Hopf不変量

$T^*a_g$ の $S^n$ への制限は $(T|_{S^n})^*u=\ell\,u$ なので、hi-lem-cone の 1 により $T^*a_g=\ell\,a_f$ である。$p\colon C_g\to C_g/S^n$ を商写像とすると、仮定から $p\circ T\circ\Phi_f=p\circ\Phi_g\circ R$ は対 $(D^{2n},S^{2n-1})\to(C_g/S^n,\ast)$ の同じ写像である。$H^{2n}(C_g,S^n)$ の元は $p^*\gamma$ の形に書けるので（Hat02 p. 202）、$\Phi_f^*T^*\beta_g=R^*\Phi_g^*\beta_g=R^*\tau=k\,\tau$（hi-lem-disk）であり、$T^*\beta_g=k\,\beta_f$、$j$ の自然性から $T^*b_g=k\,b_f$ である。最後に

$$H(g)\,k\,b_f=T^*(a_g\smile a_g)=(\ell\,a_f)\smile(\ell\,a_f)=\ell^2H(f)\,b_f$$

であり、$b_f$ は無限巡回群 $H^{2n}(C_f)$ の生成元なので係数を比べればよい。$\square$

$D^{2n}$ の点を $rs$（$0\le r\le1$、$s\in S^{2n-1}$）と書く。各場合に hi-lem-maps の $T$ と $R$ を作る。$T$ は $S^n$ の上の写像と $D^{2n}$ の上の写像を、境界の同一視と両立するように与えれば、商空間の性質で連続になる。

1：$F\colon S^{2n-1}\times[0,1]\to S^n$ を $F_0=f$、$F_1=g$ のホモトピーとする。$T\colon C_f\to C_g$ を $S^n$ の上で恒等写像、$T(\Phi_f(rs)):=\Phi_g(2rs)$（$r\le1/2$）、$:=F(s,2-2r)$（$r\ge1/2$）で定める。$r=1/2$ では $\Phi_g(s)=g(s)=F(s,1)$、$r=1$ では $F(s,0)=f(s)$ で、どちらも両立する。$R(rs):=\min(2r,1)s$ とおくと $r\ge1/2$ で両辺は $S^n$ に属する。$\ell=k=1$ なので $H(g)=H(f)$ である。

2：$a_f$ の次数 $n$ は奇数なので、カップ積の次数付き可換性により $a_f\smile a_f=-a_f\smile a_f$ である。$H^{2n}(C_f)\cong\mathbb Z$ は捩れをもたないので $a_f\smile a_f=0$ である（コホモロジー環 の定理「奇数次元での消滅」）。

3：$f$ の値を $p_0$ とすると、$S^n$ の上で恒等写像、$\Phi_f(D^{2n})$ を $p_0$ に送る写像はレトラクション $\varrho\colon C_f\to S^n$ である。$a_f=\varrho^*u$ なので $a_f\smile a_f=\varrho^*(u\smile u)=0$ である（$H^{2n}(S^n)=0$）。

4：$T\colon C_{f\circ g}\to C_f$ を $S^n$ の上で恒等写像、$T(\Phi_{f\circ g}(rs)):=\Phi_f(r\,g(s))$ で定める。$r=1$ で $\Phi_f(g(s))=f(g(s))$ なので両立する。$R(rs):=r\,g(s)$ とすれば $\ell=1$、$k=d$ であり、$d\,H(f)=H(f\circ g)$ である。

5：$T\colon C_f\to C_{e\circ f}$ を $S^n$ の上で $e$、$T(\Phi_f(z)):=\Phi_{e\circ f}(z)$ で定める。境界では $e(f(s))=\Phi_{e\circ f}(s)$ で両立する。$R=\mathrm{id}$ とすれば $\ell=d$、$k=1$ であり、$H(e\circ f)=d^2H(f)$ である。$\square$

$z\in D^n\times D^n$（$z\ne0$）について $\mu(z):=\max(|x|,|y|)$（$z=(x,y)$）とおき、$\lambda(z):=\mu(z)z/|z|$、$\lambda(0):=0$ とする。$\lambda\colon D^n\times D^n\to D^{2n}$ は同相写像で、境界の上で $\rho$ に一致する。$F\colon S^n\times S^n\to C_{w_n}$ を、$S^n\vee S^n$ の上で $\nabla$、$F(\Phi(z)):=\Phi_{w_n}(\lambda(z))$ で定める。$z\in\partial(D^n\times D^n)$ では $\Phi_{w_n}(\rho(z))=w_n(\rho(z))=\nabla(\Phi(z))$ なので両立し、$F$ は連続である。

$a_i:=\mathrm{pr}_i^*u$（$i=1,2$）とおく。Künneth の定理により $H^*(S^n\times S^n)\cong H^*(S^n)\otimes H^*(S^n)$ は環として同型で、$H^n$ は $a_1,a_2$ を基底とし、$H^{2n}$ は $a_1\smile a_2$ で生成される無限巡回群である（Hat02 Theorem 3.15, p. 216）。$F^*a_{w_n}$ の $S^n\vee S^n$ への制限は $\nabla^*u$、すなわち両方の因子で $u$ なので、$F^*a_{w_n}=a_1+a_2$ である（$H^n(S^n\times S^n)\to H^n(S^n\vee S^n)$ は同型）。一方 $F$ は対 $(S^n\times S^n,S^n\vee S^n)\to(C_{w_n},S^n)$ の写像で $F\circ\Phi=\Phi_{w_n}\circ\lambda$ なので、$\Phi^*F^*\beta_{w_n}=\lambda^*\tau$ は $H^{2n}(D^n\times D^n,\partial)$ の生成元である。$\Phi^*\colon H^{2n}(S^n\times S^n,S^n\vee S^n)\to H^{2n}(D^n\times D^n,\partial)$ と $H^{2n}(S^n\times S^n,S^n\vee S^n)\to H^{2n}(S^n\times S^n)$ はともに同型なので（hi-lem-cone の証明と同じ）、$F^*b_{w_n}$ は生成元であり、$F^*b_{w_n}=\varepsilon\,a_1\smile a_2$（$\varepsilon=\pm1$）と書ける。$\varepsilon$ は $\tau$、$\lambda$、$u$ の向きだけで決まる。$a_i\smile a_i=\mathrm{pr}_i^*(u\smile u)=0$ と $a_2\smile a_1=(-1)^{n\cdot n}a_1\smile a_2$ から

$$H(w_n)\,\varepsilon\,a_1\smile a_2=F^*(a_{w_n}\smile a_{w_n})=(a_1+a_2)\smile(a_1+a_2)=\bigl(1+(-1)^n\bigr)\,a_1\smile a_2$$

であり、$\varepsilon^2=1$ から主張が従う。$\square$

$X:=C_{J(\varphi)}$ の $2n$ 胞体の特性写像を $\lambda$ を通して $\widehat\Phi\colon D^n\times D^n\to X$ と書く（$\widehat\Phi$ は境界の上で $J'(\varphi)$）。$S^n$ に、赤道 $S^{n-1}$（0 胞体と $(n-1)$ 胞体）を部分複体とし $D_+,D_-$ の内部を 2 つの $n$ 胞体とする CW 構造を入れると、$J(\varphi)$ の値は $(2n-1)$ 骨格 $S^n$ に入るので $X$ は CW 複体で、$D_+,D_-$ は部分複体である。部分複体の対について相対カップ積 $H^k(X,A)\times H^\ell(X,B)\to H^{k+\ell}(X,A\cup B)$ があり、余鎖の段階で定義されるので、$\widehat\Phi(S^{n-1}\times D^n)\subset D_+$、$\widehat\Phi(D^n\times S^{n-1})\subset D_-$ をみたす $\widehat\Phi$ と両立する（Hat02 p. 209）。

$D_\pm$ は可縮で $n-1\ge1$ なので、$H^n(X,D_\pm)\to H^n(X)$ は同型である。$a:=a_{J(\varphi)}$ の持ち上げを $x_\pm\in H^n(X,D_\pm)$ とすると、$a\smile a$ は $x_+\smile x_-\in H^{2n}(X,S^n)$ の像であり、$\widehat\Phi^*\colon H^{2n}(X,S^n)\to H^{2n}(D^n\times D^n,\partial)$ は同型である（hi-lem-cone）。$\theta\in H^n(D^n,S^{n-1})$ を生成元とする。相対 Künneth の定理（Hat02 Theorem 3.18, p. 218）により、$H^n(D^n\times D^n,S^{n-1}\times D^n)$ は $\mathrm{pr}_1^*\theta$ で生成される無限巡回群、$H^{2n}(D^n\times D^n,\partial)$ は $\theta\times\theta=\mathrm{pr}_1^*\theta\smile\mathrm{pr}_2^*\theta$ で生成される無限巡回群である。

$\widehat\Phi^*x_+=m_1\,\mathrm{pr}_1^*\theta$ と書き、$m_1$ を $i_1(v):=(v,y_0)$ で引き戻して求める。$\widehat\Phi(i_1(rx))=\psi(\varphi(x,y_0),r-1)$ なので、$\widehat\Phi\circ i_1$ は $\kappa\circ\mathrm{C}\varphi_1$ と分解する。ここで $\varphi_1:=\varphi(\cdot,y_0)$、$\mathrm{C}\varphi_1(rx):=r\varphi_1(x)$ は対 $(D^n,S^{n-1})$ の写像、$\kappa(rx):=\psi(x,r-1)$ は対の同相写像 $(D^n,S^{n-1})\to(D_-,\partial D_-)$ である。$x_+$ を $(D_-,\partial D_-)\to(S^n,D_+)\to(X,D_+)$ で引き戻した類は $H^n(D_-,\partial D_-)$ の生成元であり（$H^n(X,D_+)\to H^n(S^n,D_+)$ は hi-lem-cone の 1 により同型、$H^n(S^n,D_+)\to H^n(D_-,\partial D_-)$ は切除による同型）、$\kappa$ で引き戻すと $\varepsilon_1\theta$（$\varepsilon_1=\pm1$ は $u$ と $\kappa$ だけで決まる）になる。hi-lem-disk により $\mathrm{C}\varphi_1^*$ は $d_1$ 倍なので $m_1=\varepsilon_1d_1$ である。同様に $\widehat\Phi^*x_-=\varepsilon_2d_2\,\mathrm{pr}_2^*\theta$ である。よって

$$\widehat\Phi^*(x_+\smile x_-)=\varepsilon_1\varepsilon_2d_1d_2\,(\theta\times\theta)$$

であり、$\theta\times\theta$ と $\widehat\Phi^*\beta_{J(\varphi)}$ はともに生成元なので、$\varphi$ によらない符号を除いて $H(J(\varphi))=d_1d_2$ となる。$\square$