領域理論

$\downarrow y:=\{x\mid x\le y\}$ は Scott 閉である（下に閉じていて、含まれる有向集合の上限は $y$ 以下）。1：$x\le y$ なら、Scott 開集合は上に閉じているので $x\in U$ から $y\in U$。逆に $x\not\le y$ なら $D\setminus\downarrow y$ は $x$ を含み $y$ を含まない Scott 開集合である。2：$x\ne y$ なら $x\not\le y$ か $y\not\le x$ なので、1 から一方だけを含む開集合がある。3：順序が自明なら有向集合は 1 点集合だけなので、すべての部分集合が Scott 開であり、離散位相は Hausdorff である。$x< y$ なら、1 により $x$ のどの開近傍も $y$ を含むので、$x,y$ は開集合で分離できない。$\square$

1 ⇒ 2．$U\subset E$ を Scott 開集合とする。$f$ は単調で $U$ は上に閉じているので、$f^{-1}(U)$ は上に閉じている。有向集合 $A\subset D$ が $\bigsqcup A\in f^{-1}(U)$ をみたすとすると、$\bigsqcup f(A)=f\bigl(\bigsqcup A\bigr)\in U$ であり、$f(A)$ は有向なので $f(a)\in U$ となる $a\in A$ がある。よって $A\cap f^{-1}(U)\ne\emptyset$ であり、$f^{-1}(U)$ は Scott 開である。
2 ⇒ 1．まず単調性を示す。$x\le x'$ とする。$\downarrow f(x')$ は Scott 閉なので、$f^{-1}(\downarrow f(x'))$ は $x'$ を含む Scott 閉集合であり、下に閉じているので $x$ を含む。すなわち $f(x)\le f(x')$ である。次に有向集合 $A\subset D$ をとり、$s:=\bigsqcup f(A)$ とおく。単調性から $f(a)\le f\bigl(\bigsqcup A\bigr)$ なので $s\le f\bigl(\bigsqcup A\bigr)$ である。逆に、$f^{-1}(\downarrow s)$ は Scott 閉で $A$ を含むので、$\bigsqcup A$ を含む。すなわち $f\bigl(\bigsqcup A\bigr)\le s$ である。$\square$

連続なら、有向集合 $\{(a,y)\mid a\in A\}$ の上限は $\bigl(\bigsqcup A,y\bigr)$ なので、各変数について連続である。逆を示す。$(x,y)\le(x',y')$ なら $h(x,y)\le h(x',y)\le h(x',y')$ なので $h$ は単調である。有向集合 $A\subset D\times E$ とその射影 $A_1,A_2$ について、変数ごとの連続性を 2 回使うと
$$ h\Bigl(\bigsqcup A\Bigr)=h\Bigl(\bigsqcup A_1,\bigsqcup A_2\Bigr)=\bigsqcup_{x\in A_1}\ \bigsqcup_{y\in A_2}h(x,y) $$
である。$A\subset A_1\times A_2$ なので右辺は $\bigsqcup h(A)$ 以上である。逆に $x\in A_1$、$y\in A_2$ なら $(x,y'),(x',y)\in A$ となる $x',y'$ があり、$A$ の有向性からその共通の上界 $(x'',y'')\in A$ があって $h(x,y)\le h(x'',y'')$ である。よって右辺は $\bigsqcup h(A)$ 以下である。$\square$

各 $x$ で $\{f(x)\mid f\in\mathcal F\}$ は有向なので $g(x)$ は定まり、$g$ は単調である。有向集合 $A\subset D$ について
$$ g\Bigl(\bigsqcup A\Bigr)=\bigsqcup_{f\in\mathcal F}\ \bigsqcup_{a\in A}f(a)=\bigsqcup_{a\in A}\ \bigsqcup_{f\in\mathcal F}f(a)=\bigsqcup_{a\in A}g(a) $$
である（2 番目の等号は、両辺がともに $\{f(a)\mid f\in\mathcal F,\,a\in A\}$ の上限であることによる）。よって $g\in[D\to E]$ であり、点ごとの順序で $\mathcal F$ の最小の上界である。$\square$

1．lem-dt-separate により各変数について示せばよい。$f$ について連続であることは、$[D\to E]$ の有向族の上限が点ごとにとられること（prop-dt-function-space）による。$x$ について連続であることは、$[D\to E]$ の元が連続写像であることそのものである。
2．lem-dt-separate により $h(z,-)$ は連続なので $\Lambda h$ は $[D\to E]$ への写像として定まり、$h(-,x)$ の単調性から単調である。有向集合 $Z\subset F$ について、各 $x$ で
$$ (\Lambda h)\Bigl(\bigsqcup Z\Bigr)(x)=h\Bigl(\bigsqcup Z,x\Bigr)=\bigsqcup_{z\in Z}h(z,x) $$
であり、prop-dt-function-space により右辺は $\bigsqcup_{z\in Z}(\Lambda h)(z)$ の $x$ での値である。よって $\Lambda h$ は連続である。$\mathrm{ev}((\Lambda h)(z),x)=h(z,x)$ は定義どおりであり、$\mathrm{ev}\circ(k\times\mathrm{id}_D)=h$ なら $k(z)(x)=h(z,x)$ がすべての $z,x$ で成り立つので $k=\Lambda h$ である。
1 点の dcpo への写像はただ 1 つで連続である。$D\times E$ が圏の直積であることは、射影が連続で、連続写像 $f,g$ の組 $\langle f,g\rangle$ が連続であり、射影と合成して $f,g$ に戻る写像がそれに限ることによる。1 と 2 は $[D\to E]$ と $\mathrm{ev}$ が冪対象の普遍性をもつことを述べている。$\square$

$\mathrm{it}_n(f):=f^n(\bot)$ とおく。$\mathrm{it}_0$ は定数写像 $\bot$ なので連続である。$\mathrm{it}_n$ が連続なら、$\mathrm{it}_{n+1}=\mathrm{ev}\circ\langle\mathrm{id},\mathrm{it}_n\rangle$ は連続写像の合成なので連続である（thm-dt-ccc の 1）。よって各 $\mathrm{it}_n$ は $\bigl[\,[D\to D]\to D\,\bigr]$ の元である。Kleeneの不動点定理 の証明の第 1 段により、各 $f$ で $\mathrm{it}_n(f)\le\mathrm{it}_{n+1}(f)$ なので $(\mathrm{it}_n)_n$ は鎖、とくに有向族であり、prop-dt-function-space によりその上限は点ごとの上限 $f\mapsto\bigsqcup_nf^n(\bot)=\operatorname{fix}(f)$ で、連続である。$\square$

1．イデアルの有向族 $\{I_k\}$ の和集合 $\bigcup_kI_k$ は下に閉じていて空でなく、2 元はそれぞれ $I_{k_1},I_{k_2}$ に属し、両者を含む $I_{k_3}$ の中で上界をもつので、イデアルである。これが上限なので $\operatorname{Idl}(P)$ は dcpo である。$\downarrow p\subset\bigcup_kI_k$ なら $p\in I_k$ となる $k$ があり、$I_k$ は下に閉じているので $\downarrow p\subset I_k$ である。よって主イデアルはコンパクト元である。任意のイデアル $I$ について $\{\downarrow p\mid p\in I\}$ は（$I$ が有向なので）有向で、和集合は $I$ である。したがって主イデアルの全体は基底であり、$\operatorname{Idl}(P)$ は代数的領域である。逆に $I$ がコンパクト元なら、$I\subset\bigcup_{p\in I}\downarrow p$ から $I\subset\downarrow p$ となる $p\in I$ があり、$I=\downarrow p$ である。$p\le q\iff\downarrow p\subset\downarrow q$ なので、$p\mapsto\downarrow p$ は順序同型である。
2．上で見たとおり $K_x$ は有向で、下に閉じており、$\bigsqcup K_x=x$ である。よって $\varphi(x):=K_x$ は $\operatorname{Idl}(K(D))$ の元で、$\psi(I):=\bigsqcup I$ について $\psi\varphi=\mathrm{id}_D$ である。逆に $I$ をイデアルとすると $I\subset K_{\bigsqcup I}$ は明らかである。$c\in K(D)$、$c\le\bigsqcup I$ なら、$c\ll c$ から $c\le a$ となる $a\in I$ があり、$I$ は下に閉じているので $c\in I$ である。よって $\varphi\psi=\mathrm{id}$ である。$\varphi,\psi$ はともに単調なので、順序同型である。$\square$