Riemann沈め込み

同義語：リーマン沈め込みRiemannian submersion

概要

前提知識: リーマン多様体, 沈め込み, Levi-Civita接続, 断面曲率

リーマン沈め込みは、全空間の接空間をファイバーに沿う垂直方向とそれに直交する水平方向に分け、水平方向の長さと角度を底空間へそのまま移す写像である。単なる沈め込みに計量条件を加えた概念であり、積多様体の射影、等長群作用による商、Hopfファイブレーションなどを統一して扱う。
全空間の曲率と底空間・ファイバーの曲率の差は、O'Neill のテンソル $A,T$ によって測られる。$A$ は主に水平分布の非可積分性を、$T$ はファイバーが全空間の中でどれだけ曲がっているかを表す。本記事では正定値のリーマン計量に限定し、曲率テンソルの符号規約を固定して、水平平面と垂直平面に対する曲率公式を述べる。

定義

$(M,g_M)$ と $(B,g_B)$ をリーマン多様体とし、$\pi\colon M\to B$ を全射な滑らかな沈め込みとする。各 $p\in M$ において
$$ \mathcal V_p:=\ker(d\pi_p),\qquad \mathcal H_p:=\mathcal V_p^{\perp} $$
とおき、それぞれ垂直空間、水平空間という。正定値性により
$$ T_pM=\mathcal V_p\oplus\mathcal H_p $$
である。対応する直交射影を $\mathcal V,\mathcal H$ と書く。垂直分布 $\mathcal V$ は $\pi$ のファイバーの接分布なので常に可積分であるが、水平分布 $\mathcal H$ は一般には可積分でない。

Riemann沈め込み

$\pi\colon(M,g_M)\to(B,g_B)$ がRiemann沈め込み（リーマン沈め込み、Riemannian submersion）であるとは、すべての $p\in M$ について
$$ d\pi_p\big|_{\mathcal H_p}\colon (\mathcal H_p,g_M) \longrightarrow (T_{\pi(p)}B,g_B) $$
が線形等長写像であることをいう。すなわち、任意の $X,Y\in\mathcal H_p$ に対して
$$ g_M(X,Y)=g_B(d\pi_pX,d\pi_pY) $$
が成り立つ。

水平ベクトル場 $X$ が $B$ 上のベクトル場 $\bar X$ と $\pi$-関連、すなわち
$$ d\pi_p(X_p)=\bar X_{\pi(p)} $$
を満たすとき、$X$ を基本水平ベクトル場という。基本水平ベクトル場どうしの内積は底空間の関数の引き戻しである。

O'Neillのテンソル

$\nabla$ を $(M,g_M)$ の Levi-Civita 接続とする。任意のベクトル場 $E,F$ に対して
$$ \begin{aligned} T_EF&:=\mathcal H\nabla_{\mathcal VE}(\mathcal VF) +\mathcal V\nabla_{\mathcal VE}(\mathcal HF),\\ A_EF&:=\mathcal V\nabla_{\mathcal HE}(\mathcal HF) +\mathcal H\nabla_{\mathcal HE}(\mathcal VF) \end{aligned} $$
と定める。これらを O'Neill のテンソルという。この定義では、第1引数について
$$ T_E=T_{\mathcal VE},\qquad A_E=A_{\mathcal HE} $$
である。また、垂直場 $U,V$ と水平場 $X,Y$ に対して
$$ T_UV=\mathcal H\nabla_UV,\qquad T_UX=\mathcal V\nabla_UX,\qquad A_XY=\mathcal V\nabla_XY,\qquad A_XU=\mathcal H\nabla_XU $$
となる。特に $T_UV$ はファイバー $\pi^{-1}(b)$ の第二基本形式そのものである。
文献によっては $A,T$ の符号、曲率テンソルの符号、あるいは文字の役割が異なる。本記事では上の定義と後述の曲率規約を一貫して用いる。

例と反例

積射影

リーマン多様体 $(B,g_B)$、$(F,g_F)$ の積に積計量 $g_B\oplus g_F$ を入れると、射影
$$ \operatorname{pr}_B\colon B\times F\longrightarrow B $$
はリーマン沈め込みである。水平空間は $T_bB\oplus0$、垂直空間は $0\oplus T_fF$ であり、積の Levi-Civita 接続は成分ごとに作用する。したがって $A=0$ かつ $T=0$ である。

等長群作用による商

Lie 群 $G$ が $(M,g_M)$ に自由かつ固有に等長的に作用するとする。商 $M/G$ は滑らかな多様体となり、商写像 $\pi\colon M\to M/G$ の水平空間を軌道の接空間の直交補空間とすることで、$\pi$ がリーマン沈め込みになる計量が $M/G$ 上に一意に定まる。標準的な Hopf ファイブレーション $S^3\to\mathbb{CP}^1$ はこの構成の例である。

反例：沈め込みでも計量を保たない

標準 Euclid 計量を入れた $\mathbb R^2$ と $\mathbb R$ の間の写像
$$ \pi(x,y)=2x $$
は全射な沈め込みである。垂直空間は $y$ 軸方向、水平空間は $x$ 軸方向であるが、水平単位ベクトル $\partial_x$ に対して $d\pi(\partial_x)=2\partial_t$ となり、長さが $1$ から $2$ に変わる。よってこれはリーマン沈め込みではない。この例は「全射な沈め込み」という微分位相的条件だけでは、水平計量を保つという条件は従わないことを示す。

基本性質

$T$の対称性

垂直ベクトル場 $U,V$ に対して
$$ T_UV=T_VU $$
が成り立つ。

Levi-Civita 接続は捩率をもたないので $\nabla_UV-\nabla_VU=[U,V]$ である。垂直分布はファイバーの接分布だから $[U,V]$ も垂直であり、$\mathcal H[U,V]=0$ である。したがって
$$ T_UV-T_VU =\mathcal H(\nabla_UV-\nabla_VU) =\mathcal H[U,V]=0 $$
を得る。$\square$

$T$と全測地的ファイバー

$T\equiv0$ であることと、$\pi$ のすべてのファイバーが $(M,g_M)$ の全測地的部分多様体であることは同値である。

ファイバーの第二基本形式は、垂直ベクトル場 $U,V$ に対する
$$ \mathrm{II}(U,V)=\mathcal H\nabla_UV=T_UV $$
である。したがって $T\equiv0$ なら各ファイバーは全測地的である。
逆に各ファイバーが全測地的なら $T_UV=0$ である。水平場 $X$ と垂直場 $U,V$ に対し、計量接続性と $g_M(X,V)=0$ から
$$ g_M(T_UX,V)=g_M(\nabla_UX,V)=-g_M(X,\nabla_UV)=-g_M(X,T_UV)=0 $$
となる。$T_UX$ は垂直で、上式は任意の垂直 $V$ に対して成り立つので $T_UX=0$ である。第1引数の垂直成分と第2引数の水平・垂直分解を用いれば、任意の $E,F$ に対して $T_EF=0$ が従う。$\square$

$A$と水平分布の非可積分性

基本水平ベクトル場 $X,Y$ に対して
$$ A_XY=\frac12\mathcal V[X,Y] $$
が成り立つ。したがって $A_XY=-A_YX$ であり、水平分布 $\mathcal H$ が可積分であることと、すべての水平ベクトル $X,Y$ に対して $A_XY=0$ であることは同値である。

$U$ を垂直ベクトル場とする。$X,Y$ は基本水平場なので $[U,X]$ と $[U,Y]$ は垂直であり、$g_M(X,Y)$ は底空間上の関数の引き戻しだから $U(g_M(X,Y))=0$ である。Koszul の公式にこれらを代入すると
$$ 2g_M(\nabla_XY,U)=g_M([X,Y],U) $$
を得る。$A_XY=\mathcal V\nabla_XY$ であり、これは任意の垂直 $U$ に対して成り立つから
$$ A_XY=\frac12\mathcal V[X,Y] $$
である。反対称性も直ちに従う。
水平分布が可積分なら水平場の括弧は水平なので $A_XY=0$ である。逆に $A$ が水平ベクトルの対で消えるとする。各点の水平ベクトルは局所的な基本水平場に延長できるので、上の公式から任意の水平場 $X,Y$ に対して $\mathcal V[X,Y]=0$ となる。Frobenius の定理により $\mathcal H$ は可積分である。$\square$

曲率公式

符号を明確にするため、本記事では
$$ R^M(E,F)G =\nabla_E\nabla_FG-\nabla_F\nabla_EG-\nabla_{[E,F]}G $$
とし、線形独立な $E,F$ が張る平面の断面曲率を
$$ K_M(E,F) =\frac{g_M(R^M(E,F)F,E)}{\| E\|^2\| F\|^2-g_M(E,F)^2} $$
と定める。$\| E\wedge F\|^2:=\| E\|^2\| F\|^2-g_M(E,F)^2$ と略記する。$B$ とファイバーにも同じ規約を用いる。

O'Neillの水平・垂直曲率公式

$X,Y$ を線形独立な水平ベクトルとし、$\bar X=d\pi(X)$、$\bar Y=d\pi(Y)$ とする。このとき
$$ K_B(\bar X,\bar Y) =K_M(X,Y)+3\frac{\| A_XY\|^2}{\| X\wedge Y\|^2} $$
である。
また、$U,V$ を同じファイバー $F=\pi^{-1}(b)$ に接する線形独立な垂直ベクトルとすると
$$ K_M(U,V) =K_F(U,V) +\frac{\| T_UV\|^2-g_M(T_UU,T_VV)}{\| U\wedge V\|^2} $$
である。ここで $K_F$ は誘導計量を入れたファイバーの断面曲率である。

出典と符号

これらは O'Neill の基本方程式として知られる結果である（ONe66）。水平公式は Lee18 Problem 7-14、垂直公式は同書 Theorem 8.5 のGauss方程式により、この $R$ と $K$ の規約で述べられる。ここでは曲率公式の証明を行わない。曲率テンソルを本記事の $R$ の負で定める文献では、断面曲率も同時に符号が反転する。式だけを別の文献から移すのではなく、$R$、$A$、$T$ の3つの規約をそろえて比較する必要がある。

水平公式の右辺の補正項は非負である。特に $X,Y$ が正規直交なら
$$ K_B(\bar X,\bar Y)=K_M(X,Y)+3\| A_XY\|^2 =K_M(X,Y)+\frac34\|\mathcal V[X,Y]\|^2. $$
したがって、底空間の曲率が全空間の水平断面曲率より大きくなる差は、水平分布の非可積分性によって正確に測られる。
一方、垂直公式はファイバーに対する Gauss 方程式である。$T=0$、すなわちファイバーが全測地的なら補正項は消え、垂直平面について $K_M(U,V)=K_F(U,V)$ となる。一般には $\| T_UV\|^2$ と $g_M(T_UU,T_VV)$ の差の符号は一定でない。

注意

リーマン沈め込みの条件は水平ベクトルについてだけ課される。垂直ベクトルは $d\pi$ で $0$ に送られるので、$d\pi$ が接空間全体の等長写像である必要はない。
$T=0$ はファイバーが全測地的であることを表し、$A=0$ は水平分布が可積分であることを表す。両者は独立の条件である。
文献には $\mathcal H$ と $\mathcal V$ を入れ替えた $A,T$ の定義が混在する。曲率公式を用いる前に、採用している定義を必ず確認する必要がある。
混合平面の曲率、Ricci 曲率、スカラー曲率の分解には $A,T$ の共変微分や平均曲率が現れる。本記事では符号規約の違いによる誤用を避けるため、O'Neill の基本的な水平・垂直公式までを扱う。

計量を忘れた沈め込みとの違い

沈め込みという条件は微分の全射性を述べるだけなので、底空間の計量を変更しても保たれる。これに対しリーマン沈め込みは、水平な接ベクトルを底空間へ送ったとき長さと角度を保つことを要求する。垂直ベクトルはすべて零へ送られるから、接空間全体の等長写像ではない。次元が下がる写像でありながら水平な方向だけは正確に測れる、という点が定義の核心である。
底の計量を総空間から決めるには、同じファイバーの異なる点で水平持ち上げを使って測った長さが一致しなければならない。たとえば $\pi(x,y)=x$ に対して総空間の計量を $g=e^{2y}dx^2+dy^2$ とすると、水平空間は $\partial_x$ で張られるが、その長さは $e^y$ である。底の一点 $x$ に対する長さがファイバーの位置 $y$ に依存するため、底にどの計量を置いても、この射影をリーマン沈め込みにはできない。微分が全射であることだけから商の計量が得られるわけではない。
等長な群作用の例で重要なのは、同じファイバー内の点を結ぶ群作用が水平空間も長さを保って移すことである。垂直空間は微分の核だから群作用で保たれ、その直交補空間も保たれる。そこで底のベクトルをどの点で水平に持ち上げても内積は同じになる。滑らかな局所切断上で計量を計算すれば滑らかさも確かめられる。この構成は Lee18 Theorem 2.28 と Corollary 2.29 の内容である。商の滑らかな多様体構造の存在は、自由かつ固有な作用という別の仮定を必要とする。

水平ベクトル場と基本ベクトル場

水平であることは各点における条件であり、基本ベクトル場であることは底の同じベクトル場に関連するという条件である。この二つを混同すると、底の接続を持ち上げる計算が使えなくなる。Euclid平面の射影 $\pi(x,y)=x$ では $y\partial_x$ は水平だが、像 $y\partial_x$ は同じファイバーの点で変わるので、底のベクトル場の持ち上げではない。一方、$a(x)\partial_x$ は基本ベクトル場である。
底の滑らかなベクトル場 $\bar X$ の水平持ち上げは、各点で $d\pi|_{\mathcal H}$ の逆を適用して一意に定まる。その逆行列は局所的に滑らかだから持ち上げも滑らかである。点における任意の水平ベクトルは、底の局所ベクトル場を選んで持ち上げたものの値として実現できる。したがってテンソルの一点での値を計算する際には基本ベクトル場を使ってよいが、任意の水平ベクトル場そのものが基本的とは限らない。この区別は Lee18 Proposition 2.25 と Exercise 2.26 に対応する。

曲線の長さと関数の勾配

射影は曲線の長さを増やさない

リーマン沈め込み $\pi$ と区分的に滑らかな曲線 $c$ に対し、$L_B(\pi\circ c)\le L_M(c)$ である。両多様体が連結なら、距離についても $d_B(\pi(p),\pi(q))\le d_M(p,q)$ である。

各滑らかな区間で $\dot c=\dot c^{\mathcal H}+\dot c^{\mathcal V}$ と直交分解する。垂直成分は射影で消え、水平成分の長さは保存されるから
$$ \|d\pi(\dot c)\|_B=\|\dot c^{\mathcal H}\|_M \le\sqrt{\|\dot c^{\mathcal H}\|_M^2+\|\dot c^{\mathcal V}\|_M^2} =\|\dot c\|_M. $$
各区間で積分して足せば長さの不等式を得る。$p,q$ を結ぶ各曲線について底の距離はその射影の長さ以下なので、総空間の曲線の長さの下限を取れば距離の不等式が従う。$\square$

この命題は、射影後に距離が必ず等しいと述べているのではない。積 $B\times F$ で同じファイバー上の異なる点を取れば、底の距離は零でも総空間の距離は正になる。曲線の長さが等しくなるのは、その速度の垂直成分が零である場合である。区分的に滑らかな曲線では速度が連続な各区間上で非負の差の積分が零なら、その差は各点で零となるため、この条件は必要でもある。射影が長さを失う量は、ファイバー方向への運動から生じる。

引き戻した関数の勾配

$f\colon B\to\mathbb R$ が滑らかなら、$\operatorname{grad}_M(f\circ\pi)$ は $\operatorname{grad}_B f$ の水平持ち上げである。特にその長さは $\|\operatorname{grad}_B f\|\circ\pi$ に等しい。

$Z$ を底の勾配の水平持ち上げとする。任意の接ベクトル $E=E^{\mathcal H}+E^{\mathcal V}$ に対し、直交性と水平部分の等長性により
$$ g_M(Z,E)=g_B(\operatorname{grad}_B f,d\pi(E^{\mathcal H})) =df(d\pi(E))=d(f\circ\pi)(E). $$
勾配はこの等式をすべての $E$ に対して満たす唯一のベクトルなので、主張が従う。水平ベクトルの長さの保存を適用すれば最後の等式も得られる。$\square$

関数の引き戻しはファイバーに沿って一定になるため、その微分は垂直方向を消す。この性質は微分形式の引き戻しだけでも分かるが、勾配というベクトル場に戻すには計量が必要である。底と総空間の計量が水平部分で一致することによって、微分の引き戻しと勾配の持ち上げが結び付く。Laplace作用素まで同様に交換するにはファイバーの平均曲率などが関与し、この勾配の等式だけでは足りない。

仮定を外したとき

外す条件	反例	成り立たなくなること
水平部分の等長性	Euclid計量で $\pi(x,y)=2x$	水平な単位ベクトルの像の長さが2になり、長さの不等式も破れる
底の計量がファイバー上で整合すること	$g=e^{2y}dx^2+dy^2$ と $\pi(x,y)=x$	底の同じベクトルにファイバーの各点で異なる長さが割り当てられる
水平ベクトル場が基本的であること	$\pi(x,y)=x$ と $y\partial_x$	底の一つのベクトル場へ射影できない
水平曲線であること	積多様体のファイバー内の非定数曲線	射影前後の曲線の長さが等しいとは限らない

定義・持ち上げ・計量の構成は Lee18 §2 の「Riemannian Submersions」で扱われる。水平曲率の公式は同書 Problem 7-14、垂直曲率の公式は Theorem 8.5 のGauss方程式に対応する。曲率公式の証明はここでは行わない。曲率テンソルそのものの符号と、断面曲率を取り出す引数の順序を一組として固定してから適用することが必要である。