Whiteheadの定理

$\pi_0(X)$ と $\pi_0(Y)$ はともに一点なので $f_*\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ は全単射である。$X$ は弧状連結なので、任意の点 $x\in X$ は $x_0$ と同じ弧状連結成分にあり、弱ホモトピー同値の記事の補題「一つの基点で足りる」により $f_*\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x))$ も同型である。よって $f$ は弱ホモトピー同値であり、thm-wh-main の 1 によりホモトピー同値である。$\square$

要点：$n=0,1$ は $\pi_0$ と $\pi_1$ の条件から道を直接作り替える。$n\ge2$ は相対ホモトピー群の完全列から $\pi_n(Y,B,b)$ が一点になることを導き、圧縮判定法を使う。

$K^k$ を $K$ の $k$ 骨格とし、$K^{-1}:=\emptyset$、$g_{-1}:=g$ とおく。$k=0,1,2,\dots$ の順に、連続写像 $g_k\colon K\to Y$ とホモトピー $G^{(k)}\colon K\times I\to Y$ を次の 3 条件を満たすように作る。

• (a) $g_k(K^k\cup L)\subset B$。
• (b) $G^{(k)}(\cdot,0)=g_{k-1}$、$G^{(k)}(\cdot,1)=g_k$。
• (c) $G^{(k)}$ は $K^{k-1}\cup L$ の上で動かない。
  $g_{k-1}$ が $g_{k-1}(K^{k-1}\cup L)\subset B$ を満たすとする（$k=0$ では $g(L)\subset B$ による）。$K\setminus L$ の $k$ 胞体 $e_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha\colon D^k\to K$ とすると、$\Phi_\alpha(S^{k-1})\subset K^{k-1}$ なので $g_{k-1}\circ\Phi_\alpha$ は $S^{k-1}$ を $B$ に写す。$(\mathrm{C}_k)$ により、$S^{k-1}$ の上で動かないホモトピー $h_\alpha\colon D^k\times I\to Y$ で、$h_\alpha(\cdot,0)=g_{k-1}\circ\Phi_\alpha$、$h_\alpha(D^k\times\{1\})\subset B$ となるものがある。部分複体 $K^k\cup L$ の上のホモトピー $H$ を
  $$ H(x,t):=\begin{cases}h_\alpha(p,t) & (x=\Phi_\alpha(p),\ p\in D^k,\ e_\alpha\text{ は }K\setminus L\text{ の }k\text{ 胞体}),\\ g_{k-1}(x) & (x\in K^{k-1}\cup L)\end{cases} $$
  で定める。二つの場合が重なるのは $p\in S^{k-1}$ のときだけで、そこでは $h_\alpha(p,t)=g_{k-1}(\Phi_\alpha(p))$ なので値は一致する。$K^k\cup L$ の各胞体の特性写像 $\Phi$ について $H\circ(\Phi\times\operatorname{id}_I)$ は $h_\alpha$ か $g_{k-1}\circ\Phi$ の形で連続なので、前節の注意により $H$ は連続である。prop-wh-hep を $G_0=g_{k-1}$ と $h=H$ に使って得られる $K\times I$ 上の延長を $G^{(k)}$ とし、$g_k:=G^{(k)}(\cdot,1)$ とおく。$K\setminus L$ の $k$ 胞体の上では $g_k=h_\alpha(\cdot,1)$ の値は $B$ にあり、$K^{k-1}\cup L$ の上では $g_k=g_{k-1}$ なので (a) が成り立ち、(b)(c) は作り方から成り立つ。
  $K$ が有限次元なら、有限回で $g_k(K)\subset B$ となり、ホモトピーを順につなげればよい。一般の場合は、$t_k:=1-2^{-k}$ とおき、第 $k$ 段のホモトピーを時間 $[t_k,t_{k+1}]$ で行う：
  $$ G(x,t):=G^{(k)}\Bigl(x,\ \frac{t-t_k}{t_{k+1}-t_k}\Bigr)\quad(t_k\le t\le t_{k+1}),\qquad G(x,1):=g_m(x)\quad(x\in K^m). $$
  (c) により $k\ge m+1$ では $G^{(k)}$ は $K^m$ の上で動かないので、$K^m$ 上では $g_k=g_m$（$k\ge m$）であり、$G(x,1)$ は $m$ の選び方によらない。また $K^m\times[t_{m+1},1]$ の上で $G(x,t)=g_m(x)$ である。よって $G$ は各 $K^m\times I$ の上で有限個の連続写像を閉集合の上で貼り合わせたものとして連続であり、$K\times I$ の各閉胞体はある $K^m\times I$ に含まれるので、$G$ は $K\times I$ 上で連続である。$G(\cdot,0)=g$ であり、(a) から $G(K\times\{1\})\subset B$、(c) から $G$ は $L$ の上で動かない。$\square$

要点：1 は商写像が飽和した開集合の上で同相になることから、2 は柱を $Z$ の側へ押しつぶす具体的なホモトピーから、3 は 2 と「2 つのうち 2 つの性質」と lem-wh-pair から従う。

写像柱 $M_f$ と $i,j,r$ を前節のとおりとし、$B:=i(Y)$ とおく。prop-wh-mapping-cylinder の 3 により、$(M_f,B)$ はすべての $(\mathrm{C}_n)$ を満たす。$f_*$ が well-defined であることは、ホモトピックな写像に $f$ を合成してもホモトピックであることによる。
全射：連続写像 $g\colon K\to Z$ をとる。lem-wh-compression を $L=\emptyset$ と $j\circ g\colon K\to M_f$ に使うと、$j\circ g$ はホモトピー $G$ で像が $B$ に含まれる写像 $G(\cdot,1)$ に変形できる。$g':=i^{-1}\circ G(\cdot,1)\colon K\to Y$（prop-wh-mapping-cylinder の 1 により連続）とおくと $i\circ g'\simeq j\circ g$ であり、$r$ を合成すると
$$ f\circ g'=r\circ i\circ g'\simeq r\circ j\circ g=g $$
となる。よって $f_*[g']=[g]$ である。
単射：連続写像 $g_0,g_1\colon K\to Y$ と、ホモトピー $F\colon K\times I\to Z$ で $F(\cdot,0)=f\circ g_0$、$F(\cdot,1)=f\circ g_1$ となるものがあるとする。$G\colon K\times I\to M_f$ を
$$ G(x,s):=\begin{cases}q\bigl(g_0(x),3s\bigr) & (0\le s\le\tfrac13),\\ j\bigl(F(x,3s-1)\bigr) & (\tfrac13\le s\le\tfrac23),\\ q\bigl(g_1(x),3-3s\bigr) & (\tfrac23\le s\le1)\end{cases} $$
で定める。$s=\tfrac13$ では $q(g_0(x),1)=j(f(g_0(x)))=j(F(x,0))$、$s=\tfrac23$ でも同様に値が一致するので、$G$ は三つの閉集合の上の連続写像を貼り合わせたもので連続である。$G(x,0)=i(g_0(x))$、$G(x,1)=i(g_1(x))$ なので、$G$ は部分複体 $K\times\{0,1\}$ を $B$ に写す。$K\times I$ の胞体のうち $K\times\{0,1\}$ に含まれないものは $e\times(0,1)$ の形で、$(M_f,B)$ はすべての $(\mathrm{C}_n)$ を満たすので、lem-wh-compression により $G$ は $K\times\{0,1\}$ の上で動かないホモトピーで、像が $B$ に含まれる写像 $G'$ に変形できる。$i^{-1}\circ G'\colon K\times I\to Y$ は $g_0$ から $g_1$ へのホモトピーである。よって $[g_0]=[g_1]$ である。$\square$

1：$f\colon X\to Y$ を CW 複体の間の弱ホモトピー同値とする。thm-wh-bijection を CW 複体 $K=Y$ に使うと、$f_*\colon[Y,X]\to[Y,Y]$ は全射なので、連続写像 $g\colon Y\to X$ で $f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y$ となるものがある。すると
$$ f\circ(g\circ f)=(f\circ g)\circ f\simeq\operatorname{id}_Y\circ f=f\circ\operatorname{id}_X $$
であり、thm-wh-bijection を $K=X$ に使うと $f_*\colon[X,X]\to[X,Y]$ は単射なので、$g\circ f\simeq\operatorname{id}_X$ である。よって $g$ は $f$ のホモトピー逆写像である。
2：lem-wh-pair により $(Y,X)$ はすべての $(\mathrm{C}_n)$ を満たす。lem-wh-compression を CW 複体 $Y$、部分複体 $L=X$、$B=X$、$g=\operatorname{id}_Y$ に使うと、$X$ の上で動かないホモトピー $H\colon Y\times I\to Y$ で $H(\cdot,0)=\operatorname{id}_Y$、$H(Y\times\{1\})\subset X$ となるものが得られる。これが求める強変位レトラクションである。$\square$