu_{X,Y})\circ\mu^K_{FX,FY}=K(\mu'_{X,Y})\circ K(\theta_X\otimes\theta_Y)\circ\mu^K_{FX,FY}=K(\mu'_{X,Y})\circ\mu^K_{F'X,F'Y}\circ(K\theta_X\otimes K\theta_Y)$$ であり、単位は $K(\theta_I)\circ K(u)\circ u^K=K(u')\circ u^K$ である。$\theta J$ について、$\theta$ の自然性により $$\theta_{J(X\otimes Y)}\circ F(\mu^J_{X,Y})\circ\mu_{JX,JY}=F'(\mu^J_{X,Y})\circ\theta_{JX\otimes JY}\circ\mu_{JX,JY}=F'(\mu^J_{X,Y})\circ\mu'_{JX,JY}\circ(\theta_{JX}\otimes\theta_{JY})$$ であり、単位は $\theta_{JI}\circ F(u^J)\circ u=F'(u^J)\circ\theta_I\circ u=F'(u^J)\circ u'$ である。

3．条件の式 $\theta_{X\otimes Y}\circ\mu_{X,Y}=\mu'_{X,Y}\circ(\theta_X\otimes\theta_Y)$ に左から $\theta_{X\otimes Y}^{-1}$、右から $\theta_X^{-1}\otimes\theta_Y^{-1}=(\theta_X\otimes\theta_Y)^{-1}$ を合成すると $\mu_{X,Y}\circ(\theta^{-1}_X\otimes\theta^{-1}_Y)=\theta^{-1}_{X\otimes Y}\circ\mu'_{X,Y}$ を得る。単位も $u=\theta_I^{-1}u'$ である。$\blacksquare$

$\bar m:=F(m)\circ\mu_{M,M}$、$\bar e:=F(e)\circ u$ とおく。$\mu$ の $(m,\operatorname{id}_M)$ に関する自然性 $\mu_{M,M}\circ(F(m)\otimes\operatorname{id})=F(m\otimes\operatorname{id})\circ\mu_{M\otimes M,M}$ を使うと $$\bar m\circ(\bar m\otimes\operatorname{id})=F\bigl(m\circ(m\otimes\operatorname{id})\bigr)\circ\mu_{M\otimes M,M}\circ(\mu_{M,M}\otimes\operatorname{id})$$ である。$M$ の結合律 $m\circ(m\otimes\operatorname{id})=m\circ(\operatorname{id}\otimes m)\circ\alpha_{M,M,M}$ と $F$ の結合の等式を使うと、右辺は $$F\bigl(m\circ(\operatorname{id}\otimes m)\bigr)\circ\mu_{M,M\otimes M}\circ(\operatorname{id}\otimes\mu_{M,M})\circ\alpha_{FM,FM,FM}$$ になり、$\mu$ の $(\operatorname{id}_M,m)$ に関する自然性で $F(\operatorname{id}\otimes m)\circ\mu_{M,M\otimes M}=\mu_{M,M}\circ(\operatorname{id}\otimes F(m))$ と書き直すと $\bar m\circ(\operatorname{id}\otimes\bar m)\circ\alpha_{FM,FM,FM}$ に等しい。左単位律は、$\mu$ の $(e,\operatorname{id}_M)$ に関する自然性、$M$ の単位律 $m\circ(e\otimes\operatorname{id})=\lambda_M$、$F$ の左単位の等式を順に使って $$\bar m\circ(\bar e\otimes\operatorname{id})=F\bigl(m\circ(e\otimes\operatorname{id})\bigr)\circ\mu_{I,M}\circ(u\otimes\operatorname{id})=F(\lambda_M)\circ\mu_{I,M}\circ(u\otimes\operatorname{id})=\lambda_{FM}$$ である。右単位律も同様である。準同型 $g\colon M\to M'$（$g\circ m=m'\circ(g\otimes g)$、$g\circ e=e'$）について、$\mu$ の自然性から $F(g)\circ\bar m=F(m'\circ(g\otimes g))\circ\mu_{M,M}=\bar m'\circ(F(g)\otimes F(g))$、また $F(g)\circ\bar e=F(e')\circ u=\bar e'$ である。$\blacksquare$

準備．mate 対応を、2 変数の関手 $P(x,y)=x\otimes y$（$\mathcal C$ 上）、$Q(a,b)=a\otimes b$（$\mathcal D$ 上）と、0 変数の場合 $p=I_{\mathcal C}$、$q=I_{\mathcal D}$ に当てる。ゆるいモノイダル構造の $\mu$ は自然変換 $PG\Rightarrow GQ$ であり、その mate $M(\mu)$ は 1 の $\delta$ の式、$N(\delta)$ は 1 の $\mu$ の式である。0 変数では $M(u)=\varepsilon_I\circ F(u)$、$N(v)=G(v)\circ\eta_I$ である。mate 対応の 3 により、$(\delta,v)$ が $(\mu,u)$ に対応することは次の (a) とも (b) とも同値である。

(a) $G(\delta_{X,Y})\circ\eta_{X\otimes Y}=\mu_{FX,FY}\circ(\eta_X\otimes\eta_Y)$ かつ $G(v)\circ\eta_I=u$。

(b) $\varepsilon_{A\otimes B}\circ F(\mu_{A,B})=(\varepsilon_A\otimes\varepsilon_B)\circ\delta_{GA,GB}$ かつ $\varepsilon_I\circ F(u)=v$。

1．対応が互いに逆であることは mate 対応の 1 による。公理が移り合うことを示す。3 変数の関手 $P_L(x,y,z)=(x\otimes y)\otimes z$、$P_R(x,y,z)=x\otimes(y\otimes z)$ を両方の圏で考え、$m_L=\mu_{A\otimes B,C}\circ(\mu_{A,B}\otimes\operatorname{id})$、$m_R=\mu_{A,B\otimes C}\circ(\operatorname{id}\otimes\mu_{B,C})$、$d_L=(\delta_{X,Y}\otimes\operatorname{id})\circ\delta_{X\otimes Y,Z}$、$d_R=(\operatorname{id}\otimes\delta_{Y,Z})\circ\delta_{X,Y\otimes Z}$ とおく。(a) を $(X\otimes Y,Z)$ に、$\mu$ の自然性を $(G\delta_{X,Y},\operatorname{id})$ に、(a) を $(X,Y)$ に順に使うと $$G(d_L)\circ\eta_{(X\otimes Y)\otimes Z}=G(\delta_{X,Y}\otimes\operatorname{id})\circ\mu_{F(X\otimes Y),FZ}\circ(\eta_{X\otimes Y}\otimes\eta_Z)=\mu_{FX\otimes FY,FZ}\circ(\mu_{FX,FY}\otimes\operatorname{id})\circ\bigl((\eta_X\otimes\eta_Y)\otimes\eta_Z\bigr)$$ であり、右辺は $(m_L)_{FX,FY,FZ}\circ P_L(\eta_X,\eta_Y,\eta_Z)$ である。mate 対応の 3 により $d_L=M(m_L)$ であり、同様に $d_R=M(m_R)$ である。$G$ の結合の等式は $G(\alpha)\circ m_L=m_R\circ\alpha_{GA,GB,GC}$ という四角の可換性であり、mate 対応の後の同値（$b,c$ をともに結合同型とする）により $\alpha_{FX,FY,FZ}\circ d_L=d_R\circ F(\alpha_{X,Y,Z})$、すなわち $F$ の結合の等式と同値である。

右単位について、1 変数の関手 $x\mapsto x\otimes I$ を両方の圏で考え、$m_1=\mu_{A,I}\circ(\operatorname{id}\otimes u)$、$d_1=(\operatorname{id}\otimes v)\circ\delta_{X,I}$ とおく。(a) と $\mu$ の自然性から $$G(d_1)\circ\eta_{X\otimes I}=G(\operatorname{id}\otimes v)\circ\mu_{FX,FI}\circ(\eta_X\otimes\eta_I)=\mu_{FX,I}\circ\bigl(\eta_X\otimes(G(v)\circ\eta_I)\bigr)=(m_1)_{FX}\circ(\eta_X\otimes\operatorname{id})$$ となり（最後に $G(v)\circ\eta_I=u$ を使った）、$d_1=M(m_1)$ である。恒等変換 $\operatorname{id}_G$ の mate は、三角恒等式 $\varepsilon_{FX}\circ F(\eta_X)=\operatorname{id}$ により $\operatorname{id}_F$ である。$G$ の右単位の等式 $G(\rho_A)\circ m_1=\rho_{GA}$ は、$b,c$ を右単位同型とする四角の可換性なので、同じ同値により $\rho_{FX}\circ d_1=F(\rho_X)$、すなわち $F$ の右単位の等式と同値である。左単位も $x\mapsto I\otimes x$ で同様である。

2．合成した随伴の単位は $G(\eta^H_{FX})\circ\eta_X$ である（随伴関手 の命題「随伴の合成」の後の段落）。$\eta^H$ の $\delta_{X,Y}$ に関する自然性、二つの随伴の (a)、$\mu$ の自然性を順に使うと $$GH\bigl(\delta^L_{FX,FY}\circ L\delta_{X,Y}\bigr)\circ G(\eta^H_{F(X\otimes Y)})\circ\eta_{X\otimes Y}=G\bigl(H(\delta^L_{FX,FY})\circ\eta^H_{FX\otimes FY}\bigr)\circ G(\delta_{X,Y})\circ\eta_{X\otimes Y}$$ $$=G\bigl(\mu^H_{LFX,LFY}\circ(\eta^H_{FX}\otimes\eta^H_{FY})\bigr)\circ\mu_{FX,FY}\circ(\eta_X\otimes\eta_Y)=G(\mu^H_{LFX,LFY})\circ\mu_{HLFX,HLFY}\circ\bigl(G\eta^H_{FX}\circ\eta_X\otimes G\eta^H_{FY}\circ\eta_Y\bigr)$$ であり、これは合成の随伴についての (a) である。0 変数でも $GH(v^L\circ Lv)\circ G(\eta^H_{FI})\circ\eta_I=G(H(v^L)\circ\eta^H_I)\circ G(v)\circ\eta_I=G(u^H)\circ u$ である。

3．$F\dashv G$ の全単射 $\Phi(f)=G(f)\circ\eta$ を使う。まず仮定から $\varepsilon_A\circ F(\tau_A)=\varepsilon'_A\circ\sigma_{G'A}$ が従う。両辺に $\Phi$ を当てると、左辺は $\eta$ の自然性と三角恒等式で $\tau_A$、右辺は仮定、$\tau$ の自然性、$F'\dashv G'$ の三角恒等式で $G(\varepsilon'_A)\circ\tau_{F'G'A}\circ\eta'_{G'A}=\tau_A\circ G'(\varepsilon'_A)\circ\eta'_{G'A}=\tau_A$ になるからである。$\sigma$ の条件の両辺に $\Phi$ を当てると、仮定、$\tau$ と $\mu$ の自然性、二つの随伴の (a) により $$\Phi(\delta'_{X,Y}\circ\sigma_{X\otimes Y})=\tau_{F'X\otimes F'Y}\circ\mu'_{F'X,F'Y}\circ(\eta'_X\otimes\eta'_Y),\qquad\Phi\bigl((\sigma_X\otimes\sigma_Y)\circ\delta_{X,Y}\bigr)=\mu_{F'X,F'Y}\circ(\tau_{F'X}\otimes\tau_{F'Y})\circ(\eta'_X\otimes\eta'_Y)$$ となるので、$\tau$ の条件から $\sigma$ の条件が従う。逆に $\tau$ の条件の両辺に $\Phi^{-1}(g)=\varepsilon\circ F(g)$ を当てると、上の等式、$\sigma$ と $\delta$ の自然性、二つの随伴の (b) により $$\Phi^{-1}(\tau_{A\otimes B}\circ\mu'_{A,B})=(\varepsilon'_A\otimes\varepsilon'_B)\circ\delta'_{G'A,G'B}\circ\sigma_{G'A\otimes G'B},\qquad\Phi^{-1}\bigl(\mu_{A,B}\circ(\tau_A\otimes\tau_B)\bigr)=(\varepsilon'_A\otimes\varepsilon'_B)\circ(\sigma_{G'A}\otimes\sigma_{G'B})\circ\delta_{G'A,G'B}$$ となるので、$\sigma$ の条件（対象 $G'A,G'B$）から $\tau$ の条件が従う。単位では $\Phi(v'\circ\sigma_I)=G(v')\circ\tau_{F'I}\circ\eta'_I=\tau_I\circ G'(v')\circ\eta'_I=\tau_I\circ u'$、$\Phi(v)=u$ なので、$v'\circ\sigma_I=v$ と $\tau_I\circ u'=u$ は同値である。

4．lem-mf-composite の構造は $\mu^{GF}_{X,Y}=G(\delta^{-1}_{X,Y})\circ\mu_{FX,FY}$、$u^{GF}=G(v^{-1})\circ u$、$\mu^{FG}_{A,B}=F(\mu_{A,B})\circ\delta^{-1}_{GA,GB}$、$u^{FG}=F(u)\circ v^{-1}$ である。(a) に左から $G(\delta^{-1}_{X,Y})$、$G(v^{-1})$ を合成すると $\eta_{X\otimes Y}=\mu^{GF}_{X,Y}\circ(\eta_X\otimes\eta_Y)$、$\eta_I=u^{GF}$ を得る。恒等関手の構造は恒等射なので、これは $\eta$ がモノイダル自然変換である条件そのものである。(b) に右から $\delta^{-1}_{GA,GB}$、$v^{-1}$ を合成すると $\varepsilon_{A\otimes B}\circ\mu^{FG}_{A,B}=\varepsilon_A\otimes\varepsilon_B$、$\varepsilon_I\circ u^{FG}=\operatorname{id}_I$ を得て、$\varepsilon$ もモノイダル自然変換である。$\blacksquare$