Teichmüller代表元
概要
Teichmüller代表元（Teichmüller representative）とは、剰余体 $k$ が標数 $p$ の完全体である完備離散付値環 $R$ で、$k$ の元 $a$ の持ち上げのうちすべての $n$ について $R$ の元の $p^n$ 乗であるただ一つの元 $\omega(a)$ のことである。$a^{p^{-n}}$ の持ち上げ $x_n$ をとると $\omega(a)=\lim x_n^{p^n}$ で、$\omega$ は乗法的であり、$R$ の標数が $p$ なら環準同型になるが、標数 $0$ では加法的でない。剰余体が $\mathbb{F}_q$ なら Teichmüller 代表元は $0$ と $1$ の $(q-1)$ 乗根であり、$\mathbb{Z}_p^\times$ の Teichmüller 指標や Witt ベクトルの理論に現れる。
$p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$ では、剰余体 $\mathbb{F}_p$ の $0$ でない各元に対し、それと $p$ を法として合同な $1$ の $(p-1)$ 乗根がちょうど 1 つある。たとえば $\mathbb{Z}_5$ には $2$ と合同な $-1$ の平方根がある。Teichmüller 代表元は、このように剰余体の元を「掛け算と両立するように」持ち上げた代表元である。一般に、剰余体が標数 $p$ の完全体である完備離散付値環 $R$ では、剰余体 $k$ の各元 $a$ に対して、$a$ の持ち上げで「何回でも $p$ 乗根がとれる」ものがただ一つあり、それが $a$ の Teichmüller 代表元 $\omega(a)$ である。$\omega$ は乗法的であるが、$R$ の標数が $0$ なら加法的でない。
この記事では、$\omega$ の存在と一意性（$\omega(a)=\lim x_n^{p^n}$ による構成）と乗法性を証明し、剰余体が有限体の場合に $\omega$ の像が $1$ の冪根と $0$ からなることを示す。応用として、$\mathbb{Z}_p^\times$ の Teichmüller 指標、Teichmüller 代表元を数字とする展開、Witt ベクトルとの関係を述べる。
定義
以下この記事では、$R$ を完備な離散付値環、$\mathfrak{m}=\pi R$ をその極大イデアル（$\pi$ は一意化元）、$k:=R/\mathfrak{m}$ を剰余体とし、$k$ は標数 $p>0$ の完全体であると仮定する。$x\in R$ の $k$ での類を $\bar x$ と書く。完備とは、$\mathfrak{m}$ 進位相について Cauchy 列が収束することをいう。$\bigcap_n\mathfrak{m}^n=0$ なので極限は一意である。$k$ が完全体であることは、$a\mapsto a^p$ が $k$ の全単射であることで、その逆を $a\mapsto a^{1/p}$、$n$ 回の逆を $a\mapsto a^{p^{-n}}$ と書く。
写像 $\omega\colon k\to R$ が次の 2 条件を満たすとき、Teichmüller 写像という。
- すべての $a\in k$ について $\overline{\omega(a)}=a$。
- すべての $a\in k$ について $\omega(a^p)=\omega(a)^p$。
Teichmüller 写像はただ一つ存在する（thm-tm-main）。$\omega(a)$ を $a$ の Teichmüller 代表元（Teichmüller representative）という。$x\in R$ に対しても $\omega(x):=\omega(\bar x)$ と書く。
文献によっては $\omega(a)$ を $[a]$ とも書き、Teichmüller 持ち上げともいう。$\omega$ の像 $\omega(k)$ は $k$ の完全代表系（$k$ の各元の類にちょうど 1 つの元を含む $R$ の部分集合）であり、乗法について閉じている（thm-tm-main の 4）ので、乗法的代表系とも呼ばれる。
主定理
証明の鍵は、$p$ 乗すると合同の精度が 1 段上がることである。
$j\ge1$ とし、$x,y\in R$ が $x\equiv y\pmod{\mathfrak{m}^j}$ を満たすなら、$x^p\equiv y^p\pmod{\mathfrak{m}^{j+1}}$ である。
$z:=x-y\in\mathfrak{m}^j$ とおくと、二項定理により $x^p=y^p+\sum_{i=1}^{p}\binom piy^{p-i}z^i$ である。$1\le i\le p-1$ では $\binom pi$ は $p$ で割り切れ、$k$ の標数が $p$ なので $p\in\mathfrak{m}$ であるから、これらの項は $\mathfrak{m}\cdot\mathfrak{m}^j=\mathfrak{m}^{j+1}$ に属する。$i=p$ の項 $z^p$ は $\mathfrak{m}^{pj}\subset\mathfrak{m}^{j+1}$ に属する（$pj\ge2j\ge j+1$）。$\square$
$R$、$k$ を上のとおりとする。
- Teichmüller 写像 $\omega\colon k\to R$ はただ一つ存在する。
- $a\in k$ と各 $n\ge0$ について $a^{p^{-n}}$ の持ち上げ $x_n\in R$ を任意に選ぶと、$\omega(a)=\lim_{n\to\infty}x_n^{p^n}$ である。
- $x\in R$ が $\omega(\bar x)$ に等しいことと、$x$ がすべての $n\ge0$ について $R$ の元の $p^n$ 乗であることは同値である。とくに $\omega(k)=\bigcap_{n\ge0}R^{p^n}$（$R^{p^n}$ は $p^n$ 乗の全体）である。
- $\omega(ab)=\omega(a)\omega(b)$、$\omega(1)=1$、$\omega(0)=0$ であり、$\omega$ は群の単射準同型 $k^\times\to R^\times$ を与える。
- $R$ の標数が $p$ なら $\omega$ は環準同型であり、$\omega(k)$ は $R$ の部分体で、還元写像により $k$ と同型である。
構成（2 の極限の存在）。 $a\in k$ を固定し、$x_n$ を $a^{p^{-n}}$ の持ち上げとして $y_n:=x_n^{p^n}$ とおく。$x_{n+1}^p$ と $x_n$ はどちらも $(a^{p^{-n-1}})^p=a^{p^{-n}}$ の持ち上げなので $x_{n+1}^p\equiv x_n\pmod{\mathfrak{m}}$ である。lem-tm-power を $n$ 回使うと
$$
y_{n+1}=(x_{n+1}^p)^{p^n}\equiv x_n^{p^n}=y_n\pmod{\mathfrak{m}^{n+1}}
$$
となる。よって $(y_n)$ は Cauchy 列であり、$R$ の完備性により極限 $\omega(a)$ をもつ。別の選び方 $x_n'$ についても $x_n'\equiv x_n\pmod{\mathfrak{m}}$ から $x_n'^{p^n}\equiv y_n\pmod{\mathfrak{m}^{n+1}}$ なので、極限は選び方によらない。各 $y_n$ は $(a^{p^{-n}})^{p^n}=a$ の持ち上げで、$a$ の持ち上げ全体 $x+\mathfrak{m}$ は閉集合なので、$\overline{\omega(a)}=a$ である。
$p$ 乗と積との両立。 $a^p$ に対しては、$(a^p)^{p^{-n}}=a^{p^{-(n-1)}}$ の持ち上げとして $x_{n-1}$ を選べるので、$\omega(a^p)=\lim_nx_{n-1}^{p^n}=\lim_n(y_{n-1})^p=\omega(a)^p$ である（$x\mapsto x^p$ は連続）。同様に、$ab$ に対しては $(ab)^{p^{-n}}$ の持ち上げとして $x_n(a)x_n(b)$ を選べるので、$\omega(ab)=\omega(a)\omega(b)$ である。$a=1,0$ では $x_n=1,0$ を選べば $\omega(1)=1$、$\omega(0)=0$ を得る。以上で $\omega$ は Teichmüller 写像で、4 の等式が成り立つ。$a\ne0$ なら $\omega(a)\omega(a^{-1})=1$ なので $\omega(a)\in R^\times$ で、$\overline{\omega(a)}=a$ から単射である。
特徴づけ（3）。 $\omega(a)=\omega(a^{p^{-n}})^{p^n}$（2 条件の 2 を $n$ 回）なので、$\omega(a)$ は $p^n$ 乗である。逆に $x=w_n^{p^n}$（$w_n\in R$）がすべての $n$ で成り立つとし、$a:=\bar x$ とおく。$\bar w_n^{p^n}=a$ であり、$k$ では $p^n$ 乗根は一意なので $\bar w_n=a^{p^{-n}}$、すなわち $w_n$ は $a^{p^{-n}}$ の持ち上げである。構成で $x_n:=w_n$ と選ぶと $y_n=x$ がすべての $n$ で成り立ち、$x=\omega(a)$ である。
一意性（1）。 $\omega'$ を別の Teichmüller 写像とすると、$\omega'(a)=\omega'(a^{p^{-n}})^{p^n}$ がすべての $n$ で成り立つので、3 により $\omega'(a)=\omega(a)$ である。
標数 $p$ の場合（5）。 $R$ の標数が $p$ なら $(x+y)^{p^n}=x^{p^n}+y^{p^n}$ なので、
$$
\omega(a)+\omega(b)=\bigl(\omega(a^{p^{-n}})+\omega(b^{p^{-n}})\bigr)^{p^n}
$$
はすべての $n$ で $p^n$ 乗であり、$a+b$ の持ち上げである。3 により $\omega(a)+\omega(b)=\omega(a+b)$ である。よって $\omega$ は体 $k$ からの環準同型で単射であり、像は部分体で、還元写像はその逆を与える。$\square$
構成は、剰余体で $p^n$ 乗根をとってから持ち上げ、$p^n$ 乗して誤差を $\mathfrak{m}^{n+1}$ まで押し込むことである。完備性は極限の存在に、完全性は $p^n$ 乗根の存在と一意性に、剰余標数 $p$ は lem-tm-power に使った。同じ議論は、$R$ を減少するイデアルの列 $\mathfrak{a}_1\supset\mathfrak{a}_2\supset\cdots$（$\mathfrak{a}_n\mathfrak{a}_m\subset\mathfrak{a}_{n+m}$）について完備で、$R/\mathfrak{a}_1$ が標数 $p$ の完全な環であるときにも通用する（Ser79 Chapter II, §4, Proposition 8、p. 35）。たとえば $\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}$ にも Teichmüller 代表元がある。
剰余体が有限体の場合
局所体 の付値環のように $k=\mathbb{F}_q$（$q=p^f$）のときは、$p^n$ 乗根をとる必要がなく、Teichmüller 代表元は $1$ の冪根で与えられる。$K$ を $R$ の分数体とし、$\mu_{q-1}(K):=\{x\in K\mid x^{q-1}=1\}$ とおく。
$k=\mathbb{F}_q$ とする。
- 任意の $x\in R$ について、列 $x,x^q,x^{q^2},\dots$ は $\omega(x)$ に収束する。
- $\omega(k)=\mu_{q-1}(K)\cup\{0\}$ であり、$\omega$ は群の同型 $k^\times\cong\mu_{q-1}(K)$ を与える。とくに $\mu_{q-1}(K)$ は位数 $q-1$ の巡回群である。
- $\omega(a)$ は、$a$ の持ち上げのうち $X^q=X$ の根であるただ一つの元である。
$k$ の元は $a^q=a$ を満たすので、2 条件の 2 を $f$ 回使うと $\omega(a)^q=\omega(a^q)=\omega(a)$ である。
1：$x\equiv\omega(x)\pmod{\mathfrak{m}}$ に lem-tm-power を $fn$ 回使うと $x^{q^n}\equiv\omega(x)^{q^n}=\omega(x)\pmod{\mathfrak{m}^{fn+1}}$ である。
2 と 3：$\omega$ は単射なので、$\omega(k)$ は多項式 $X^q-X$ の相異なる $q$ 個の根からなる。体 $K$ の上の $q$ 次多項式の根は高々 $q$ 個なので、$\omega(k)$ は $X^q-X$ の $K$ での根全体に等しい。$X^q-X=X(X^{q-1}-1)$ で $\omega(0)=0$ だから、$\omega(k^\times)=\mu_{q-1}(K)$ である。$\omega$ は乗法的なので群の同型 $k^\times\cong\mu_{q-1}(K)$ を与え、$k^\times$ は巡回群である（有限体）。$X^q=X$ の根で $a$ の持ち上げであるものは $\omega(k)$ の元で、類が $a$ なので $\omega(a)$ に限る。$\square$
$X^{q-1}-1$ は $q-1$ が $k$ で可逆なので $k$ 上で重根をもたず、Henselの補題 で $k^\times$ の各元を根として持ち上げても 2 と同じ結論が得られる。2 から、乗法群が $K^\times\cong\pi^{\mathbb{Z}}\times\mu_{q-1}(K)\times(1+\mathfrak{m})$ と分解する（局所体 の系「乗法群の分解」）。
Teichmüller 指標
$R=\mathbb{Z}_p$ とする。$p$ が奇素数なら、$\mathbb{Z}_p^\times\to\mu_{p-1}(\mathbb{Q}_p)$、$x\mapsto\omega(x)$ は群の準同型（thm-tm-main の 4）で、$\mu_{p-1}$ の上では恒等写像、核は $1+p\mathbb{Z}_p$ である。この準同型 $\omega$ を Teichmüller 指標という。$\langle x\rangle:=x/\omega(x)\in1+p\mathbb{Z}_p$ とおくと
$$
\mathbb{Z}_p^\times\cong\mu_{p-1}\times(1+p\mathbb{Z}_p),\qquad x\mapsto(\omega(x),\langle x\rangle)
$$
は群の同型である。$\omega$ は $p$ と素な整数 $n$ に $\omega(n)$ を対応させることで $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ の上の位数 $p-1$ の指標と見なせ、$\mu_{p-1}$ を $\mathbb{C}$ に埋め込めば、法 $p$ の Dirichlet指標 全体の群を生成する。$p=2$ では $\mu_1=\{1\}$ で $\omega$ は自明なので、代わりに $q=4$ として $a\equiv\omega(a)\pmod4$、$\omega(a)\in\{\pm1\}$ で定める流儀が使われる（Was82 §5.1、p. 51）。
Teichmüller 指標は p進L関数 の補間公式に現れる。Kubota–Leopoldt の $p$ 進 L 関数 $L_p(s,\chi)$ は、正の整数 $n$ について $L_p(1-n,\chi)=-(1-\chi\omega^{-n}(p)p^{n-1})B_{n,\chi\omega^{-n}}/n$（$B_{n,\psi}$ は一般化 Bernoulli 数）を満たす（Was82 Theorem 5.11、p. 57。この記事では証明しない）。$\omega^{-n}$ が現れるのは、$x^n=\omega(x)^n\langle x\rangle^n$ のうち $n$ について $p$ 進的に連続に動かせる因子 $\langle x\rangle^n$ だけを補間に使うためである。
Teichmüller 代表元を数字とする展開
$R$ の各元 $x$ は、$c_0,c_1,\dots\in k$ を用いて
$$
x=\sum_{n=0}^{\infty}\omega(c_n)\pi^n
$$
とただ一通りに表せる。
存在：$x_0:=x$ とし、$c_n:=\bar x_n$、$x_{n+1}:=(x_n-\omega(c_n))/\pi$ と帰納的に定める（$x_n-\omega(c_n)\in\mathfrak{m}=\pi R$ なので $x_{n+1}\in R$）。すると $x-\sum_{i=0}^{n}\omega(c_i)\pi^i=\pi^{n+1}x_{n+1}\in\mathfrak{m}^{n+1}$ なので、級数は $x$ に収束する。一意性：$\sum\omega(c_n)\pi^n=\sum\omega(c_n')\pi^n$ で $c_m\ne c_m'$ となる最小の $m$ をとると、両辺の差を $\pi^m$ で割って還元すれば $c_m=c_m'$ となり矛盾する。$\square$
$R=\mathbb{Z}_p$、$\pi=p$ では、$p$ 進数を $0$ と $1$ の $(p-1)$ 乗根を数字として書くことになる（p進展開 の命題「Teichmüller の数字」）。数字どうしの積がまた数字になるのがこの選び方の利点で、和には繰り上がりが生じる。$R$ の標数が $p$ なら $\omega$ は環準同型なので、展開は $R\cong k[\![\pi]\!]$（形式的冪級数環）という環の同型を与える。
Witt ベクトルとの関係
$k$ を標数 $p$ の完全体とすると、Witt ベクトルの環 $W(k)$ は $p$ を一意化元とし剰余体が $k$ の完備離散付値環である（Wittベクトル の定理「完全体上のWittベクトル環」）。$W(k)$ の Teichmüller 写像 $a\mapsto[a]=(a,0,0,\dots)$ は乗法的で（同じ記事の命題「Teichmüller写像の乗法性」）、$[a]$ の第 $0$ 成分は $a$ なので $[a]$ は $a$ の持ち上げであり、$[a^p]=[a]^p$ を満たす。thm-tm-main の一意性により、$[a]$ は $W(k)$ の Teichmüller 代表元 $\omega(a)$ に一致する。さらに Witt ベクトルの成分は Teichmüller 代表元による $p$ 進展開の数字と
$$
(a_0,a_1,a_2,\dots)=\sum_{n=0}^{\infty}\omega\bigl(a_n^{p^{-n}}\bigr)p^n
$$
の関係にある。これは $(a_0,a_1,\dots)=\sum_nV^n[a_n]$（Ser79 Chapter II, §6、p. 43）と、Wittベクトル の命題「標数 $p$ の環での $p$ 倍の公式」から出る $V^n[b]=V^nF^n[b^{p^{-n}}]=p^n[b^{p^{-n}}]$ による。$k=\mathbb{F}_p$ では $W(\mathbb{F}_p)=\mathbb{Z}_p$ で、成分 $a_n$ は $\mathbb{F}_p$ の元なので $a_n^{p^{-n}}=a_n$ となり、Witt 成分は Teichmüller 数字そのものである。
例と反例
$\mathbb{Z}_5$ では $\omega(1)=1$、$\omega(4)=-1$ である。$\omega(2)$ は $\omega(2)^4=1$、$\omega(2)^2\equiv4\equiv-1\pmod5$ を満たすので $\omega(2)^2=-1$ である（$\mu_4$ の位数 $2$ の元は $-1$ だけ）。$\omega(2)\equiv2^{5^n}\pmod{5^{n+1}}$ を計算すると
$$
\omega(2)=2+1\cdot5+2\cdot5^2+1\cdot5^3+3\cdot5^4+4\cdot5^5+\cdots
$$
で、$\omega(3)=\omega(2)^{-1}=-\omega(2)$ である。$\mathbb{Z}_7$ では $2^3=8\equiv1\pmod7$ なので $\omega(2)$ は $1$ の原始 3 乗根で、$\omega(2)^2+\omega(2)+1=0$、すなわち $\omega(2)=(-1\pm\sqrt{-3})/2$ のうち $2$ と合同なほうである。
$\mathbb{Z}_5$ で $\omega(1)+\omega(1)=2$ であるが、上の展開で $\omega(2)$ の $5^1$ の数字は $1$ なので $\omega(2)\ne2$ であり、$\omega(1+1)\ne\omega(1)+\omega(1)$ である。実際 $2^4=16\ne1$ なので $2\notin\mu_4$ である。一般に $R$ の標数が $0$ なら $\omega$ は決して加法的でない。加法的なら $p=p\,\omega(1)=\omega(p\cdot1)=\omega(0)=0$ となるからである。標数 $0$ の $R$ では一般に $\omega(a)+\omega(b)\equiv\omega(a+b)\pmod{\mathfrak{m}}$ しか言えず、その差を測るのが Witt ベクトルの加法の公式である。
$R=\mathbb{F}_q[\![t]\!]$ では、定数 $c\in\mathbb{F}_q$ は $c=(c^{p^{-n}})^{p^n}$ とすべての $p^n$ 乗に書けるので、thm-tm-main の 3 により $\omega(c)=c$ である。すなわち $\omega$ は包含 $\mathbb{F}_q\subset\mathbb{F}_q[\![t]\!]$ であり、加法的である。$t$ を含む元、たとえば $1+t$ は $p$ 乗でない（$p$ 乗元の $t$ の 1 次の係数は $0$）ので、$\omega(1)=1$ と異なる $1$ の持ち上げ $1+t$ は Teichmüller 代表元ではない。
次の表は、thm-tm-main の仮定を 1 つずつ外した反例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $R$ が完備 | $\mathbb{Z}_{(5)}$（$\mathbb{Z}$ の $5$ での局所化） | Teichmüller 写像の存在 |
| $k$ が完全体 | $R=\mathbb{F}_p(t)[\![x]\!]$ | 乗法的な持ち上げの一意性 |
| $k$ の標数が正 | $R=\mathbb{C}[\![t]\!]$ | 乗法的な持ち上げの一意性 |
| $R$ の標数が $p$（thm-tm-main の 5） | $\mathbb{Z}_5$（ex-tm-not-additive） | $\omega$ の加法性 |
1 行目：Teichmüller 写像 $\omega$ があれば $\omega(2)^5=\omega(2^5)=\omega(2)$ で、$\omega(2)\ne0$ だから $\omega(2)^4=1$ となる。$\mathbb{Z}_{(5)}\subset\mathbb{Q}$ の $1$ の $4$ 乗根は $\pm1$ だけで、どちらも $2$ と $5$ を法として合同でない。2 行目：包含 $\mathbb{F}_p(t)\subset R$ と、$t\mapsto t+x$ で定まる環準同型 $\mathbb{F}_p(t)\to R$（$0$ でない多項式 $f$ について $f(t+x)$ は定数項 $f(t)\ne0$ をもち可逆）は、どちらも $p$ 乗と可換な乗法的な持ち上げで、$t$ の行き先が異なる。$t$ は $k$ の $p$ 乗元でないので、3 の特徴づけも使えない。3 行目：包含 $a\mapsto a$ と、$a\mapsto a\exp(t\log|a|)$（$\exp$ は形式的冪級数、$0\mapsto0$）は、$\log|ab|=\log|a|+\log|b|$ によりどちらも乗法的な持ち上げで、$a=2$ で異なる。
関連項目
参考文献
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