平方零拡大

前提知識: 可換環、イデアル、加群、環準同型、導分、完全列

平方零拡大（square-zero extension）とは、商環に加えたイデアルの元どうしの積がすべて零になる環の拡大である。核は商環上の加群となり、一次の変化を表す。分裂する拡大は自明拡大で記述でき、核と商を固定する自己同型は導分に対応する。多項式表示を使うと、一般の拡大も方程式の一次部分から分類できる。

一次の方向を環に加える

二重数環 $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ では、すべての元が $a+b\epsilon$ と書ける。積は
$$ (a+b\epsilon)(c+d\epsilon)=ac+(ad+bc)\epsilon $$
であり、二つの微小な方向を掛けた項 $bd\epsilon^2$ は消える。この計算は、関数の積の一次変化が「一方を変化させ、もう一方をそのままにする」二項からなることと同じ形をしている。
平方零拡大では、この方向を一次元に限らない。環 $B$ に対して任意の $B$ 加群 $M$ を取り、$M$ の元を互いに掛けると零になるような環を考える。$M$ は自由加群でも有限生成加群でもなくてよい。例えば $M$ にねじれがあっても、無限個の生成元が必要でも、以下の定義と分類はそのまま使える。
また、「平方零」は各元の平方が零という条件より強い。標数 $2$ では $x^2=y^2=0$ であっても $xy$ が零とは限らない。ここで要求するのは核イデアル $J$ の積イデアル $J^2$ が零という条件、すなわち任意の $u,v\in J$ に対して $uv=0$ となることである。この条件があるから、二次の誤差を捨てる計算がすべての標数で成立する。

定義と、固定するデータ

基礎環 $A$、可換単位的 $A$ 代数 $B$、$B$ 加群 $M$ を固定する。$B$ の $M$ による平方零 $A$ 代数拡大とは、$A$ 代数の全射 $q:E\to B$ と、その核を $M$ に同定する加法群の単射 $\iota:M\to E$ で、次の条件を満たすものである。
$$ 0\longrightarrow M\xrightarrow{\iota}E\xrightarrow{q}B\longrightarrow0, \qquad (\iota M)^2=0. $$
さらに、$E$ による核への乗法から誘導される $B$ 加群構造が、最初に指定した $M$ の加群構造と一致することを要求する。完全性は加法群について述べている。$M$ に独立した単位的環構造を与えるという意味ではない。以下では $M$ を核として $E$ の中に書き、$\iota$ を省略する。
この $B$ 作用は、$b\in B$ の持上げ $e\in E$ を選び $bm=em$ と定める。同じ $b$ の別の持上げは $e+n$、$n\in M$ だから、$(e+n)m=em+nm=em$ となる。従って作用は持上げに依存しない。環の結合則から $(bb')m=b(b'm)$、単位から $1m=m$ が従う。核が単なる加法群から $B$ 加群へなる理由は、この持上げ独立性にある。
二つの拡大 $E,E'$ の射とは、$A$ 代数写像 $F:E\to E'$ で、$q'F=q$ かつ $F|_M=\operatorname{id}_M$ を満たすものである。つまり、商だけでなく核の同定も固定する。核の基底を変える写像や商の自己同型を許す分類とは異なる。拡大の同型類の集合を $\operatorname{Exal}_A(B,M)$ と書く。
この意味の拡大射は必ず同型である。実際、$F(e)=0$ なら $q(e)=0$ なので $e\in M$、核上恒等だから $e=0$ である。任意の $e'\in E'$ に対して同じ商像をもつ $e\in E$ を選ぶと、$e'-F(e)\in M$ である。この差を $e$ に加えれば $e'$ の原像が得られる。ただし、同型になることから同型の一意性は出ない。自己同型が多数存在する場合を後で具体的に見る。
基礎環を指定せず環の拡大を扱いたい場合には $A=\mathbb Z$ とすればよい。$k$ 代数の拡大を扱うときは $A=k$ を固定する。基礎環を変えると、許される持上げや導分が変わるため、分類問題も変わる。特に $A$ の元を動かさないという条件は、単なる環準同型の条件に追加されている。

自明拡大の構成

$B\ltimes M$ は加法群 $B\oplus M$ に
$$ (b,m)(c,n)=(bc,bn+cm) $$
という積を入れた環である。単位は $(1,0)$、$A$ 構造は $a\mapsto(a_B,0)$ とする。可換性は $B$ の可換性から、分配則は加群作用の加法性から従う。結合則は三つの元の積の第二成分がどちらの括り方でも $bc\ell+bdn+cdm$ となることによって確かめられる。
射影 $(b,m)\mapsto b$ の核は $0\oplus M$ で、その元どうしの積は零である。写像 $b\mapsto(b,0)$ は $A$ 代数の切断である。この構成を自明拡大、または分裂平方零拡大という。名前の「自明」は核が零という意味ではない。$M\ne0$ なら冪零元があり、通常は $B$ と全く違う環になる。
例えば $B=\mathbb Z$、$M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ でもこの構成ができる。核の方向は $2$ 倍で消えるが、環の単位は消えない。$B=k[x]$、$M=B^{(\Lambda)}$ とすれば、任意の個数の独立した一次方向を加えることもできる。積の公式に有限生成性が現れない点を確かめておくと、後の分類の係数を勝手に有限加群へ制限せずに済む。

分裂と自明拡大

この命題で必要なのは環構造を保つ切断である。加法群の完全列が分裂するだけでは積の情報は回復しない。例えば $k$ を体として
$$ E=k[t]/(t^3),\quad B=k[t]/(t^2),\quad M=(t^2)/(t^3) $$
を考える。加法群として、さらに $k$ ベクトル空間としても完全列は分裂する。しかし $B$ の $t$ を持ち上げる元は $t+at^2$ であり、その平方は $t^2\ne0$ となる。$B$ では $t^2=0$ なので、環切断は存在しない。壊した条件は切断の乗法性であり、「加法的分裂なら自明拡大」という含意が失敗する。
この例では $B$ が $M$ に作用するとき $tM=0$ である。核は単なる一次元空間であっても、元の関係式 $t^2=0$ の持上げには核方向の非零誤差が残る。その誤差が、分裂しない拡大を検出している。

自己同型は導分である

具体的に $B=\mathbb Q[x]$、$M=B$ の自明拡大を取ると、$D=d/dx$ によって
$$ (b,m)\longmapsto (b,m+b') $$
という自己同型が生じる。これは核と商を固定するが、$x$ の持上げ $(x,0)$ を $(x,1)$ に変える。恒等写像とは異なる。この反例が否定するのは「拡大射は核と商を固定すれば一意」という主張であって、「そのような射は同型」という主張ではない。
二つの切断 $s,s'$ があるときにも $s'(b)-s(b)$ は導分である。同じ計算で積則を確認でき、任意の導分を $s$ に加えると別の切断になる。従って切断の集合は、空でなければ導分群が自由かつ推移的に作用する集合である。零という切断を自然に選べないので、切断の集合自体を最初から加群と呼ぶより、この作用を記述する方が正確である。

方程式の誤差を記録する

一般の拡大を調べるため、全射の多項式表示
$$ P=A[X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda]\longrightarrow B, \qquad I=\ker(P\to B) $$
を選ぶ。変数集合 $\Lambda$ は無限でもよい。各多項式には有限個の変数しか現れないので、式の評価や微分は通常の有限和で定義される。例えば $B$ の全元を変数の像にすれば、このような表示は必ず取れる。
拡大 $E\to B$ の中で各変数の像を持ち上げると、$A$ 代数写像 $\varphi:P\to E$ が得られる。関係式 $i\in I$ の像は核 $M$ に入る。関係式二つの積は $M^2=0$ により消えるので、写像は
$$ h:I/I^2\longrightarrow M $$
を誘導する。これは $B$ 線形である。$P$ の元の核への作用が $B$ を通り、$h(pi)=\overline p\,h(i)$ となるためである。$I/I^2$ を余法加群と呼ぶ。関係式の積を無視し、関係式それぞれの一次誤差だけを残した加群である。
持上げを変えると何が起こるだろうか。二つの $P\to E$ の差 $D$ は $M$ に値を取り、平方零性から $A$ 導分になる。従って新しい誤差は $h+D|_I$ である。逆に任意の $A$ 導分を持上げへ加えると再び環写像になる。誤差をただ一つの $h$ として記録するだけでは、持上げの選択に依存する。導分の制限だけ異なる誤差を同一視する必要がある。
Kähler微分の普遍性によって、$P$ 上の $M$ 値 $A$ 導分は
$$ \operatorname{Hom}_B(\Omega_{P/A}\otimes_P B,M) $$
に対応する。多項式環の場合、$\Omega_{P/A}$ は記号 $dX_\lambda$ を基底にもつ自由 $P$ 加群であり、$D$ は $D(X_\lambda)$ の任意の選択で決まる。従ってこの箇所でも係数加群の有限生成を要求しない。

余法加群による分類

この公式の $I/I^2\to\Omega_{P/A}\otimes_P B$ が単射である必要はない。関係式の微分が零になる場合も、左側の誤差は残る。普通の微分加群だけでは見えない拡大が存在する理由を、この二つの項の違いが説明する。また、この余核公式は低次数の分類であり、非射影な $I/I^2$ に普通の $\operatorname{Hom}$ を適用した結果を、すべての高次コホモロジーと同一視するものではない。

計算例：双対数環の関係式を動かす

$A=k$、$B=k[x]/(x^2)$、$M=k$ とし、$x$ は $M$ を零作用で殺すものとする。$P=k[X]$、$I=(X^2)$ を使う。$I/I^2$ は $B$ 上 $X^2$ の類を基底とする自由加群なので、$\operatorname{Hom}_B(I/I^2,k)=k$ である。導分 $D$ の制限は
$$ D(X^2)=2xD(X)=0\quad\text{in }M $$
だから、この例の分類加群は $k$ となる。標数 $2$ でも、$xM=0$ によって同じ計算になる。
パラメータ $a\in k$ の拡大は
$$ E_a=k[X,U]/(U^2,XU,X^2-aU) $$
で表せる。$U$ を指定した核の基底とする。各元は $c+dX+eU$ に一意に簡約され、商は $U=0$ を課した $B$ である。$a=0$ なら $X$ の平方は零で切断がある。$a\ne0$ なら $X$ の持上げ $X+bU$ の平方は常に $aU\ne0$ なので切断はない。
核の同定を固定するという条件は、この計算で実際に効く。$U$ を非零定数倍してよい分類ならパラメータの関係は変わるが、ここで扱う拡大同型は $U$ をそのまま保つ。分類式の $M$ は単に核と同型な加群ではなく、核への指定された同定をもつ係数である。
別の基本例は $A=B=\mathbb Z/4\mathbb Z$ ではなく、基礎を $A=\mathbb Z$、商を $B=\mathbb Z/4\mathbb Z$ とする拡大 $\mathbb Z/16\mathbb Z\to B$ である。核 $4\mathbb Z/16\mathbb Z$ の二元の積は $16$ の倍数で消える。単位的環切断があれば $B$ の $4\cdot1=0$ を保たなければならないが、$\mathbb Z/16\mathbb Z$ の $4\cdot1$ は非零であり不可能である。この拡大では加法群の完全列も分裂しない。一般の平方零拡大を、最初から $B\oplus M$ 上の積だけで分類してはいけないことが分かる。

和、係数変更、表示の選択

分類の余核は $B$ 加群である。その和は拡大の側でも記述できる。二つの拡大 $E,E'$ を $B$ 上でファイバー積すると、核は $M\oplus M$ となる。この核を和写像 $(m,n)\mapsto m+n$ に沿って変更すると、再び核 $M$ の拡大になる。多項式の持上げを対として選べば、その関係式誤差は $(h,h')$ であり、核を変更した後は $h+h'$ となる。これを Baer 和という。
核変更を具体的に説明すると、核 $K$ の拡大 $F$ と $B$ 線形写像 $u:K\to M$ に対して、$F\ltimes M$ の中の $(k,-u(k))$ を零として割る。このグラフは先ほどと同じ計算でイデアルであり、$M$ の単射性と商 $B$ の保持も同じ計算で確認できる。従って核変更は曖昧な集合操作ではなく、実際の環の商として構成される。
$b\in B$ によるスカラー倍は $M\to M$、$m\mapsto bm$ に沿った核変更である。余法写像は $h\mapsto bh$ になる。零元は自明拡大で、逆元は核を $-1$ 倍して得る。結合則や可換則は、分類した余核の加群演算と一致することから従う。
多項式表示を変えれば余法加群の見かけや写像は変わる。しかし、ファイバー積と核変更による操作は $P$ の選択を含まない。各表示の余核は同じ拡大の同型類とその演算に対応するので、分類加群は表示の選択に依存しない。表示独立性を述べるときに、二つの余法加群そのものが同型であると主張する必要はない。
係数写像 $M\to N$ に沿って拡大を送ると、関係式誤差は合成 $I/I^2\to M\to N$ に変わる。一方、商環を変更する場合は、単なる核変更ではなく拡大の引戻しを考える。係数変更と商の変更は向きも構成も異なるので、それぞれの環構造を固定してから扱う必要がある。

持上げ問題への使い方

$A$ 代数 $C$ の平方零イデアル $N$ と写像 $v:B\to C/N$ が与えられたとする。$v$ を $C$ へ持ち上げる問題は、ファイバー積
$$ E=C\times_{C/N}B $$
の切断を求める問題に変えられる。$E\to B$ の核は $N$ であり、$N$ には $v$ による $B$ 作用を入れる。切断の $C$ 成分が所望の持上げとなり、逆に持上げがあればそのグラフから切断が得られる。
従って、すべての $B$ 加群 $M$ について $\operatorname{Exal}_A(B,M)=0$ であることは、すべての平方零持上げ問題が解けることと同値である。これが離散環における形式的滑らかさの平方零試験である。ここで「すべて」は重要であり、自由加群だけや有限生成加群だけを試すことへ、追加の証明なしに置き換えてはいけない。
多項式代数の場合は各変数を個別に持ち上げれば環写像が作れるので、どの平方零持上げ問題も解ける。無限変数の多項式代数でも同じである。一方、現代の滑らかな射では有限表示が別に要求されるので、無限変数の例を有限表示の滑らかさの例と呼ぶことはできない。拡大の消滅は一次の持上げを制御し、有限表示は代数を有限個の生成元と関係式で記述できることを制御する。
導分は自己同型、拡大類は分裂の障害という二つの役割をもつ。持上げが存在するとき、異なる持上げの差は導分である。持上げが存在しないとき、その失敗は拡大類として記録される。この二段階を分けることが、余接複体による変形理論の入口になる。

条件を取り違えないための反例

最後の反例は、平方零性が積全体への条件であることを示す。標数 $2$ では $(ax+by+cxy)^2=0$ なので $(x,y)$ の各元の平方は零である。しかし $x\cdot y=xy$ は非零である。この環から $k$ への商写像は、核の各元が二乗で消えるにもかかわらず、ここで定義した平方零拡大ではない。
平方零拡大を計算するときは、まず基礎環、商、係数加群とその作用、核の同定を固定する。次に核の積が零であることを確認し、切断が必要なら加法だけでなく積と基礎環を保つことまで確かめる。そのうえで多項式表示を取り、関係式の一次誤差を導分の変更で割ると、具体的な環の拡大と分類加群が同じ問題として見える。

参考文献への案内

平方零拡大と余法加群による分類については StacksDef Section 91.2 も参照できる。

関連項目

• 前提: 可換環、加群、導分。
• 構成: Kähler微分、余接複体。
• 応用: 形式的滑らかさ、変形理論。