Bruhat順序

1：$\varepsilon(s):=-1$（$s\in S$）は Coxeter 関係式 $(st)^{m(s,t)}=1$ を満たすので、準同型 $\varepsilon\colon W\to\{\pm1\}$ が定まり、$\varepsilon(w)=(-1)^{\ell(w)}$ である。$t=usu^{-1}$ なら $\varepsilon(t)=\varepsilon(s)=-1$ なので $\varepsilon(wt)=-\varepsilon(w)$ となり、$\ell(wt)$ と $\ell(w)$ は偶奇が違う。
2：$n=0$ の列で反射律が、列の連結で推移律が成り立つ。列に沿って長さは狭義に増えるので、$v< w$ なら $\ell(v)<\ell(w)$ で、反対称律が従う。$w=s_1\cdots s_q$ を簡約表示とすると、$s_1\cdots s_k$ の長さは $k$ なので $1\to s_1\to s_1s_2\to\cdots\to w$ であり、$1\le w$ である。
3：$s\in T$ なので定義そのものである。$\square$

$u\to w$ の場合：$w=ut$（$t\in T$）、$\ell(u)<\ell(w)$ とする。

• $us=w$ なら $us\le w$ である。
• $\ell(us)<\ell(u)$ なら、$u=(us)s$ と $s\in T$ から $us\to u$ で、$us\le u\le w$ である。
• 残りは $us\neq w$ かつ $\ell(us)>\ell(u)$ の場合である。$ws=uts=(us)(sts)$ で $sts\in T$ なので、prop-bruhat-partial-order の 1 により $\ell(ws)\neq\ell(us)$ である。$\ell(us)<\ell(ws)$ なら $us\to ws$ で、$us\le ws$ である。
  $\ell(us)>\ell(ws)$ となりえないことを示す。そう仮定すると $\ell(ws)<\ell(us)=\ell(u)+1\le\ell(w)$ なので $\ell(ws)=\ell(w)-1$ である。$q:=\ell(w)$ とし、$ws$ の簡約表示 $s_1\cdots s_{q-1}$ をとると、$w=s_1\cdots s_{q-1}s$ は簡約表示である。$\ell(wt)=\ell(u)<\ell(w)$ なので強交換条件により、$u=wt$ はこの表示から 1 文字を消した語で書ける。消すのが最後の $s$ なら $u=ws$、すなわち $us=w$ となって仮定に反する。そうでなければ $u=s_1\cdots\widehat{s_i}\cdots s_{q-1}s$、$us=s_1\cdots\widehat{s_i}\cdots s_{q-1}$ で $\ell(us)\le q-2$ となるが、仮定から $\ell(us)>\ell(ws)=q-1$ であり矛盾する。

一般の場合：$u=x_0\to x_1\to\cdots\to x_n=w$ の $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $us=ws$ である。$n\ge1$ なら、帰納法の仮定により $us\le x_{n-1}$ または $us\le x_{n-1}s$ であり、上の場合により $x_{n-1}s\le w$ または $x_{n-1}s\le ws$ である。$x_{n-1}\le w$ と合わせて、いずれの組合せでも $us\le w$ または $us\le ws$ となる。$\square$

1 ⇒ 3：次を $v=x_0\to\cdots\to x_n=w$ の長さ $n$ についての帰納法で示す：「$w$ のどの簡約表示にも、$v$ の簡約表示になる部分語がある」。$n=0$ なら表示全体をとる。$n\ge1$ とし、$x:=x_{n-1}$ とおく。$x\to w$ なので $x=wt$（$t\in T$）、$\ell(wt)<\ell(w)$ であり、強交換条件により $x=s_1\cdots\widehat{s_i}\cdots s_q$ と書ける。消去条件を繰り返し当てて文字を消すと、$s_1\cdots s_q$ の部分語で $x$ の簡約表示になるものが得られる。$v\le x$ は長さ $n-1$ の列で結ばれるので、帰納法の仮定により、この $x$ の簡約表示の部分語で $v$ の簡約表示になるものがある。それは $s_1\cdots s_q$ の部分語でもある。
3 ⇒ 2 は明らかである。
2 ⇒ 1：$q$ についての帰納法で示す。$q=0$ なら $v=w=1$ である。$q\ge1$ とし、$w':=s_1\cdots s_{q-1}$ とおくと、これは長さ $q-1$ の簡約表示で、$w=w's_q$、$\ell(w')<\ell(w)$ なので $w'\to w$ である。$v=s_{i_1}\cdots s_{i_k}$ とする。

• $i_k< q$（または $k=0$）なら $v$ は $w'$ の表示の部分語の値で、帰納法の仮定により $v\le w'\le w$ である。
• $i_k=q$ なら $v':=s_{i_1}\cdots s_{i_{k-1}}$ は $w'$ の表示の部分語の値で、帰納法の仮定により $v'\le w'$ である。lem-bruhat-z により $v's_q\le w'$ または $v's_q\le w's_q$ であり、$v=v's_q$、$w'\le w$、$w's_q=w$ なので、どちらの場合も $v\le w$ である。$\square$

要点：簡約表示を逆順に読む、部分語を数える、部分語の文字は元の表示の文字である、の 3 つである。

1：$\ell(w)$ についての帰納法で示す。$u< w$ なので $\ell(w)\ge1$ で、$\ell(ws)<\ell(w)$ となる $s\in S$ がある（簡約表示の最後の文字）。$u\le ws$ なら $t=s$ でよい。
$u\not\le ws$ とする。$ws$ の簡約表示 $s_1\cdots s_{q-1}$ をとると $w=s_1\cdots s_{q-1}s$ は簡約表示で、thm-bruhat-subword により $u$ はその部分語の値である。部分語が最後の $s$ を使わないなら、$u$ は $ws$ の簡約表示の部分語の値となり $u\le ws$ に反する。よって $u=v's$ で、$v'=us$ は $s_1\cdots s_{q-1}$ の部分語の値だから $us\le ws$ である。$us=ws$ なら $u=w$ となるので $us< ws$ である。$\ell(ws)<\ell(w)$ なので帰納法の仮定により、$us\le x$、$\ell(x)=\ell(ws)-1$ となる $x:=wst'$（$t'\in T$）がある。$x\to ws$ なので $x\le ws$ である。
lem-bruhat-z を $us\le x$ と $s$ に当てると、$u\le x$ または $u\le xs$ である。$u\le x$ なら $u\le ws$ となり仮定に反するので $u\le xs$ である。$\ell(xs)<\ell(x)$ なら $xs\le x\le ws$ となりやはり仮定に反するので、$\ell(xs)=\ell(x)+1=\ell(w)-1$ である。$t:=st's\in T$ とおくと $wt=wst's=xs$ なので、この $t$ が求めるものである。
2：1 を繰り返し当てると、$w$ から長さを 1 ずつ下げながら $u$ 以上にとどまる列ができ、長さが $\ell(u)$ に達したところで（prop-bruhat-partial-order の 2 により）$u$ に一致する。$w$ が $u$ を被覆するなら、1 の $wt$ は $u\le wt< w$ を満たすので $u=wt$、$\ell(w)=\ell(u)+1$ である。逆に長さの差が $1$ なら、間の元は長さが狭義に間にあるので存在しない。極大な鎖の各段は被覆なので、長さはちょうど $1$ ずつ増え、段数は $\ell(w)-\ell(u)$ である。$\square$

要点：極大元はどの $s$ を右から掛けても短くなり、そのような元は正ルートをすべて負ルートに写すので一つしかない。