極小自由分解

$\operatorname{rank}F=\dim_k\bar F=\dim_k\bar G=\operatorname{rank}G=:n$ である。基底をとって $\varphi$ を $n$ 次正方行列 $P$ で表すと、$\bar\varphi$ の行列は $P$ の成分を $k$ に落とした $\bar P$ で、$\det\bar P$ は $\det P$ の像である。$\det\bar P\ne0$ なので $\det P\notin\mathfrak m$、すなわち $\det P$ は単元であり、余因子行列 $\operatorname{adj}P$ により $P^{-1}=(\det P)^{-1}\operatorname{adj}P$ が $A$ 係数でとれる。$\square$

$K_0:=M$ とおき、$i\ge0$ について有限生成加群 $K_i$ と全射 $q_i\colon F_i\to K_i$ を帰納的に作る。
$K_i$ が有限生成なので $\bar K_i$ は有限次元である。その基底を $K_i$ の元 $x_1,\dots,x_n$ に持ち上げると、Nakayamaの補題 の系「部分加群と生成元の判定」により $x_1,\dots,x_n$ は $K_i$ を生成する。$F_i:=A^n$、$q_i(e_j):=x_j$ とおくと $q_i$ は全射で、$\bar q_i\colon\bar F_i\to\bar K_i$ は基底を基底に写す同型である。$K_{i+1}:=\ker q_i$ とおく。$y\in K_{i+1}$ なら $\bar q_i(\bar y)=0$ なので $\bar y=0$、すなわち
$$ K_{i+1}\subset\mathfrak mF_i $$
である。$A$ は Noether 環なので、有限生成加群 $F_i$ の部分加群 $K_{i+1}$ は有限生成であり（Noether環）、帰納法を続けられる。$K_i=0$ となったら以後 $F_j=0$ とする。
$d_i\colon F_i\to F_{i-1}$（$i\ge1$）を $q_i$ と包含 $K_i\subset F_{i-1}$ の合成、$\varepsilon:=q_0$ とする。$\operatorname{im}d_{i+1}=K_{i+1}=\ker q_i=\ker d_i$ なので列は完全であり、$d_i(F_i)=K_i\subset\mathfrak mF_{i-1}$ なので極小である。$\square$

自由加群は射影的なので、Tor関手 の命題「比較写像とホモトピー」により $\operatorname{id}_M$ に沿う鎖写像 $\alpha\colon F_\bullet\to G_\bullet$、$\beta\colon G_\bullet\to F_\bullet$ があり、$\beta\alpha$ と $\operatorname{id}_{F_\bullet}$ はどちらも $\operatorname{id}_M$ に沿うので鎖ホモトピックである：
$$ \beta_i\alpha_i-\operatorname{id}_{F_i}=d_{i+1}h_i+h_{i-1}d_i\qquad(h_i\colon F_i\to F_{i+1},\ h_{-1}:=0). $$
剰余体に落とすと、極小性から $\bar d_i=0$、$\bar d_{i+1}=0$ なので $\bar\beta_i\bar\alpha_i=\operatorname{id}_{\bar F_i}$ である。lem-mfr-iso-mod-m により $\beta_i\alpha_i$ は $F_i$ の自己同型である。同様に $\alpha_i\beta_i$ は $G_i$ の自己同型である。$\beta_i\alpha_i$ が単射なので $\alpha_i$ は単射、$\alpha_i\beta_i$ が全射なので $\alpha_i$ は全射であり、$\alpha_i$ は同型である。各次数で同型な鎖写像の逆写像は鎖写像なので、$\alpha$ は複体の同型である。$\square$

要点：$F$ から $G$ へ行って戻る写像が自己同型になることから、$G$ の中に $F$ の写しを直和因子として切り出し、残りが完全な複体であることを使う。

1. Tor関手 の定義により $\operatorname{Tor}_i^A(k,M)=H_i(k\otimes_AF_\bullet)$ である。$k\otimes_AF_\bullet$ は $\bar F_\bullet$ と同型で、微分は $\bar d_i=0$ なので、$H_i=\bar F_i$ である。同様に $\operatorname{Ext}^i_A(M,k)=H^i(\operatorname{Hom}_A(F_\bullet,k))$ で、$\operatorname{Hom}_A(F_i,k)=\operatorname{Hom}_k(\bar F_i,k)$ の上で微分は $\bar d_{i+1}$ の転置なので $0$ である。次元は $\dim_k\bar F_i=\operatorname{rank}F_i$ である。
2. $F_d\ne0$ かつ $F_{d+1}=0$ なら、$F_\bullet$ は長さ $d$ の射影分解なので $\operatorname{pd}_AM\le d$ である。逆に長さ $e$ の射影分解 $P_\bullet\to M$ があれば、Tor はどの射影分解でも計算できるので、$i>e$ で $\operatorname{Tor}_i^A(k,M)=H_i(k\otimes P_\bullet)=0$ であり、1 から $F_i=0$（$i>e$）となる。よって $\sup\{i:F_i\ne0\}\le\operatorname{pd}_AM$ である。2 つの不等式から 2 が従う（どちらも無限の場合を含む）。
3. 1 により $F_i=0$ である。すると $\operatorname{im}d_{i+1}\subset F_i=0$ であり、極小自由分解では $\bar F_{i+1}\cong\overline{\operatorname{im}d_{i+1}}$（thm-mfr-existence の後の注意）なので $F_{i+1}=0$ である。これを繰り返して $j\ge i$ で $F_j=0$、したがって $\operatorname{Tor}_j^A(k,M)=0$ を得る。2 により $\operatorname{pd}_AM\le i-1$ である。$\square$

(a)⇒(b) は明らかで、(b)⇒(c) は Tor が射影分解 $0\to M\to M\to0$ で計算できることによる。(c)⇔(d) は thm-mfr-betti の 1、(d)⇒(a) は同じ定理の 3 により $F_1=0$ となり $F_0\cong M$ となることから従う。後半：$\operatorname{pd}_Ak=e<\infty$ とすると、Tor関手 の命題「平衡性」により $\operatorname{Tor}_i^A(k,M)$ は $k$ の長さ $e$ の射影分解でも計算でき、$i>e$ で $0$ である。thm-mfr-betti の 2 により $\operatorname{pd}_AM\le e$ である。$\square$