双対曲線

$C$ は既約で直線でないので、どの直線も $C$ の成分でなく、$I(P,C\cap L)$ は有限である。座標を並べ替えて $P=(a:b:1)$、$f(x,y):=F(x,y,1)$ とする。$P$ は非特異なので $m_P(f)=1$ で、$f(P+(x,y))$ の 1 次の成分は $f_1=f_x(a,b)x+f_y(a,b)y\ne0$ である（点の重複度 の定理「単純点と非特異点」）。同記事の定理「直線による重複度の特徴づけ」の 3 により、$P$ を通る直線 $L$ について $I(P,C\cap L)\ge1$ で、等号は $L$ の方向 $v$ が $f_1(v)\ne0$ をみたすときに限る。よって $I\ge2$ となる直線は方向が $f_1=0$ の直線、すなわち $f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)=0$ ただ 1 本である。
$f_x(a,b)=F_x(P)$、$f_y(a,b)=F_y(P)$ であり、Euler の等式 $xF_x+yF_y+zF_z=dF$ を $P$ で使うと $aF_x(P)+bF_y(P)+F_z(P)=0$ なので、この直線を斉次化したものは $F_x(P)x+F_y(P)y+F_z(P)z=0$ である。$(F_x(P),F_y(P))=(f_x(a,b),f_y(a,b))\ne(0,0)$ である。$\square$

1：$F$ は 1 次式なので偏微分は定数である。
2：まず $\gamma_C$ が定数 $\xi^0$ だとする。Euler の等式から $\xi^0\cdot P=\sum_iF_i(P)P_i=dF(P)=0$、すなわち各 $P\in C_{\mathrm{ns}}$ は直線 $L^0:=\{\xi^0\cdot x=0\}$ にのる。$C_{\mathrm{ns}}$ は $C$ で稠密なので $C\subset L^0$ であり、$L^0$ の 1 次式は $C$ の上で $0$ になるから、零点定理により既約な $F$ で割り切れる。よって $d=1$ で、$C$ は直線となり仮定に反する。
$C_{\mathrm{ns}}$ は既約な $C$ の空でない開集合なので既約で、その連続像の閉包 $C^*$ も既約である。次に、$\xi_j\ne0$ となる $j$ を選び、残りの添字を $i,l$ とする。$K$ の $k$ 上の超越次数は $1$ なので（代数曲線 の定義「代数曲線」の後の注意）、$\xi_i/\xi_j$ と $\xi_l/\xi_j$ は $k$ 上代数的に従属であり、$0$ でない $g\in k[u,v]$ で $g(\xi_i/\xi_j,\xi_l/\xi_j)=0$ となるものがある。これを斉次化した $0$ でない斉次式 $G$ は $G(\xi)=0$ をみたすので、$C^*\subset V(G)$ である。$C^*$ は既約なので $G$ のある既約因子 $G_1$ について $C^*\subset V(G_1)$ である。$V(G_1)$ は曲線で、$C^*\ne V(G_1)$ なら $C^*$ は有限集合（代数曲線 の命題「曲線の点と閉集合」の 3）で、既約だから 1 点になる。これは $\gamma_C$ が定数でないことに反するので、$C^*=V(G_1)$ である。$\square$

段 1（導分）：$u\in K\setminus k$ をとる。$k$ は代数閉体なので $u$ は $k$ 上超越的で、$K$ は $k(u)$ 上代数的（超越次数 $1$）、標数 $0$ なので分離的である。$k(u)$ の導分 $d/du$ は $K$ の導分 $D$ に延び（導分 の定理「分離代数拡大への一意延長」）、$D|_k=0$、$D(u)=1$ である。$h\in K$ が $D(h)=0$ をみたせば $h\in k$ である。実際 $h\notin k$ なら、同じ理由で $K$ は $k(h)$ 上分離代数的で、$D$ は $k(h)$ の上で $0$ だから、$k(h)$ の零導分の一意な延長として $D=0$ となり、$D(u)=1$ に反する。以下、ベクトルには $D$ を成分ごとに作用させる。
段 2（3 つの直交関係）：$F(p)=0$ に $D$ を作用させると $\sum_iF_i(p)D(p_i)=0$、すなわち $\xi\cdot Dp=0$ である。Euler の等式から $\xi\cdot p=dF(p)=0$ で、これに $D$ を作用させると $D\xi\cdot p+\xi\cdot Dp=0$、よって $D\xi\cdot p=0$ である。$p$ は $\xi$ とも $D\xi$ とも直交する。
段 3（$\xi$ と $D\xi$ は独立）：$D\xi=\lambda\xi$（$\lambda\in K$）とすると、$\xi_j\ne0$ について $D(\xi_i/\xi_j)=(\lambda\xi_i\xi_j-\xi_i\lambda\xi_j)/\xi_j^2=0$ なので、段 1 により $\xi_i/\xi_j=c_i\in k$ である。すると $F_i-c_iF_j$ は $C$ の上で $0$ で、$F_j(P)\ne0$ となる $P\in C_{\mathrm{ns}}$（空でない開集合）で $\gamma_C(P)=(c_0:c_1:c_2)$ となり、$\gamma_C$ が定数になって thm-dc-curve の 2 に反する。よって $\xi$ と $D\xi$ は $K$ 上 1 次独立で、両方に直交するベクトルは $p$ の $K$ 倍に限る。
段 4（$C^*$ の Gauss 写像）：thm-dc-curve により $C^*=V(G)$（$G$ は既約な斉次式、次数 $e\ge1$）と書ける。標数 $0$ なので偏微分 $G_i:=\partial G/\partial\xi_i$ のどれかは $0$ でない $e-1$ 次式で、$G$ で割り切れないから $C^*$ の上で恒等的に $0$ ではなく、$G_i(\xi)\ne0$ である。$\eta:=(G_0(\xi),G_1(\xi),G_2(\xi))\ne0$ について、段 2 と同じ計算で $G(\xi)=0$ から $\eta\cdot D\xi=0$、Euler の等式から $\eta\cdot\xi=eG(\xi)=0$ である。段 3 により $\eta=\mu p$（$\mu\in K^\times$）である。
段 5（点に戻す）：$\eta=\mu p$ は、$C$ の上の有理関数として $G_i(F_x,F_y,F_z)(P)$ が $P_i$ に比例することを意味する。$\mu$ が正則で $0$ にならない空でない開集合 $U\subset C_{\mathrm{ns}}\cap\{z\ne0\}$ をとると、$P\in U$ で $\nabla G(\gamma_C(P))$ は $0$ でなく $P$ に比例する。よって $\gamma_C(P)$ は $C^*$ の非特異点で、$\gamma_{C^*}(\gamma_C(P))=P$ である。$U$ は無限集合なので $\gamma_{C^*}$ は定数でなく、$C^*$ は直線でない。$(C^*)^*$ は $U$ を含む閉集合なので $\overline U=C$ を含み、thm-dc-curve の 2 により既約な平面曲線である。既約な平面曲線どうしの包含 $C\subset(C^*)^*$ は、零点定理により定義式が定数倍を除いて一致することを意味するので、$(C^*)^*=C$ である。$\square$