コエンド(豊穣圏)
概要
コエンド(豊穣圏)（enriched coend）とは、豊穣関手 $H\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal{A}\to\mathcal{V}$ に対し、$\coprod_{a,b}\mathcal{A}(a,b)\otimes H(b,a)$ から $\coprod_a H(a,a)$ への左右の作用による二本の射の余等化子として基礎圏の中で作る対象 $\int^a H(a,a)$ である。内部Homの同型 $[\int^aH(a,a),T]\cong\int_a[H(a,a),T]$ をもち、固定対象とのテンソルと交換する。環 $R$ を一対象の $\mathbf{Ab}$ 豊穣圏とみると $N\otimes_R M$ がコエンドとして得られるが、厳密なコエンドは導来テンソル積の高次の情報を保たず、一般にはホモトピー不変でない。
定義
$\mathcal V$ は局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏とする。テンソル積は $\otimes$、単位は $I$、内部Homは $[U,V]$ であり、
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V])$$
が自然に成り立つ。この仮定は以下の構成を一括して行う十分条件であり、個別のコエンドに必要な最小条件ではない。
小さい $\mathcal V$-豊穣圏（豊穣圏）$\mathcal A$ は、小さい対象集合とHom対象 $\mathcal A(a,b)$、合成 $\mathcal A(b,c)\otimes\mathcal A(a,b)\to\mathcal A(a,c)$、単位 $I\to\mathcal A(a,a)$ を持ち、結合律・単位律を満たす。通常の射集合は $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,\mathcal A(a,b))$ である。
豊穣関手（関手(豊穣圏)）$H:\mathcal A^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal A\to\mathcal V$ は、第1変数に反変、第2変数に共変な豊穣作用を持つ。作用は合成と単位を保ち、互いに可換する。
豊穣コエンドは、$\mathcal V$ の中で取る余等化子
$$
\int^aH(a,a)=
\operatorname{Coeq}\left(
\coprod_{a,b}\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a)
\rightrightarrows
\coprod_aH(a,a)\right)
$$
である。$\coprod$ は $\mathcal V$ の余積(圏論)を表す。二本の射は反変作用によって $H(a,a)$ 成分へ進むものと、共変作用によって $H(b,b)$ 成分へ進むものである。
同値に、コエンドから $T$ への射は、$\iota_a:H(a,a)\to T$ の族で、$\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a)\to T$ への二つの合成が一致するものに一対一に対応する。
「同一視」は元の集合上ではなく、$\mathcal V$ の中で行う。例えば $\mathbf{Ab}$ なら、関係式で生成される部分群を割る。この定義は Kel05 §3.10 のコエンドと、Rie14 §7.3 の構成の双対に対応する。
直感：構造を保った和と釣り合い
コエンドでは、片側に作用させたものと反対側に作用させたものを同じとみなす。環上のテンソル積の関係 $nr\otimes m=n\otimes rm$ は、この「作用をもう一方へ移せる」ことの代表例である。
積分記号は添字の消去と作用の釣り合いを表す。数値積分で積分変数を介して二つの関数を組み合わせるように、豊穣コエンドではHom対象を介して二つの関手を組み合わせる。ただし結果は数とは限らず、加群や単体的集合などになる。
例
$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$\otimes=\times$ なら、余等化子は通常のコエンドの商集合になる。$\mathcal A(a,b)$ の各元が通常の射であり、各射に由来する関係を課す構成と一致する。
同じ一対象豊穣圏で $H$ が $R$-両側加群（加群） $M$ を表す場合、
$$\int^aH(a,a)\cong M/\langle rm-mr\mid r\in R,m\in M\rangle_{\mathbb Z}.$$
これは0次Hochschildホモロジーとして現れる加法群である。正の次数のHochschildホモロジーを得るには導来化が必要であり、この商だけでは得られない。
性質
任意のパラメータ $S$ から左辺への射は、$S\otimes\int^aH(a,a)\to T$ と同じである。$S\otimes-$ は左随伴（随伴関手）なので余積・余等化子を保つ。この射は、$S\otimes H(a,a)\to T$ の族で二つの作用に関する等式を満たすものと同じになる。随伴転置すれば、これは $S$ から右辺のエンドへの射である。すべての $S$ で自然なので、内部Hom対象の同型が従う。 $\square$
定義の余等化子は、対称性で因子を並べ替えると
$$N\otimes_{\mathbb Z}R\otimes_{\mathbb Z}M\rightrightarrows N\otimes_{\mathbb Z}M$$
となる。二本の射は $n\otimes r\otimes m$ を $nr\otimes m$ と $n\otimes rm$ に送る。$\mathbf{Ab}$ の余等化子は二本の射の差の像を割った群なので、例で定義した $N\otimes_RM$ と一致する。 $\square$
一般の値域と反復計算
値域が $\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal B$ の場合、コエンド $Q$ は
$$
\mathcal B(Q,T)\cong\int_a\mathcal B(H(a,a),T)
$$
という豊穣自然な同型を与える普遍的な余楔で定義する。右辺では反変性のため変数を交換してエンドを作る。例えば $\mathcal B$ にテンソル $U\odot X$ と必要な豊穣的余積・余等化子があれば、定義の $\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a)$ を $\mathcal A(a,b)\odot H(b,a)$ に替えて構成できる。テンソルとは $\mathcal B(U\odot X,T)\cong[U,\mathcal B(X,T)]$ を表す対象である。Kel05 §3.10。
二つの添字に関するコエンドは、必要なものが存在すればFubini型に交換できる。各添字に関する作用の関係を課す順序を変えても同じ普遍的余楔を得るためである。$\mathcal V$ 値の核の合成
$$
(Q\odot P)(a,c)=\int^bP(a,b)\otimes Q(b,c)
$$
はこの交換則とテンソルの余極限保存によって結合的になる。豊穣版の余米田公式 $\int^bP(a,b)\otimes\mathcal A(b,c)\cong P(a,c)$ がHom対象を恒等核にする。通常版（$\mathcal V=\mathbf{Set}$）の余米田公式は コエンド の記事で証明されており、豊穣版はここでは証明せず Kel05 §3.10 に委ねる。Kel05 §§2.1, 3.10。
∞圏への接続
単体的集合で豊穣化した場合も、厳密な余等化子はそのままホモトピー不変な構成とは限らない。導来コエンドは、関係を付けるホモトピーと、その間の高次の整合性を残す。コエンド(∞圏)では準圏のねじれ矢印∞圏を用いて、モデルの選択に依存しない普遍性を定義する。厳密な豊穣計算との比較では、適切な重みのcofibrant置換を使う。Hau21 Remark 4.7。
単体的モデル圏での置換と二側bar構成は導来計算の方法を与える。ただし「対象ごとの置換だけで任意の厳密な余等化子が正しくなる」とはしない。Rie14 §9.2 の仮定と構成が必要である。
加群の例では、同じ区別が通常のテンソル積と導来テンソル積の差として見える。従って本概念は、豊穣圏から安定∞圏・ホモロジー代数へつなぐ際にも重要になる。一般の豊穣圏を自動的に∞圏と同一視するわけではない。
作用による関係を具体的に書く
通常のコエンドの構成は コエンド の命題「余積と余等化子による構成」にある。豊穣版では、各射について関係を一つずつ列挙する代わりに、Hom対象とのテンソル積からの二射を用いる。基礎がAbなら、射の加法とテンソル積の双加法性を最初から保持できる。二本の射の差を取ることは可能だが、それは加法的な基礎での説明である。集合や単体的集合では差を取るという言い方を使わず、余等化子の普遍性を使う。
また、右作用と左作用を交換するときには、入力の向きを先に確認する。$H(b,a)$ は第1変数について反変、第2変数について共変なので、$a\to b$ の作用から $H(a,a)$ と $H(b,b)$ の両方へ進める。$H(a,b)$ をそのまま同じ場所に置くと、必要な二つの作用を同時に定義できなくなる。テンソル積の因子の順序は対称性で変えられるが、添字の反変・共変性は対称性だけでは変わらない。
離散添字での和
基礎圏の始対象を $O$ とし、集合 $S$ 上の離散豊穣圏を、自己Homが $I$、異なる対象間のHomが $O$ となるものとして作る。閉性によってテンソルは始対象を保つ。従って異なる対象間に由来する関係を課すための入力は始対象になり、制約を増やさない。
離散豊穣圏 $\mathcal D$ 上の混合分散関手 $H$ について、必要な余積があれば
$$\int^d H(d,d)\cong\coprod_{d\in S}H(d,d)$$
である。
任意の $T$ への射を調べる。余積からの射は $\iota_d:H(d,d)\to T$ の族である。異なる $d,e$ に関する作用条件は、始域 $O\otimes H(e,d)$ が始対象なので自動的に成り立つ。$d=e$ の条件は、単位作用を通る二つの合成の一致であり、関手の単位保存によって両方とも $\iota_d$ である。従って全ての族が豊穣余楔となる。余積の挿入は普遍的余楔を与え、各余楔は余積から一意に因子化するので、表示した余積がコエンドである。$\square$
添字集合が空なら、コエンドは基礎圏の始対象になる。エンドの空の場合が終対象なのと双対である。Abでは始対象と終対象がともに零群なので両方の答えが同じになるが、集合では空集合と一点集合は異なる。この違いを押さえると、空の和に単位対象を誤って残すことを避けられる。
生成元から釣り合い条件を復元する
単位的環 $R$、右 $R$-加群 $N$、左 $R$-加群 $M$ を取る。コエンドの普遍性は、双加法写像 $b:N\times M\to A$ に対して $b(nr,m)=b(n,rm)$ を要求することである。この条件を釣り合い条件と呼ぶ。$A$ はアーベル群でよく、$R$ の作用を持つ必要はない。非可換環では、$N\otimes_R M$ に自然な左 $R$-加群構造があるとは限らないことにも注意する。
$R$ が集合 $S$ により単位的環として生成されるとする。双加法写像 $b:N\times M\to A$ が全ての $r\in R$ で釣り合うことは、全ての $s\in S$ で釣り合うことと同値である。
全ての元で釣り合えば生成元でも釣り合う。逆に $C$ を、全ての $n,m$ について $b(nr,m)=b(n,rm)$ が成立する $r\in R$ の集合とする。単位的作用により $1\in C$ である。$r,t\in C$ なら、双加法性から $r-t\in C$ である。さらに
$$
b(nrt,m)=b((nr)t,m)=b(nr,tm)=b(n,r(tm))=b(n,(rt)m)
$$
となる。最初と最後の式では加群の結合律、中二つではそれぞれ $t,r$ の釣り合い条件を使う。この条件は全ての $n,m$ に課してあるので、$n$ を $nr$、$m$ を $tm$ に変えても使える。従って $C$ は単位的部分環である。$S\subset C$ から $C=R$ となり、全ての $r$ で釣り合う。$\square$
この命題は関係を少なくする際の根拠になる。例えば $R=\mathbb Z[t]$ の場合、整数に関する釣り合いは双加法性から従い、追加する本質的な条件は $b(nt,m)=b(n,tm)$ 一つの作用についてである。ただし $n,m$ は全ての元を動くので、関係が有限個の整数等式になるとは限らない。環の生成元が有限であることと、加群の表示が有限であることは別の条件である。
$R=\mathbb Z[t]$、$N=M=\mathbb Z$ とし、$N$ では $t$ が整数 $a$ の乗算、$M$ では $t$ が整数 $b$ の乗算として作用するとする。基礎のテンソル積 $N\otimes_{\mathbb Z}M$ は $1\otimes1$ で生成される $\mathbb Z$ である。$t$ の釣り合いは $a(1\otimes1)=b(1\otimes1)$ なので、コエンドは $\mathbb Z/(a-b)\mathbb Z$ になる。生成元判定により、任意の多項式についての関係も既に従う。$a=b$ なら商は $\mathbb Z$、$a-b=1$ なら零群である。
この計算では、同じ加法群二つでも環作用を変えると答えが変わる。例えば $a=0,b=2$ なら答えは $\mathbb Z/2$ である。対象の加法群だけを見て $\mathbb Z$ と答えると、Hom対象が運ぶ作用を失っている。豊穣コエンドの入力は各成分の対象だけでなく、混合分散の関手の作用まで含む。
テンソルしてから関係を課す
任意の $U\in\mathcal V$ に対して、必要なコエンドが存在すれば
$$U\otimes\int^aH(a,a)\cong\int^a(U\otimes H(a,a))$$
となる。右辺の関手の作用は $U$ を動かさず、対称性でHom因子を必要な位置へ移して定める。
$U\otimes-$ は内部Hom $[U,-]$ の左随伴であり、余積と余等化子を保つ。定義の二射に $U\otimes-$ を適用すると、始域は $\coprod_{a,b}U\otimes\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a)$、終域は $\coprod_aU\otimes H(a,a)$ となる。結合同型と対称性を用いて始域を $\coprod_{a,b}\mathcal A(a,b)\otimes(U\otimes H(b,a))$ と書き直す。二射は、$U$ 因子を固定して $H$ の左右の作用を施す二射に一致する。従ってその余等化子は右辺のコエンドであり、左辺との指定同型を得る。$\square$
この交換は、単なる対象の同型だけでなく、各成分からの普遍射との整合性を持つ。例えば加群の計算では、追加のアーベル群をテンソルしてから釣り合い関係を課すことと、釣り合いを済ませた商をテンソルすることが対応する。ここで保たれるのは余極限であり、テンソルが一般に核や等化子を保つとは言っていない。平坦性を仮定しないテンソルは単射を壊すことがあるので、エンドへ同じ議論を機械的に移すことはできない。
一般の核の合成で現れる反復コエンドのFubini型交換と、このテンソル交換は役割が違う。前者は二組の作用関係をどちらの順で課しても同じ普遍性になること、後者は固定したテンソル関手が関係を課す余等化子を保つことを述べる。両方を使うと核の合成の括弧を付け替えられるが、その計算では各作用と各因子の向きを揃える必要がある。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 釣り合い条件 | $\mathbb Z[t]$ の作用が0と2の二加群 | 基礎のテンソル積 $\mathbb Z$ は環上のテンソル積 $\mathbb Z/2$ と一致しない |
| 導来化 | $\mathbb Z/2$ とそれ自身 | 通常のテンソル積から次数1のホモロジーを回収できない |
| 添字の離散性 | 一対象環の左右作用 | 成分の余積を作るだけでは関係が課されない |
関連項目
- 前提: 豊穣圏, モノイダル閉圏, テンソル積, 余等化子
- 発展: エンド(豊穣圏), 重み付き極限(豊穣圏), 米田の補題(豊穣圏), 導来テンソル積
- 比較: コエンド, コエンド(∞圏), Hochschildホモロジー, 安定∞圏
参考文献
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