カラー近傍定理

各 $p\in\partial M$ に座標近傍 $(U_p,\varphi_p)$ をとり、$U_p$ の上のベクトル場 $X_p:=\partial/\partial x^n$（$\varphi_p$ の第 $n$ 座標の方向）を考える。$U_0:=\operatorname{Int}M$ とすると $\{U_0\}\cup\{U_p\}_{p\in\partial M}$ は $M$ の開被覆であり、これに従属する滑らかな 1 の分割 $\{\rho_0\}\cup\{\rho_p\}$ がある（境界付き多様体の 1 の分割の存在は Lee13 Theorem 2.23、p. 43）。$\rho_pX_p$ は $\operatorname{supp}\rho_p\subset U_p$ の外で $0$ とおけば $M$ 全体の滑らかなベクトル場になり、台が局所有限なので $X:=\sum_{p}\rho_pX_p$ は滑らかなベクトル場である。
$q\in\partial M$ とし、$q$ のまわりの座標近傍 $(U,\varphi)$ をとる。$\operatorname{supp}\rho_0\subset\operatorname{Int}M$ なので $\rho_0(q)=0$、したがって $\sum_p\rho_p(q)=1$ である。$\rho_p(q)>0$ となる各 $p$ について、$(X_p)_q$ は $\varphi_p$ の座標で成分 $(0,\dots,0,1)$ をもつので内向きであり、座標によらないことから $\varphi$ での第 $n$ 成分 $(X_p)_q^n$ は正である。よって $X_q^n=\sum_p\rho_p(q)(X_p)_q^n$ は、和が $1$ の非負の重みによる正の数の平均なので正であり、$X_q$ は内向きである。$\square$

要点：2 は、$\widetilde F^n>0$ なので境界から出た解の第 $n$ 座標が増え、すぐに $\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ に入ることによる。1 は、$t=0$ の近くでは延長した方程式の解の一意性、$t>0$ では $\operatorname{Int}M$ の中の積分曲線の一意性による。

段 1（$t=0$ の近く）．$p_0\in\partial M$ とし、lem-col-local の 2 の $(U,\varphi)$、$\widetilde F$、$\phi$、$B$、$\varepsilon$ をとる。$\partial M$ の座標を $u=\pi(\varphi(q))\in\mathbb{R}^{n-1}$（$\pi$ は最後の成分を落とす写像）とし、
$$ G(u,t):=\phi\bigl(t,(u,0)\bigr)\qquad\bigl((u,0)\in B,\ \lvert t\rvert<\varepsilon\bigr) $$
とおく。同補題の 1・2 により、$\varphi(q)=(u,0)\in B$、$0\le t<\varepsilon$ なら $(q,t)\in D$ かつ $\varphi(\Phi(q,t))=G(u,t)$ である。$G$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合の上の $C^\infty$ 級写像で、$G(u,0)=(u,0)$、$\partial_tG=\widetilde F\circ G$ なので、$u_0:=\pi(\varphi(p_0))$ での Jacobi 行列は
$$ DG(u_0,0)=\begin{pmatrix}I_{n-1}&*\\0&\widetilde F^n(\varphi(p_0))\end{pmatrix},\qquad\det DG(u_0,0)=\widetilde F^n(\varphi(p_0))>0 $$
である。逆関数定理により、$(u_0,0)$ の開近傍 $A=A'\times(-\varepsilon',\varepsilon')$（$A'\times\{0\}\subset B$、$\varepsilon'\le\varepsilon$）で $G|_A$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合 $G(A)$ への微分同相写像になるものがある。$G^n(u,0)=0$ かつ $\partial_tG^n=\widetilde F^n(G)>0$ なので、$A$ の上で $G^n(u,t)$ は $t$ と同じ符号をもつ。したがって $G$ は $A\cap\{t\ge0\}$ を $G(A)\cap\mathbb{H}^n$（$\subset W\cap\mathbb{H}^n\subset\varphi(U)$）の上へ写し、$\Phi$ は $(p_0,0)$ の $D$ における開近傍を、$p_0$ の $M$ における開近傍 $\varphi^{-1}(G(A)\cap\mathbb{H}^n)$ の上へ微分同相に写す（座標で書くと $G$ と $G^{-1}$ の制限である）。
段 2（$t>0$）．$(p,t)\in D$、$t>0$ とする。段 1 を $p_0=p$ として使い、$0< s<\min\{t,\varepsilon'\}$ をとる。$q$ が $p$ の近くにあり $\tau\ge s$ のとき、
$$ \tau< b_q\iff(\tau-s,\Phi(q,s))\in\mathcal{D},\qquad\text{そのとき}\quad\Phi(q,\tau)=\theta\bigl(\tau-s,\Phi(q,s)\bigr) $$
が成り立つ。

lem-col-inward で内向きの滑らかなベクトル場 $X$ をとり、prop-col-flowout の微分同相写像 $\Phi\colon D\to\Phi(D)$ を作る。残るのは、$D$ の中に $\{(p,t)\mid 0\le t<\delta(p)\}$ の形の集合を、滑らかな正の関数 $\delta$ で見つけることである。
各 $p\in\partial M$ について、$D$ は $(p,0)$ を含む開集合なので、$p$ の $\partial M$ における開近傍 $V_p$ と $\varepsilon_p>0$ で $V_p\times[0,\varepsilon_p)\subset D$ となるものがある。$\partial M$ は境界のない多様体なので、開被覆 $\{V_p\}$ に従属する滑らかな 1 の分割 $\{\rho_i\}_{i\in I}$ がある（1の分割 の定理「滑らかな 1 の分割の存在」）。$\operatorname{supp}\rho_i\subset V_{p_i}$ となる $p_i$ を選び、
$$ \delta:=\sum_{i\in I}\varepsilon_{p_i}\rho_i\colon\partial M\to(0,\infty) $$
とおく。台が局所有限なので $\delta$ は滑らかであり、$\sum_i\rho_i=1$ なので $\delta>0$ である。$q\in\partial M$ について、$\rho_i(q)>0$ となる $i$ は有限個で、そのどれについても $q\in V_{p_i}$ である。$\delta(q)$ はそれらの $\varepsilon_{p_i}$ の重み付き平均なので、その最大値 $\varepsilon_{p_j}$ 以下であり、$\{q\}\times[0,\delta(q))\subset\{q\}\times[0,\varepsilon_{p_j})\subset D$ となる。よって
$$ D_\delta:=\{(p,t)\in\partial M\times[0,\infty)\mid t<\delta(p)\}\subset D $$
である。$D_\delta$ は連続関数 $(p,t)\mapsto\delta(p)-t$ で正になる点の集合なので開集合である。
$\sigma(p,s):=(p,s\,\delta(p))$ は $\partial M\times[0,1)$ から $D_\delta$ への全単射で、逆写像は $(p,t)\mapsto(p,t/\delta(p))$ であり、どちらも滑らかである。したがって
$$ c:=\Phi\circ\sigma\colon\partial M\times[0,1)\to V:=\Phi(D_\delta) $$
は微分同相写像である。$\Phi$ は開集合 $D_\delta$ を開集合に写すので $V$ は $M$ の開集合であり、$c(p,0)=\Phi(p,0)=p$ なので $V\supset\partial M$ である。$\square$

$N$ は $M$ の開集合なので、$M$ の座標近傍を $N$ に制限したものを座標近傍とする滑らかな境界付き多様体であり、境界付き多様体 の定理「内部の点と境界の点は交わらない」により $\partial N=N\cap\partial M=\partial M$ である。thm-col-main を $N$ に使えば、$N$ の開集合 $V$ と微分同相写像 $c\colon\partial M\times[0,1)\to V$ が得られる。$V$ は $M$ の開集合でもあるので、これが求めるカラーである。$\square$

thm-col-main のカラー $c\colon\partial M\times[0,1)\to V$ をとり、$\tau\colon V\to[0,1)$ を $c^{-1}$ の第 2 成分とする。$\{V,\operatorname{Int}M\}$ は $M$ の開被覆なので、これに従属する滑らかな 1 の分割 $\{\psi,1-\psi\}$（$\operatorname{supp}\psi\subset V$、$\operatorname{supp}(1-\psi)\subset\operatorname{Int}M$）がある（Lee13 Theorem 2.23）。
$$ f:=\psi\,\tau+(1-\psi) $$
とおく（$\psi\tau$ は $V$ の外で $0$ とする）。$f\ge0$ である。$p\in\partial M$ では $1-\psi$ の台の外にあるので $\psi(p)=1$、$\tau(p)=0$ で $f(p)=0$ である。$p\notin\partial M$ なら、$\psi(p)<1$ のとき $1-\psi(p)>0$ から、$\psi(p)=1$ のとき $p\in V\setminus\partial M$ で $\tau(p)>0$ から、$f(p)>0$ である。よって $f^{-1}(0)=\partial M$ である。閉集合 $\operatorname{supp}(1-\psi)$ は $\partial M$ と交わらないので、$\partial M$ のある開近傍の上で $\psi=1$、$f=\tau$ である。$\tau$ はカラーの座標 $(p,t)$ で $t$ そのものであり、$\partial/\partial t$ は境界で内向きなので $df_p\ne0$ である。

カラー $c\colon\partial M\times[0,1)\to V$ をとる。連続関数 $\lambda\colon[0,1)\to(0,1)$ を $0\le t\le1/2$ で $\lambda(t)=1/4+t/2$、$1/2\le t<1$ で $\lambda(t)=t$ と定める。$K:=c(\partial M\times[0,1/2])$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトであり、Hausdorff 空間 $M$ の閉集合である。$s\in[0,1]$ について
$$ H_s(x):=\begin{cases}c\bigl(p,(1-s)t+s\lambda(t)\bigr)&x=c(p,t)\in V,\\ x&x\in M\setminus K\end{cases} $$
とおく。重なり $V\setminus K=c(\partial M\times(1/2,1))$ の上では $\lambda(t)=t$ なので 2 つの式は一致し、$V$ と $M\setminus K$ は $M$ を覆う開集合なので、$H\colon M\times[0,1]\to M$ は連続である。$H_0=\mathrm{id}_M$ であり、$r:=H_1$ は $\lambda>0$ なので $\operatorname{Int}M$ に値をとる。$r$ を $\operatorname{Int}M$ への写像とみると、$\iota\circ r=H_1$ は $H$ により $\mathrm{id}_M$ とホモトピックである。$t>0$ なら $(1-s)t+s\lambda(t)>0$ なので $H_s(\operatorname{Int}M)\subset\operatorname{Int}M$ であり、$H$ を $\operatorname{Int}M\times[0,1]$ に制限すると $r\circ\iota$ と $\mathrm{id}_{\operatorname{Int}M}$ のホモトピーになる。$\square$