虚数乗法

$\alpha\Lambda_1\subset\Lambda_2$ なら $z\mapsto\alpha z$ は $\Lambda_1$ の同値類を $\Lambda_2$ の同値類に写し、局所的には $z\mapsto\alpha z$ なので正則である。$\alpha z\equiv\beta z\pmod{\Lambda_2}$ がすべての $z$ で成り立てば、連続写像 $z\mapsto(\alpha-\beta)z$ の値は離散集合 $\Lambda_2$ に入り、$\mathbb{C}$ は連結なので一定値 $0$ をとり、$\alpha=\beta$ である。

逆に $\phi$ を $\phi(0)=0$ の正則写像とする。射影 $\pi_2\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}/\Lambda_2$ は被覆写像で、$\mathbb{C}$ は単連結かつ局所弧状連結なので、$\phi\circ\pi_1$ は $\pi_2$ に沿って持ち上がる（Hat02 Proposition 1.33, p. 61）。すなわち連続写像 $F\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ で $F(0)=0$、$\pi_2\circ F=\phi\circ\pi_1$ となるものがある。$F$ は局所的に「$\pi_2$ の局所的な逆写像と $\phi\circ\pi_1$ の合成」なので正則である。$\lambda\in\Lambda_1$ を固定すると、$F(z+\lambda)-F(z)$ は $z$ について連続で値が $\Lambda_2$ に入るので、一定である。微分して $F'(z+\lambda)=F'(z)$ を得る。$F'$ は $\Lambda_1$ の周期をもつ整関数なので、基本平行四辺形の閉包（コンパクト集合）での値で全体の値が尽くされ、有界である。Liouvilleの定理(複素解析) により $F'$ は定数 $\alpha$ で、$F(0)=0$ より $F(z)=\alpha z$ である。$F(\lambda)-F(0)=\alpha\lambda\in\Lambda_2$ なので $\alpha\Lambda_1\subset\Lambda_2$ である。

最後の主張について、$\phi_\alpha(z)=\alpha z$ と書くと $\phi_\alpha+\phi_\beta=\phi_{\alpha+\beta}$、$\phi_\alpha\circ\phi_\beta=\phi_{\alpha\beta}$ なので、$\alpha\mapsto\phi_\alpha$ は環 $R(\Lambda)$ から $0$ を保つ正則な自己写像の環への全単射な環準同型である。$\square$

最後の主張について。$\mathbb{C}$ 上の楕円曲線の同型類は格子の相似類と一対一に対応する（楕円曲線 の記事の定理「一意化定理」）。cor-cm-end の同型 $\operatorname{End}(E)\cong R(\Lambda)$ で、$R(\Lambda)$ は $\mathbb{C}$ の部分環である。$R(\Lambda)$ が環として $\mathcal{O}_K$ と同型なら、$R(\Lambda)\otimes\mathbb{Q}$ は $K$ と同型な $\mathbb{C}$ の部分体である。$\mathbb{C}$ の中で $K$ と同型な部分体は $K$ 自身だけ（$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$ の像は $\sqrt{-m}$ を $\pm\sqrt{-m}$ に写すので同じ集合）なので、$R(\Lambda)$ は $K$ の整環で、$\mathcal{O}_K$ と同型だから整閉であり、$\mathcal{O}_K$ に等しい。よって $\operatorname{End}(E)\cong\mathcal{O}_K$ となる $E$ の同型類は、$R(\Lambda)=\mathcal{O}_K$ となる格子の相似類と対応し、1–3 によりそれは $\operatorname{Cl}(\mathcal{O}_K)$ と一対一に対応する。$\square$

$\mathcal{O}$ の判別式を $D<0$ とする（$\mathcal{O}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\theta$ について $D=(\theta-\bar\theta)^2$。基底の取り方によらない）。$E$ に対応する格子 $\Lambda$ を相似で取り替えて、上半平面 の記事の定理「基本領域」により $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$、$\tau\in\mathcal{F}$（$\lvert\operatorname{Re}\tau\rvert\le\frac12$、$\lvert\tau\rvert\ge1$）としてよい。$R(\Lambda)\cong\mathcal{O}$ で、環の同型は商体の同型に延び、虚 2 次体のただ 1 つの非自明な自己同型（複素共役）と可換なので判別式を保つ。よって $R(\Lambda)$ は判別式 $D$ の整環であり、thm-cm-multiplier により $\tau$ は $a\tau^2+b\tau+c=0$（$\gcd(a,b,c)=1$、$a>0$、$b^2-4ac=D$）を満たす。$\tau=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ なので、$\lvert\operatorname{Re}\tau\rvert\le\frac12$ は $\lvert b\rvert\le a$、$\lvert\tau\rvert^2=c/a\ge1$ は $c\ge a$ を意味する。すると$$\lvert D\rvert=4ac-b^2\ge4a^2-a^2=3a^2$$なので $a\le\sqrt{\lvert D\rvert/3}$、$\lvert b\rvert\le a$ で、$c=(b^2-D)/(4a)$ は $a,b$ で決まる。よって $(a,b,c)$ は有限通り、$\tau$ も有限個で、$E$ の同型類も有限個である。$\square$

$E\colon y^2=x^3+Ax+B$ とし、整数倍でない自己準同型 $\alpha$ を 1 つとる。$\alpha$ は $x,y$ の有理式で $(x,y)\mapsto(r_1(x,y),r_2(x,y))$ と書ける。$A,B$ と $r_1,r_2$ の係数で生成される $\mathbb{Q}$ 上有限生成の体を $M\subset\mathbb{C}$ とする。$\operatorname{End}(E)$ は $\mathbb{Z}$ 上階数 $2$ なので、$\alpha$ は整数 $t,n$ による $\alpha^2-t\alpha+n=0$ を満たし、$\alpha\notin\mathbb{Z}$ から $t^2-4n<0$ である（cor-cm-end）。

$j:=j(E)=1728\cdot4A^3/(4A^3+27B^2)\in M$ が $\mathbb{Q}$ 上超越的だと仮定する。$j$ を含む $M$ の $\mathbb{Q}$ 上の超越基底 $\{j,t_2,\dots,t_s\}$ をとる。整数 $N$ ごとに、$j\mapsto j+N$、$t_i\mapsto t_i$ は $\mathbb{Q}(j,t_2,\dots,t_s)$ から $\mathbb{C}$ への体の埋め込みを定め（$\{j+N,t_2,\dots,t_s\}$ も代数的独立）、$M$ はその有限次代数拡大なので、代数閉体 $\mathbb{C}$ への埋め込み $\sigma_N\colon M\to\mathbb{C}$ に延びる（有限次拡大は単純拡大の繰り返しで、各段で最小多項式の像の根を 1 つ選べばよい）。

$\sigma_N$ を係数に施した曲線 $E^{\sigma_N}\colon y^2=x^3+\sigma_N(A)x+\sigma_N(B)$ は、判別式 $\sigma_N(\Delta)\neq0$ をもつ楕円曲線で、$j(E^{\sigma_N})=\sigma_N(j)=j+N$ である。$E$ と $\alpha$ は $M$ 上で定義されている（$\alpha$ の座標 $r_1,r_2$ は関数体 $M(E)$ の元で、滑らかな曲線からの有理写像は射に延びる。Sil09 Proposition II.2.1, p. 19）。体の埋め込み $\sigma_N$ による係数の取り替え（基底変換 $-\times_{M,\sigma_N}\mathbb{C}$）は、$M$ 上の多様体の射を $\mathbb{C}$ 上の多様体の射に写して直積と合成を保ち、$E$ を $E^{\sigma_N}$ に、原点 $[0:1:0]$ を原点に、$E$ の加法の射（$\mathbb{Q}(A,B)$ 係数の式で定まる）を $E^{\sigma_N}$ の加法の射に写す。よって $\alpha$ の係数に $\sigma_N$ を施した $\alpha^{\sigma_N}$ は $E^{\sigma_N}$ の自己準同型であり、射の等式 $\alpha\circ\alpha-[t]\circ\alpha+[n]=[0]$ を移して $(\alpha^{\sigma_N})^2-t\alpha^{\sigma_N}+n=0$ を満たす。$t^2-4n<0$ なのでこの 2 次式は整数の根をもたず、$\alpha^{\sigma_N}\notin\mathbb{Z}$、すなわち $E^{\sigma_N}$ は虚数乗法をもつ。$\operatorname{End}(E^{\sigma_N})$ は $\mathbb{Z}[\alpha^{\sigma_N}]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2-tx+n)$ を含む整環で、$\mathbb{Q}(\sqrt{t^2-4n})$ の整環のうち与えられた整環 $\mathbb{Z}+f\mathcal{O}_K$ を含むものは、$\mathbb{Z}+f'\mathcal{O}_K\supset\mathbb{Z}+f\mathcal{O}_K$ が $f'\mid f$ と同値なので（$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\omega$ として $f\omega\in\mathbb{Z}+f'\mathcal{O}_K$ を見る）、有限個である。よって prop-cm-finite により $j(E^{\sigma_N})=j+N$ は、$N$ によらない有限集合に入る。これは $N$ が無限個の整数を動くことに反する。$\square$