Max Noetherの定理(標準埋め込み)

$Y$ は超平面に含まれないので直線ではなく、直線と有限個の点でしか交わらない。$f$ は $Y$ の滑らかな点の集合 $Y^\circ$（有限個を除いた全体）の上で同型である。$y\in Y$ について $\psi_y:=\pi_y\circ f$ は滑らかな曲線からの有理写像なので射に延び、像 $Z_y$ は点ではない（点なら $Y$ は $y$ を通る直線に含まれる）。標数 $0$ なので、$\psi_y\colon X\to Z_y$ の次数が $1$ でなければ、$Z_y$ の有限個を除くすべての滑らかな点 $z$ の上で、$\psi_y$ のファイバーは 2 点以上からなり、$\psi_y$ はそこで不分岐である。この $y$ を悪い点と呼び、有限個を除くすべての点が悪いと仮定して矛盾を導く。

段 1：悪い点 $y\in Y^\circ$ と、上の性質をもつ $z$ のファイバーの相異なる 2 点 $x,x'$ で $P:=f(x)$、$Q:=f(x')$ が $Y^\circ\setminus\{y\}$ に入るものをとる（有限個を除くすべての $z$ でとれる）。$f$ は $Y^\circ$ の上で単射なので $P\ne Q$ で、$P,Q,y$ は 1 直線上にある。$\pi_y$ は $\mathbb{P}^m\setminus\{y\}$ の上の滑らかな写像で、その微分の核は $y$ への方向である。$\psi_y$ が $x$ で不分岐なので $y\notin L_P$ であり、$\pi_y(L_P)$ は $Z_y$ の $z$ での接線 $T$ に等しい。同様に $\pi_y(L_Q)=T$ である。よって $L_P$ と $L_Q$ は $y$ と $T$ の張る平面に含まれ、交わる。したがって、悪い点 $y$ ごとに、有限個を除くすべての $P\in Y^\circ$ について、$y\in PQ$ かつ $L_P\cap L_Q\ne\emptyset$ となる $Q\in Y^\circ\setminus\{P\}$ がある。

段 2：$S:=\{(P,Q)\in Y^\circ\times Y^\circ\mid L_P\cap L_Q\ne\emptyset\}$ は閉集合である（$L_P$ は $P$ について代数的に動き、2 直線が交わることは 4 点の行列式が $0$ という閉条件である）。$S\ne Y^\circ\times Y^\circ$ と仮定する。既約な曲面の真の閉集合なので、$S$ は有限個の既約成分 $S_1,\dots,S_r$ をもち、それぞれ曲線か点である。悪い点 $y$ について $A_y:=\{(P,Q)\in S\mid P\ne Q,\ y\in PQ\}$ は $S$ から対角線を除いた集合の閉部分集合で、段 1 から無限集合である。よってある $S_i$ は $A_y$ の無限個の点を含む。$S_i$ は対角線に含まれない既約な曲線で、$A_y\cap S_i$ は $S_i$ から対角線との有限個の交点を除いた既約な曲線の閉集合で無限なので、それと一致する。悪い点は無限個あり成分は有限個なので、相異なる悪い点 $y_1,y_2$ と共通の $S_i$ がある。すると $S_i$ の対角線にない点 $(P,Q)$ について直線 $PQ$ は $y_1,y_2$ を通り、直線 $y_1y_2$ に等しい。$S_i$ は曲線なので $P$ か $Q$ は無限個の値をとり、$Y$ は直線 $y_1y_2$ と無限個の点で交わる。これは矛盾である。よって $S=Y^\circ\times Y^\circ$、すなわちどの 2 本の接線も交わる。

段 3：すべての接線が同じ直線なら $Y$ はその直線に含まれるので、$L_P\ne L_Q$ となる $P,Q$ がある。$A:=L_P\cap L_Q$、$\Pi$ を $L_P,L_Q$ の張る平面とする。$m\ge3$ なので $Y\not\subset\Pi$ で、$Y\cap\Pi$ は有限である。$R\in Y^\circ\setminus\Pi$ なら $L_R\not\subset\Pi$ なので $L_R\cap\Pi$ は 1 点で、それは $L_R\cap L_P$ と $L_R\cap L_Q$ の両方なので $A$ である。閉条件なのですべての $R\in Y^\circ$ で $A\in L_R$ となる。$A$ からの射影を $Y$ に制限すると、$Y^\circ\setminus\{A\}$ のすべての点で微分が $0$ になる。標数 $0$ では定数でない曲線の射の微分は有限個の点を除いて $0$ でないので、この射影は定数で、$Y$ は $A$ を通る直線に含まれる。これは矛盾である。$\square$

$0\le j\le g-2$ について、相異なる点 $p_1,\dots,p_j$ で $E_j:=p_1+\dots+p_j$ が次をみたすものを順に作る。(a) $\ell(K-E_j)=g-j$ で $\lvert K-E_j\rvert$ は基点をもたない。(b) $j\le g-3$ なら、$\varphi_j:=\varphi_{K-E_j}\colon X\to\mathbb{P}^{g-1-j}$ は像 $Y_j$ の上への双有理な射である。$j=0$ では thm-mnc-canonical-embedding により成り立つ。

$j\le g-3$ まで作れたとする。$Y_j$ はどの超平面にも含まれない既約な曲線である。$\varphi_j$ は双有理なので、有限個を除くすべての $p\in X$ で、$\varphi_j^{-1}(\varphi_j(p))=\{p\}$ であり $\varphi_j$ の微分は $p$ で $0$ でない。$j\le g-4$ なら $g-1-j\ge3$ なので、lem-mnc-projection により、そのような $p$ で $p\notin\{p_1,\dots,p_j\}$ かつ $y:=\varphi_j(p)$ からの射影が $Y_j$ を双有理に写すものがとれる。$j=g-3$ なら、そのような $p$ を $p_1,\dots,p_j$ と異なるようにとるだけでよい。$p_{j+1}:=p$ とおく。

座標を $y=[1:0:\dots:0]$ となるようにとり、対応する $L(K-E_j)$ の基底を $h_0,\dots,h_{m}$（$m=g-1-j$）とする。$h_1,\dots,h_m$ は $y$ を通る超平面に対応し、$p$ で消える元の全体 $L(K-E_j-p)$ を張る。よって $\ell(K-E_{j+1})=m=g-(j+1)$ である。点 $q\ne p$ が $\lvert K-E_{j+1}\rvert$ の基点であることは $\varphi_j(q)=y$ と同値で、$p$ の選び方から起こらない。$p$ が基点であることは、$h_1,\dots,h_m$ がすべて $p$ で 2 位以上消えること、すなわち $\varphi_j$ の微分が $p$ で $0$ であることと同値で、これも起こらない。よって (a) が成り立つ。$\varphi_{j+1}=[h_1:\dots:h_m]$ は $\pi_y\circ\varphi_j$ を延ばしたものなので、$j+1\le g-3$ なら $p$ の選び方から (b) が成り立つ。$j=g-2$ まで来ると $E:=E_{g-2}$ が求めるものである。$\square$

$n=2$。prop-mnc-good-points の $E=p_1+\dots+p_{g-2}$ をとり、$E_j:=p_1+\dots+p_j$ とする。$\ell(K)=g$、$\ell(K-E)=2$ で、点を 1 つ外すごとに $\ell$ は高々 $1$ しか下がらないから、$\ell(K-E_j)=g-j$ である。とくに $p_{j+1}$ は $\lvert K-E_j\rvert$ の基点でない。$L(K-E_j)\subset L(K)$ なので $M_j:=L(K-E_j)\cdot L(K)\subset R_2\cap L(2K-E_j)$ である。$\deg(2K-E_j)\ge3g-2>2g-2$ なので $\ell(2K-E_j)=3g-3-j$ である。

$j=g-2$：$W:=L(K-E)$ は基点のない鉛筆である。lem-mnc-pencil を $D=K-E$、$F=K$ に当てると、$\dim M_{g-2}=2g-\ell(E)$ である。Riemann–Roch の定理から $\ell(E)=\ell(K-E)+(g-2)+1-g=1$ なので $\dim M_{g-2}=2g-1=\ell(2K-E)$、すなわち $M_{g-2}=L(2K-E)$ である。

$j$ から $j-1$ へ（$1\le j\le g-2$）：$M_j=L(2K-E_j)$ とする。$p_j$ は $\lvert K-E_{j-1}\rvert$ の基点でないので、$s\in L(K-E_{j-1})$ で $s\notin L(K-E_j)$ となるものがある。$\lvert K\rvert$ は基点をもたないので $t\in L(K)$ で $t\notin L(K-p_j)$ となるものがある。$p_j$ は $E_{j-1}$ に現れないので、積 $st$ は $L(2K-E_{j-1})$ に入り $L(2K-E_j)$ に入らない。よって $\dim M_{j-1}\ge\dim M_j+1=\ell(2K-E_{j-1})$ で、$M_{j-1}=L(2K-E_{j-1})$ である。$j=1$ まで下りると $R_2\supset M_0=L(2K)$ を得る。

$n=3$。$0\ne s_0\in L(K)$ をとり、$Z:=\operatorname{div}s_0+K=x_1+x_2+\dots+x_{2g-2}$（同じ点が繰り返し現れてよい）とし、$Z_j:=x_1+\dots+x_j$ とおく。$N:=L(K)\cdot L(2K)\subset R_3$ である（$R_2=L(2K)$ による）。$s_0L(2K)=L(3K-Z)$ は $N$ に入り、その次元は $\ell(2K)=3g-3$ である。$0\le j\le2g-3$ について、$N\cap L(3K-Z_j)$ が $L(3K-Z_{j+1})$ に入らない元をもつことを示す。$x:=x_{j+1}$ とおく。$j=0$ なら、$x$ で消えない $s\in L(K)$ と $t\in L(2K)$ の積をとる。$j\ge1$ なら $A:=x_1$、$A':=Z_j-x_1$ とする。$\lvert K-x_1\rvert$ は基点をもたない（基点 $x$ があれば $\ell(K-x_1-x)=\ell(K-x_1)$ で、Riemann–Roch の定理から $\ell(x_1+x)=2$ となり、$X$ が超楕円的になる）。$\deg(2K-A')=4g-4-(j-1)\ge2g$ なので $\lvert 2K-A'\rvert$ も基点をもたない。よって $s\in L(K-A)$ と $t\in L(2K-A')$ を、$x$ での位数がそれぞれ最小になるようにとれる（$s\notin L(K-A-x)$、$t\notin L(2K-A'-x)$）。位数は足し合わされるので、$st\in L(3K-Z_j)$ だが $st\notin L(3K-Z_{j+1})$ である。この $2g-2$ 段から $\dim N\ge(3g-3)+(2g-2)=5g-5=\ell(3K)$ となり、$R_3=L(3K)$ である。

$n\ge4$。$R_{n-1}=L((n-1)K)$ とする。基点のない鉛筆 $W\subset L(K)$ をとる。lem-mnc-pencil を $D=K$、$F=(n-1)K$ に当てると、$\dim\bigl(W\cdot L((n-1)K)\bigr)=2(2n-3)(g-1)-(2n-5)(g-1)=(2n-1)(g-1)=\ell(nK)$ である（$n-2\ge2$ なので $\ell((n-2)K)=(2n-5)(g-1)$）。よって $R_n\supset W\cdot R_{n-1}=L(nK)$ である。$\square$