終結式

1. 行列式の Leibniz の公式（行列式 の記事の定義「Leibnizの公式による定義」）の各項は、各行から 1 つずつ成分を選んだ積に $\pm1$ を掛けたものである。上の $m$ 行の成分は $a_i$ か $0$、下の $n$ 行の成分は $b_j$ か $0$ なので、各項は $a$ について $m$ 次、$b$ について $n$ 次の単項式か $0$ である。
2. 1 により終結式は係数の整数係数の多項式で、$\varphi$ は和と積を保つ。$\operatorname{Syl}_{n,m}(\varphi f,\varphi g)$ は $\operatorname{Syl}_{n,m}(f,g)$ の各成分に $\varphi$ を施したものなので、主張が従う。
3. $\operatorname{Syl}_{m,n}(g,f)$ は、$\operatorname{Syl}_{n,m}(f,g)$ の下の $n$ 行を上の $m$ 行の上へ移したものである。$n$ 行のそれぞれが $m$ 行を 1 行ずつ追い越すので、隣り合う行の入れ替えを $nm$ 回行うことになり、行列式は $(-1)^{nm}$ 倍になる。
4. 第 1 列の成分は、第 1 行（$m\ge1$ のとき）の $a_n$ と第 $m+1$ 行（$n\ge1$ のとき）の $b_m$ のほかはすべて $0$ である。$a_n=b_m=0$ なら第 1 列が $0$ なので行列式は $0$ である。$\square$

$S:=\operatorname{Syl}_{n,m}(f,g)$、$N:=n+m$ とし、$A[x]$ の元を成分とする列ベクトル $X:=(x^{N-1},x^{N-2},\dots,x,1)^{\top}$ を考える。$S$ の各行は $x^{m-k}f$ または $x^{n-l}g$ の係数を $x^{N-1},\dots,1$ の順に並べたものなので、
$$ SX=\bigl(x^{m-1}f,\ \dots,\ xf,\ f,\ x^{n-1}g,\ \dots,\ xg,\ g\bigr)^{\top} $$
である。$\operatorname{adj}S$ を $S$ の余因子行列とすると $(\operatorname{adj}S)S=(\det S)I_N$ が成り立つ（行列式 の記事の定理「余因子行列と逆行列の公式」。この定理は体の上で $N\ge2$ の場合に述べられているが、$N=1$ なら $\operatorname{adj}S=(1)$ で等式は明らかである。$N\ge2$ のとき、この等式の両辺の各成分は $S$ の成分の整数係数の多項式であり、成分を変数とする有理関数体の上で等しいので、整数係数の多項式として等しい。そこで成分に $A$ の元を代入すれば、任意の可換環の上でも成り立つ）。左から $\operatorname{adj}S$ を掛けると $(\det S)X=(\operatorname{adj}S)SX$ であり、最後の成分を比べると
$$ \det S=\sum_{k=1}^{m}(\operatorname{adj}S)_{N,k}\,x^{m-k}f+\sum_{l=1}^{n}(\operatorname{adj}S)_{N,m+l}\,x^{n-l}g $$
を得る。$u:=\sum_k(\operatorname{adj}S)_{N,k}x^{m-k}$、$v:=\sum_l(\operatorname{adj}S)_{N,m+l}x^{n-l}$ とおけば、次数の条件も満たされる。
後半：$u f+vg=\operatorname{Res}_{n,m}(f,g)$ の $x$ に $\gamma$ を代入すると、左辺は $0$ になる。$\square$

$V_k$ を次数が $k$ 未満の多項式のなす $K$ 上のベクトル空間とし、線形写像
$$ \Psi\colon V_m\times V_n\to V_{n+m},\qquad(u,v)\mapsto uf+vg $$
を考える。$u=\sum_{k=1}^mu_kx^{m-k}$、$v=\sum_{l=1}^nv_lx^{n-l}$ と書くと、$uf+vg=\sum_ku_k\,x^{m-k}f+\sum_lv_l\,x^{n-l}g$ の係数を $x^{N-1},\dots,1$ の順に並べた行ベクトルは $(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)\operatorname{Syl}_{n,m}(f,g)$ である。よって、$\Psi$ が単射であることは $\operatorname{Syl}_{n,m}(f,g)$ が正則であること、すなわち 1 が成り立たないことと同値である（行列式 の記事の定理「正則性の判定」）。
2 ⇒ 1：$d$ を次数 $1$ 以上の共通の約数とし、$f=df_1$、$g=dg_1$ と書く。$\deg f_1=n-\deg d\le n-1$、$f_1\ne0$ であり、$g_1$ は $0$ か次数 $m-1$ 以下である。$(u,v):=(g_1,-f_1)$ は $0$ でなく、$uf+vg=g_1df_1-f_1dg_1=0$ なので $\Psi$ は単射でない。
1 ⇒ 2：$\Psi$ が単射でないので、$uf+vg=0$ となる $(u,v)\ne(0,0)$ がある。$v=0$ なら $uf=0$ と $f\ne0$ から $u=0$ となるので、$v\ne0$ である。$f$ と $g$ の最大公約数が $1$ だと仮定すると、$sf+tg=1$ となる $s,t\in K[x]$ があり（多項式 の記事の定理「Euclid の互除法と Bézout 表示」）、$v=svf+tvg=svf-tuf$ は $f$ で割り切れる。ところが $0\ne v$ の次数は $n-1$ 以下で $\deg f=n$ より小さいので、これは起こらない。よって最大公約数は次数 $1$ 以上であり、2 が成り立つ。
2 ⇒ 3：次数 $1$ 以上の共通の約数は、ある拡大体の中に根をもつ（分解体 の記事の定理「分解体の存在」）。その根は $f,g$ の共通の根である。
3 ⇒ 1：thm-res-bezout の後半による。
$b_m\ne0$ の場合は、prop-res-basic の 3 により $f$ と $g$ を入れ替えて同じ議論をすればよい。$\square$

段 1（根が変数の場合）　$R:=\mathbb{Z}[a,b,t_1,\dots,t_n,u_1,\dots,u_m]$ を $n+m+2$ 変数の多項式環とする。$R$ は整域である。$F:=a\prod_i(x-t_i)$、$G:=b\prod_j(x-u_j)$ を形式的な次数 $n,m$ の多項式と見て、$S:=\operatorname{Syl}_{n,m}(F,G)$ とおく。$N:=n+m$ とし、$N$ 個の元を $(\gamma_1,\dots,\gamma_N):=(u_1,\dots,u_m,t_1,\dots,t_n)$ と並べ、$(s,c)$ 成分が $\gamma_c^{\,N-s}$ である $N$ 次正方行列 $W$ を考える。$W$ の第 $c$ 列は $(\gamma_c^{\,N-1},\dots,\gamma_c,1)^{\top}$ なので、$SW$ の第 $c$ 列は prf-res-bezout の $SX$ に $x=\gamma_c$ を代入したものである。$F(t_i)=0$、$G(u_j)=0$ だから、
$$ SW=\begin{pmatrix}A_0&O\\ O&B_0\end{pmatrix},\qquad A_0:=\bigl(u_c^{\,m-k}F(u_c)\bigr)_{1\le k,c\le m},\quad B_0:=\bigl(t_c^{\,n-l}G(t_c)\bigr)_{1\le l,c\le n} $$
となる。$y_1,\dots,y_k$ に対して $\Delta(y_1,\dots,y_k):=\prod_{s< c}(y_s-y_c)$ とおくと、$(s,c)$ 成分が $y_c^{\,k-s}$ の行列の行列式は $\Delta(y_1,\dots,y_k)$ である（Vandermondeの行列式 の記事の定理「Vandermonde の行列式の公式」の行列を転置し、行を逆順に並べ替えると、符号 $(-1)^{k(k-1)/2}$ が因子の向きの反転と打ち消し合う）。$A_0$ の第 $c$ 列から $F(u_c)$ を、$B_0$ の第 $c$ 列から $G(t_c)$ をくくり出すと
$$ \det A_0=\prod_{j}F(u_j)\cdot\Delta(u),\qquad\det B_0=\prod_iG(t_i)\cdot\Delta(t),\qquad\det W=\Delta(u)\,\Delta(t)\prod_{j,i}(u_j-t_i) $$
である（$\det W$ では、$s< c$ の組が「両方 $u$」「両方 $t$」「$u_j$ と $t_i$」に分かれる）。$R$ の商体の上で積の行列式の公式と区分対角行列の行列式（行列式 の記事の定理「積の行列式」と命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）を使うと $\det S\cdot\det W=\det A_0\det B_0$ であり、$\prod_jF(u_j)=a^m\prod_{j,i}(u_j-t_i)$ を代入すると
$$ \det S\cdot\Delta(u)\Delta(t)\prod_{j,i}(u_j-t_i)=a^m\prod_{j,i}(u_j-t_i)\cdot\prod_iG(t_i)\cdot\Delta(u)\Delta(t) $$
となる。$R$ は整域で、$\Delta(u)\Delta(t)\prod_{j,i}(u_j-t_i)$ は相異なる変数の差の積なので $0$ でない。よって $\operatorname{Res}_{n,m}(F,G)=a^m\prod_iG(t_i)$ である（$m=0$ や $n=0$ のときも、空の行列の行列式を $1$ として同じ計算が成り立つ）。
段 2（代入）　環準同型 $\psi\colon R\to K$ を $a\mapsto a$、$b\mapsto b$、$t_i\mapsto\alpha_i$、$u_j\mapsto\beta_j$ で定める。$F,G$ の係数は $a,t$ や $b,u$ の多項式なので、$\psi$ を係数に施すと $f,g$ になる。prop-res-basic の 2 により
$$ \operatorname{Res}(f,g)=\psi\bigl(\operatorname{Res}_{n,m}(F,G)\bigr)=a^m\prod_ig(\alpha_i) $$
である。$g(\alpha_i)=b\prod_j(\alpha_i-\beta_j)$ を代入すれば第 1 の表示を、$\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)=(-1)^{nm}\prod_{j,i}(\beta_j-\alpha_i)$ と $f(\beta_j)=a\prod_i(\beta_j-\alpha_i)$ を使えば第 3 の表示を得る。$\square$

$f,g,h$ と（2 では）$r$ がすべて 1 次式の積に分解する拡大体 $L$（たとえば $fghr$（$r=0$ なら $fgh$）の分解体）をとる。prop-res-basic の 2 により終結式は $L$ で計算しても変わらない。$L$ で $f=a\prod_i(x-\alpha_i)$ と書き、thm-res-product の第 2 の表示 $\operatorname{Res}(f,g)=a^{\deg g}\prod_ig(\alpha_i)$ を使う。

1. $\deg(gh)=\deg g+\deg h$ なので、$a^{\deg g+\deg h}\prod_ig(\alpha_i)h(\alpha_i)$ は右辺の積に等しい。
2. $g=qf+r$ と書くと $g(\alpha_i)=r(\alpha_i)$ である。$r\ne0$ なら $\operatorname{Res}(f,g)=a^m\prod_ir(\alpha_i)=a^{m-\deg r}\cdot a^{\deg r}\prod_ir(\alpha_i)=a^{m-\deg r}\operatorname{Res}(f,r)$ である。$r=0$ なら $f\mid g$ で、$f$ が次数 $1$ 以上の共通の約数になるので、thm-res-common-factor により $\operatorname{Res}(f,g)=0$ である。$\square$

$f$ の最高次の係数は $0$ でないので、thm-res-common-factor により、$\operatorname{Res}_{n,n-1}(f,f')=0$ は $f$ と $f'$ が次数 $1$ 以上の共通の約数をもつこと、すなわち $f$ と $f'$ の最大公約数が $1$ でないことと同値である。重根 の記事の定理「重根をもたないことの判定」により、これは $f$ がある拡大体の中に重根をもつことと同値である。$\square$

1. thm-res-bezout を $A=K[x]$ に使うと、$UF+VG=R(x)$ となる $U,V\in K[x][y]$ がある。$x=x_0$、$y=y_0$ を代入すると $R(x_0)=0$ である。
2. $x\mapsto x_0$ で定まる環準同型 $K[x]\to L$ を係数に施すと、$F,G$ は $F(x_0,y),G(x_0,y)\in L[y]$ になる。prop-res-basic の 2 により $\operatorname{Res}_{n,m}(F(x_0,y),G(x_0,y))=R(x_0)=0$ であり、$F(x_0,y)$ の $y^n$ の係数 $F_n(x_0)$ は $0$ でない。thm-res-common-factor の 1 ⇒ 3 により、$F(x_0,y)$ と $G(x_0,y)$ は $L$ のある拡大体の中に共通の根 $y_0$ をもつ。$\square$

$g(x-y)=b\prod_j(x-y-\beta_j)=(-1)^mb\prod_j\bigl(y-(x-\beta_j)\bigr)$ なので、$g(x-y)$ は $y$ について次数 $m$、最高次の係数 $(-1)^mb\ne0$ の多項式である。$h$ は $K[x]$ の元を成分とする行列式なので $K[x]$ に属する。係数環を $K[x]\subset L(x)$（$L(x)$ は $L$ 上の有理関数体）に広げても、prop-res-basic の 2 により終結式は変わらない。$L(x)$ の上で $f$ と $g(x-y)$ は $y$ の 1 次式の積に分解しているので、thm-res-product の第 2 の表示により
$$ h(x)=a^m\prod_{i=1}^{n}g(x-\alpha_i)=a^m\prod_{i=1}^{n}b\prod_{j=1}^{m}(x-\alpha_i-\beta_j) $$
である。$\square$