圏同値(豊穣圏)

同義語：豊穣圏同値

概要

前提知識: 豊穣圏, 関手(豊穣圏), 圏同値

定義

$\mathcal V$ を局所小なモノイダル圏とする。$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal A$ はHom対象 $\mathcal A(x,y)$、結合的・単位的な合成を持つ。台圏 $\mathcal A_0$ の射 $x\to y$ は $I\to\mathcal A(x,y)$ である。豊穣関手（関手(豊穣圏)）はHom対象の射を備え、合成・単位を保つ。
二つの豊穣関手 $F,G:\mathcal A\to\mathcal B$ の間の豊穣自然変換（自然変換(豊穣圏)）$\alpha$ は、成分 $\alpha_x:I\to\mathcal B(Fx,Gx)$ であって、各Hom対象 $\mathcal A(x,y)$ 上で
$$G_{x,y}(-)\circ\alpha_x=\alpha_y\circ F_{x,y}(-)$$
を満たすものである。この式は個々の元だけでなく、$\mathcal V$ の射としての等式を意味する。

豊穣圏同値

豊穣関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ が 圏同値(豊穣圏)（enriched equivalence）であるとは、豊穣関手 $G:\mathcal B\to\mathcal A$ と豊穣自然同型
$$1_{\mathcal A}\cong GF,\qquad FG\cong1_{\mathcal B}$$
が存在することをいう。$G$ を準逆という。豊穣自然同型とは、垂直合成に関する逆変換を持つ豊穣自然変換である。

これは豊穣圏・豊穣関手・豊穣自然変換を持つ2圏での同値である。Hom対象の同型を要求する厳密な豊穣理論であり、Homの弱同値で定めるDK同値とは区別する。Kel05 §§1.2–1.3, 1.11。

成分と同値の判定

自然同型の成分判定

豊穣自然変換 $\alpha:F\to G$ が同型であることと、すべての成分が $\mathcal B_0$ の同型であることは同値である。

証明の所在

この命題は自然変換(豊穣圏) の記事の命題「豊穣自然同型」（成分が台圏の同型なら逆成分も豊穣自然であること）そのものである。証明はそちらを参照する。要点は、Hom対象全体に対する自然性の等式の前後に $\alpha_y^{-1},\alpha_x^{-1}$ を合成して逆成分の自然性を得ることである。

充満忠実かつ本質的全射

選択公理を用いると、$F:\mathcal A\to\mathcal B$ が豊穣圏同値であることは、次の二条件と同値である。

すべての $x,y$ で $F_{x,y}:\mathcal A(x,y)\to\mathcal B(Fx,Fy)$ が $\mathcal V$ の同型である。
すべての $b\in\mathcal B$ が、ある $Fx$ と台圏 $\mathcal B_0$ で同型である。
前者を豊穣充満忠実（充満忠実関手(豊穣圏)）、後者を本質的全射という。対象の集まりを扱う宇宙を固定し、必要な対象・同型の族をその範囲で選ぶ。Kel05 §1.11。

$GF\cong1$、$FG\cong1$ があるとする。自然同型の成分による前後の合成はHom対象の同型であり、全Hom対象に対する自然性から、$GF$ と $FG$ の各Hom写像は同型になる。
固定した $x,y$ に対し、Hom対象の射を
$$a=F_{x,y},\quad b=G_{Fx,Fy},\quad a'=F_{GFx,GFy}$$
とする。$ba=(GF)_{x,y}$ と $a'b=(FG)_{Fx,Fy}$ は同型である。従って $b$ は左逆 $(a'b)^{-1}a'$ と右逆 $a(ba)^{-1}$ を持つ。左逆と右逆は一致するので $b$ は同型であり、$a=b^{-1}(ba)$ も同型となる。$FG\cong1_{\mathcal B}$ の成分は各 $b$ と $F(Gb)$ の同型を与え、本質的全射性も従う。 $\square$

各 $b$ に対し $Gb\in\mathcal A$ と同型 $\varepsilon_b:F(Gb)\to b$ を選ぶ。$G$ のHom写像を
$$ \mathcal B(b,b')\xrightarrow{\ \varepsilon_{b'}^{-1}(-)\varepsilon_b\ } \mathcal B(FGb,FGb') \xrightarrow{\ F_{Gb,Gb'}^{-1}\ }\mathcal A(Gb,Gb') $$
と定める。連続する二射を合成すると中間の $\varepsilon\varepsilon^{-1}$ が打ち消し合う。$F$ が合成を保ち、各Hom写像が同型であることから、$G$ も合成・単位を保つ。この式そのものが $\varepsilon:FG\to1$ の豊穣自然性を与える。
$F$ のHom同型に $I$ からの射を適用し、一意の $\eta_x:x\to GFx$ を $F\eta_x=\varepsilon_{Fx}^{-1}$ で定める。逆成分も同様に持ち上がるので $\eta_x$ は可逆である。全Hom対象上の $\eta$ の自然性に $F$ を適用すると、
$$ (FGF)_{x,y}(-)\,\varepsilon_{Fx}^{-1} =\varepsilon_{Fy}^{-1}\,F_{x,y}(-) $$
となり、$G$ の定義から成立する。$F$ のHom写像は同型なので、適用前の自然性も成立する。よって $\eta:1\cong GF$ を得る。 $\square$

この証明では、対象の代表を選ぶ操作と、Hom対象の構造を運ぶ操作を分けている。後者を単に台圏の射集合の操作へ置き換えないことが要点である。

例と反例

通常の圏同値

$\mathcal V=\mathbf{Set}$ のとき、Hom対象の同型はHom集合の全単射であり、豊穣自然変換は通常の自然変換である。定義と判定定理は、通常の圏同値および「充満忠実かつ本質的全射」の判定にそのまま戻る。

対象を二つずつ表示する

豊穣圏 $\mathcal A$ から、対象を $(x,i)$（$i=0,1$）、Hom対象を
$\widetilde{\mathcal A}((x,i),(y,j))=\mathcal A(x,y)$
とする豊穣圏を作る。合成・単位は $\mathcal A$ と同じにする。射影 $\widetilde{\mathcal A}\to\mathcal A$ はHom対象上で恒等であり、準逆 $x\mapsto(x,0)$ を持つ。$j_x$ が二つの表示 $(x,0),(x,1)$ 間の逆向きの同型を与えるので豊穣圏同値である。対象集合の全単射は要求されない。

一対象の環

環 $R,S$ を一対象の $\mathbf{Ab}$-豊穣圏とする。豊穣関手は単位的環準同型である。対象の本質的全射性は自動的なので、この関手が豊穣圏同値であることは環同型であることと同値になる。加群圏の同値を要求するMorita同値とは別の条件である。

反例：台圏の同値だけでは不足する

$\mathcal V=\mathbf{Cat}$ とする。一対象・一つの1射を持ち、2射が整数で縦横の合成が加算である厳密2圏 $\mathcal B$ を考える。交換則は整数の加法の可換性から成立する。台圏 $\mathcal B_0$ は一点圏だが、唯一のHom圏は一対象亜群 $B\mathbb Z$ である。
終2圏から $\mathcal B$ への関手は台圏上では同値だが、Hom圏の写像 $*\to B\mathbb Z$ は同型でない。判定定理により豊穣圏同値ではない。

∞圏への接続

局所Kanな単体的豊穣圏とは、各Hom単体的集合がKan複体であるものをいう。そのホモトピー整合的脈体は準圏を与える。準圏は、すべての内角 $\Lambda_i^n\subset\Delta^n$（$0< i< n$）を埋められる単体的集合で、$(\infty,1)$-圏のモデルである。
この表示での DK同値 は、Homごとの弱ホモトピー同値と、Homの連結成分を射集合とするホモトピー圏上の本質的全射性によって定まる。厳密な豊穣圏同値はこれを満たすが、DK同値はHom対象の同型を要求しない。一般の単体的圏やモデル圏から比較する際には、局所Kan表示やcofibrant・fibrant置換を適切に選ぶ。HTT09 Proposition 1.1.5.10、§§1.2.10, 2.2.5。
このモデル比較は引用した基礎であり、本記事の厳密な豊穣圏同値の証明だけから、あらゆる∞圏同値の性質を証明したわけではない。

Hom対象の輸送を明示する

通常の圏同値の命題「圏同値の十分条件」では、射集合の全単射を使って準逆の作用を持ち上げる。豊穣版で用いるのは、その全単射を与えるだけの写像でなく、基礎圏の射としての逆である。例えばAbでは逆も加法準同型、Posでは逆も単調写像、Catでは逆も関手でなければならない。この条件が、同じ台圏を持つ異なる豊穣構造を区別する。
準逆の構成を一つの式で眺めると、三段階になっている。対象 $b$ の代表 $Gb$ を選び、比較同型 $\varepsilon_b:FGb\to b$ を選び、最後にHom同型で射を持ち上げる。この順序は重要である。対象の対応を先に選んだだけでは、Hom対象の間に射があることすら保証されない。代表が変われば式も変わるが、比較同型で前後から合成するため、変更は自然同型の範囲に収まる。

共役の写像は構造を保つ

豊穣圏 $\mathcal B$ で、台圏の同型 $u:x'\to x$、$v:y\to y'$ を取る。Hom対象の射
$$\mathcal B(x,y)\longrightarrow\mathcal B(x',y'),\qquad h\longmapsto vhu$$
は、$u,v$ を単位対象からの射として合成に挿入して定める。この記法は、各射の集合でしか定義していない操作ではない。$\mathcal B(x,y)\otimes I$ と $I\otimes\mathcal B(x,y)$ の単位同型を通して、全Hom対象からの射を作っている。
逆は $h'\mapsto v^{-1}h'u^{-1}$ である。二つを合成すると、結合律で $vv^{-1}$ と $u^{-1}u$ をまとめ、単位律で取り除ける。従ってHom対象の同型が得られる。この計算は、本質的全射性で得た対象の代表へHom対象を運ぶ操作の根拠になる。対象間の同型が豊穣Hom全体に作用するという点が、同値の判定定理を一般の基礎で成立させている。

単位対象が検出できる範囲

充満忠実関手(豊穣圏) の命題「単位からの射が同型を反映する基礎圏」は、$\mathcal V(I,-)$ が同型を反映する場合を扱う。その仮定のもとでは、台圏の充満忠実性から豊穣充満忠実性を得られる。従って、既に豊穣関手である $F$ の台圏が同値なら、判定定理の二条件を確認できる。
この仮定はSetとAbで成り立つ。Abでは $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z,A)$ が $A$ の元を記録し、加法準同型が元の集合で全単射なら逆も加法準同型になる。一方、Posでは全単射な単調写像の逆が単調とは限らず、Catでは対象の全単射が射の情報を検出しない。従って同じ推論を全基礎へ広げることはできない。

順序を失わせる全単射

二元離散順序集合 $D=\{0,1\}$ から鎖 $E=\{0<1\}$ への恒等な集合写像は、単調で全単射だが順序同型ではない。この写像をHom対象に持つ豊穣関手のモデルを、二対象 $a,b$ のPos豊穣圏で作れる。自己Homは一点、$b\to a$ のHomは空、$a\to b$ のHomはそれぞれ $D,E$ とし、合成は単位によるものだけとする。Hom写像は上の全単射で、台圏の関手は同型になる。しかし豊穣充満忠実ではなく、豊穣圏同値ではない。

この例では対象の数も射の数も変わらない。変わるのは、平行な射の間にある順序だけである。台圏では二つの射が区別されているが、どちらが小さいかという構造は記録されない。豊穣圏同値はその比較まで保持するので、単に射集合を数える判定より強い。

余極限の普遍性を移す

豊穣同値のもとで対象の普遍的な役割が保たれることは、Hom対象の同型を通して直接確認できる。ここでは通常の小圏を添字とする豊穣余極限を扱う。一般の重み付き余極限への拡張では重みの豊穣作用も一緒に保持する必要があるが、同じ考え方が使われる。

同値による豊穣余極限の保存と反映

豊穣圏同値 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ と図式 $D:J\to\mathcal A_0$ を取る。余錐 $(L,\iota)$ が $D$ の豊穣余極限であることと、$(FL,F\iota)$ が $FD$ の豊穣余極限であることは同値である。

保存を示す。任意の $b\in\mathcal B$ に対し、本質的全射性で $b\cong Fx$ を選ぶ。Hom対象の同型とその自然性により、余錐の指定比較射の始域と終域を、それぞれ $\mathcal A(L,x)$ と $\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\mathcal A(Dj,x)$ へ同型で移せる。具体的には、$b\cong Fx$ による後合成と $F$ のHom同型を用いる。この移動は各 $\iota_j$ の前合成と可換するので、元の比較射が同型なら終域での比較射も同型である。
反映では任意の $x\in\mathcal A$ に対し終域の試験対象を $Fx$ とする。$F$ のHom同型により、終域の指定比較射は $\mathcal A(L,x)\to\lim_j\mathcal A(Dj,x)$ と同型な射になる。前者が同型なら後者も同型であり、全ての $x$ で元の豊穣普遍性が成り立つ。$\square$

この命題では、本質的全射性が保存の側で使われている。豊穣充満忠実な包含だけでは、元の圏で試験できなかった新しい終域が増え、余極限性を失う可能性がある。反映の側には充満忠実性だけで足りる。既存の充満忠実関手(豊穣圏) の命題「充満忠実関手は極限を反映する」の双対と同じ構造だが、上では指定余錐の対応まで含めて同値による両方向を示した。
空図式を代入すれば、豊穣始対象を保ち反映することが分かる。通常の始対象の輸送は圏同値の命題「圏同値は始対象を保ち反映する」にあるが、豊穣版ではHom対象が基礎圏の終対象になるという強い条件が移る。単に台圏の唯一の射が移るだけではない。

加法的な圏での同値の読み方

体 $k$ 上の有限次元ベクトル空間を、線形写像の $k$-ベクトル空間によって豊穣化する。対象を全ての有限次元空間とする圏と、対象を $k^n$（$n\geq0$）に限る充満部分圏の間には豊穣同値がある。各有限次元空間で基底を選ぶと $k^n$ との同型が得られ、Hom対象の同型は線形写像をその基底で行列表示する操作である。
合成は行列積に、単位は単位行列に対応する。加法とスカラー倍は成分ごとに保存されるので、Hom対象は単なる写像集合としてでなく $k$-ベクトル空間として同型になる。基底の変更は可逆行列で左右から掛ける変換になり、その変換が準逆の式に現れる共役操作に一致する。対象を標準形に置き換えて計算できるのは、ここでHom構造まで運んでいるためである。
これに対し、$k$ と $M_n(k)$ をそれぞれ一対象の $k$-線形豊穣圏とした場合、$n>1$ では豊穣同値にならない。Homベクトル空間の次元が $1$ と $n^2$ で異なり、Hom同型が存在しないからである。加群圏のMorita同値とは、比較している対象の圏が違う。この区別をしないと、一対象環の豊穣同値と表現の圏の同値を混同する。
さらに、豊穣同値は対象集合の一致を要求しない。前の二重表示の例では、同じ対象を二つの名前で持つことができ、名前の間の同型を通して一つの表示へ戻れる。必要なのは同型類の十分な代表とHom対象の同型であり、対象の文字列の一致ではない。計算のために対象を標準形へ減らす際の自由と、射の構造を保持する制約は両立する。

外す条件	反例	成り立たなくなること
Hom対象の同型	離散二元順序から二元鎖への全単射	台圏の同値でも豊穣圏同値ではない
本質的全射性	新しい非同型対象を加えた充満包含	全体の準逆を構成できない
比較する圏の指定	一対象の $k$ と $M_n(k)$	加群圏の同値から環自身の豊穣同値は従わない

同値の検証で固定すべき基礎圏

豊穣同値を調べるときは、まず基礎の対称モノイド閉圏を固定する。Hom対象が同型であるという条件は、その圏での同型であり、台集合の全単射や別の圏へ送った後の同型だけでは足りない。例えば順序を忘れる関手は、離散二点順序集合から二点鎖への単調な全単射を集合の同型へ送る。しかし元のPosでは逆写像が単調でなく、同型ではない。したがって、基礎圏を替えて得た同値から元の豊穣同値を戻すには、基礎圏の取り替え関手が同型を反映するという追加条件が必要になる。
対象の本質的全射性とHom対象の同型性は別々に確認する。前者だけでは各Homに残る順序や線形構造を検出できず、後者だけでは像の外にある対象を検出できない。実際、空の豊穣圏から非空の豊穣圏への関手は、対象の組が一つもないのでHomの同型条件を空虚に満たすが、本質的全射でない。この二条件を一緒に使うことで、対象と射の両方に必要な比較が揃う。