一般化されたDirichletの密度定理

有限アーベル群は巡回群の直積なので（有限アーベル群の基本定理）、位数 $e$ の巡回群の指標が生成元を $1$ の $e$ 乗根に写す $e$ 個であることから、$G$ の指標はちょうど $h$ 個あり、単位元でない $g\in G$ について $\chi_0(g)\ne1$ となる指標 $\chi_0$ がある。$\lvert\chi(\mathfrak{b})\rvert=1$ なので $\overline{\chi(\mathfrak{b})}\chi(\mathfrak{a})=\chi(\mathfrak{a}\mathfrak{b}^{-1})$ である。$g:=\mathfrak{a}\mathfrak{b}^{-1}\bmod H$ が単位元なら各項は $1$ で和は $h$ である。そうでなければ、$\chi\mapsto\chi_0\chi$ は指標の並べ替えなので $\sum_\chi\chi(g)=\chi_0(g)\sum_\chi\chi(g)$ となり、和は $0$ である。$\square$

1：$\lvert\chi(\mathfrak{p})\rvert=1$ なので、各項の絶対値の和は $\sum_{\mathfrak{p}}\sum_kN\mathfrak{p}^{-ks}/k=\log\zeta_K(s)$ 以下であり（Dedekindゼータ関数 の定理「収束と Euler 積」）、級数は絶対収束する。$\mathfrak{p}$ ごとに $\exp\sum_k\chi(\mathfrak{p})^kN\mathfrak{p}^{-ks}/k=(1-\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}$ である。$\chi$ は乗法的で、$\mathfrak{m}_0$ と素な整イデアルは $\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアルの積にただ一通りに分解するので、$\zeta_K$ の Euler 積と同じ議論で $L(s,\chi)=\prod_{\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0}(1-\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}$（絶対収束）であり、有限積の極限をとって $\exp\ell(s,\chi)=L(s,\chi)$ を得る。
2：$g_\chi(s)$ は $k\ge2$ の項の和である。$N\mathfrak{p}\ge2$ なので $\sum_{k\ge2}N\mathfrak{p}^{-ks}/k\le\sum_{k\ge2}N\mathfrak{p}^{-k}\le2N\mathfrak{p}^{-2}$ であり、素数 $p$ の上の素イデアルは高々 $n=[K:\mathbb{Q}]$ 個で $N\mathfrak{p}\ge p$ なので、$\lvert g_\chi(s)\rvert\le2n\sum_pp^{-2}$ である。$\square$

$h$ が有限であることは (F1) による。$G$ の各指標 $\chi$ について、$s\to1+0$ での $\ell(s,\chi)$ の振る舞いを調べる。
$\chi\ne1$ のとき、$\ell(s,\chi)$ は $s\to1+0$ で有界である． (F2) により $L(s,\chi)\to L(1,\chi)\ne0$ である。$L(1,\chi)$ を中心とし $0$ を含まない開円板 $D$ と、$D$ 上の対数の分枝 $\operatorname{Log}_D$ をとる。$1< s<1+\delta$ で $L(s,\chi)\in D$ となる $\delta>0$ がある。$L(s,\chi)$ は $s$ について連続であり（lem-gdd-log の級数は $s\ge s_0>1$ で一様に絶対収束する）、$\ell(s,\chi)$ も連続である。lem-gdd-log の 1 により $\ell(s,\chi)-\operatorname{Log}_DL(s,\chi)$ は $2\pi i\mathbb{Z}$ に値をとる連続関数なので、区間 $(1,1+\delta)$ の上で定数である。$\operatorname{Log}_DL(s,\chi)$ は有界なので、$\ell(s,\chi)$ も有界である。
$\chi=1$ のとき． lem-gdd-log の 2 と (F3) により、$\mathfrak{m}_0$ を割る有限個の素イデアルを除いても有界な差しか生じないので
$$ \ell(s,1)=\sum_{\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0}N\mathfrak{p}^{-s}+O(1)=\log\frac1{s-1}+O(1) $$
である。
類を取り出す． $\mathfrak{b}\in\mathfrak{K}$ を 1 つとる。$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0$ について、lem-gdd-orthogonality により $\sum_\chi\overline{\chi(\mathfrak{b})}\chi(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}\in\mathfrak{K}$ なら $h$、そうでなければ $0$ である。$\ell(s,\chi)=\sum_{\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0}\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s}+g_\chi(s)$ に $\overline{\chi(\mathfrak{b})}$ を掛けて $\chi$ について足すと、絶対収束する級数の和の順序を入れ替えて
$$ h\sum_{\mathfrak{p}\in\mathfrak{K}}N\mathfrak{p}^{-s}=\sum_\chi\overline{\chi(\mathfrak{b})}\bigl(\ell(s,\chi)-g_\chi(s)\bigr)=\log\frac1{s-1}+O(1) $$
を得る。右辺では、$\chi=1$ の項が $\log\frac1{s-1}+O(1)$ で、ほかの $h-1$ 個の項と $g_\chi$ の項は有界である。両辺を $h$ で割れば主張の式になり、$h\log\frac1{s-1}$ で割って $s\to1+0$ とすれば密度は $1/h$ である。密度が正なので、Dirichlet密度 の命題「基本性質」の 1 により $\mathfrak{K}$ に属する素イデアルは無限にある。$\square$

$I_{\mathbb{Q}}^{\mathfrak{m}}$ の元は、分子と分母が $m$ と素な正の有理数 $r=a/b$ によって $(r)$ とただ一通りに書ける。$b$ は $m$ を法として可逆なので $r\bmod m:=ab^{-1}\bmod m\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ が定まり、乗法的な全射準同型 $I_{\mathbb{Q}}^{\mathfrak{m}}\to(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ を与える（$m$ と素な正の整数 $a$ について $(a)\mapsto a\bmod m$）。$(r)$ が核に入ることは $a\equiv b\pmod m$、すなわち $r\equiv1\pmod{^\times m}$ と同値である。$(r)=(-r)$ のうち実素点で正の生成元は $r$ だけなので、これは $(r)\in P_{\mathbb{Q},\mathfrak{m}}$ と同値である。よって同型が得られる。thm-gdd-main を $H=P_{\mathbb{Q},\mathfrak{m}}$、$h=\varphi(m)$ と $p\bmod m=a\bmod m$ の類に使えばよい。$\square$

法 $\mathfrak{m}=1$（$\mathfrak{m}_0=\mathcal{O}_K$、$\mathfrak{m}_\infty=\emptyset$）では $I_K^{\mathfrak{m}}$ は分数イデアル全体、$P_{K,\mathfrak{m}}$ は単項イデアル全体なので、thm-gdd-main を $H=P_{K,\mathfrak{m}}$ に使えばよい。剰余次数が $2$ 以上の素イデアルの集合の密度は $0$ なので（Dirichlet密度 の命題「基本性質」の 5）、剰余次数 $1$ のものだけでも各類の密度は $1/h_K>0$ である。$\square$