到達不能基数

$\kappa$ を到達不能基数とする。非可算性と正則性は両定義に共通なので、$\kappa$ が極限基数であることだけを示せばよい。もし $\kappa=\lambda^+$ なら、Cantorの定理より
$$ \lambda^+\le 2^\lambda $$
である。一方、$\lambda<\kappa$ と強極限性から $2^\lambda<\kappa=\lambda^+$ となり矛盾する。したがって $\kappa$ は後続基数ではなく、極限基数である。$\blacksquare$

強到達不能基数は弱到達不能基数なので、2にモデルがあれば1にもモデルがある。
逆に、$M$ を1のモデルとし、$\kappa$ を $M$ で弱到達不能な基数とする。$M$ の構成可能宇宙 $L^M$ を考える。$L^M$ はZFCとGCHを満たす。$M$ での $\kappa$ の正則性は $L^M$ でも保たれる。実際、$L^M$ に $\kappa$ 未満の長さの共終列があれば、それは $M$ にも属し、$M$ での正則性に反する。また $M$ の基数は $L^M$ でも基数であり、$M$ で $\kappa$ 未満の基数は $\kappa$ において非有界である。従って $L^M$ でも $\kappa$ 未満の基数は非有界であり、$\kappa$ は極限基数である。GCHにより、$L^M$ の各無限基数 $\lambda<\kappa$ について
$$ (2^\lambda)^{L^M}=(\lambda^+)^{L^M}<\kappa $$
となる。有限基数についても同様に値は $\kappa$ 未満である。したがって $L^M$ では $\kappa$ が強到達不能であり、2のモデルが得られる。$\blacksquare$

$\lambda<\beth_\omega$ とする。$\beth_\omega$ は増大列 $(\beth_n)_{n<\omega}$ の上限なので、ある $n$ について $\lambda<\beth_n$ である。従って
$$ 2^\lambda\le 2^{\beth_n}=\beth_{n+1}<\beth_\omega, $$
ゆえに $\beth_\omega$ は強極限である。一方、列 $(\beth_n)_{n<\omega}$ は $\beth_\omega$ で共終だから $\operatorname{cf}(\beth_\omega)\le\omega$ である。$\beth_\omega$ は極限順序数なので有限共終数をもたず、従って
$$ \operatorname{cf}(\beth_\omega)=\omega<\beth_\omega. $$
従って $\beth_\omega$ は正則でなく、到達不能基数ではない。これは「強極限なら正則」という含意を破る反例である。$\blacksquare$

$\alpha$ に関する超限帰納法で示す。$V_0=\emptyset$ では明らかである。$|V_\alpha|<\kappa$ なら、強極限性から
$$ |V_{\alpha+1}|=|\mathcal P(V_\alpha)|=2^{|V_\alpha|}<\kappa. $$
$\delta<\kappa$ が極限順序数で、すべての $\alpha<\delta$ について $|V_\alpha|<\kappa$ とする。$V_\delta=\bigcup_{\alpha<\delta}V_\alpha$ であり、$\delta<\kappa$ 個の $\kappa$ 未満の集合の和である。$\kappa$ の正則性からその濃度は $\kappa$ 未満である。よって帰納法が完了する。
最後に $x\in V_\kappa$ なら、ある $\alpha<\kappa$ に対して $x\in V_{\alpha+1}$、従って $x\subseteq V_\alpha$ である。したがって $|x|\le|V_\alpha|<\kappa$ である。$\blacksquare$

$M=V_\kappa$ とおく。$M$ は推移的であり、$\kappa$ は極限順序数なので、元の階数に有限数を加えたものはなお $\kappa$ 未満である。
外延性は、$M$ の元の元がすべて $M$ に属することから従う。$M$ 内で同じ元をもつ二つの集合は、外でも同じ元をもつ。空集合、対、和集合は、その階数が有限数だけ増えるか、増えないことから $M$ にある。正則性は、外の正則性公理が与える $a\in M$ の最小元も、$M$ の推移性によって $M$ にあることから従う。
$a\in M$ の任意の部分集合は $a$ より階数が大きくならず、すべて $M$ にある。さらに $\mathcal P(a)$ の階数は $a$ の階数より一つ大きいので $M$ にある。このため内部のべき集合は外のべき集合と一致し、べき集合公理が成立する。分出公理図式の各論理式について、すべての量化を $M$ に制限した外の論理式を使って $a$ の部分集合を作ればよい。その部分集合も $M$ にある。無限公理は $\omega\in V_{\omega+1}\subseteq M$ によって満たされる。
置換について、$M$ の中で各 $x\in a$ に一意な $y\in M$ を対応させる論理式を固定する。外の置換公理をその相対化した論理式に適用すると、像 $b$ は集合になる。prop-inaccessible-rank-small より $|a|<\kappa$ である。$b$ の各元の階数は $\kappa$ 未満であり、その個数は $|a|$ 以下なので、正則性により階数に1を加えた値の上限 $\beta$ も $\kappa$ 未満である。従って $b\subseteq V_\beta$ であり、$b\in V_{\beta+1}\subseteq M$ となる。
最後に、外の選択公理によって任意の $a\in M$ を整列する関係 $R\subseteq a\times a$ を選ぶ。順序対を集合として符号化しても階数は有限数だけ増えるので、$a\times a$ と $R$ は $M$ にある。外で整列する関係は、$M$ に属する空でない部分集合についても最小元を与えるため、内部でも整列順序である。従って $M$ は整列可能定理、同値な選択公理を満たす。以上は公理図式の各論理式に適用でき、$(M,\in)\models\mathsf{ZFC}$ を得る。$\square$

理論
$$ T=\mathsf{ZFC}+\text{「到達不能基数が存在する」} $$
は、到達不能基数 $\kappa$ を取り、前節の定理を $V_\kappa$ に適用することにより「ZFCの集合モデルが存在する」を証明する。従って $T$ は $\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})$ を証明する。
もしZFC自身が「到達不能基数が存在する」を証明するなら、同じ推論によりZFC自身が $\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})$ を証明する。しかしZFCが無矛盾なら、Gödelの第2不完全性定理によりこれは不可能である。従って、ZFCが無矛盾ならZFCは到達不能基数の存在を証明しない。$\blacksquare$

$V_\kappa$ は推移的である。$x,y\in V_\kappa$ なら両者の階数は $\kappa$ 未満なので $\{x,y\}$ の階数も $\kappa$ 未満である。$x\in V_\kappa$ なら、$\kappa$ が極限順序数であることから $\mathcal P(x)\in V_\kappa$ である。
最後に $I\in V_\kappa$、各 $i\in I$ について $x_i\in V_\kappa$ とする。前節の命題より $|I|<\kappa$ である。各 $x_i$ の階数に1を加えた順序数の上限を $\beta$ とする。$\kappa$ は正則なので $\beta<\kappa$ であり、すべての $x_i$ は $V_\beta$ に属する。従って $\bigcup_{i\in I}x_i\in V_{\beta+1}\subseteq V_\kappa$ である。以上で四条件がすべて成り立つ。$\blacksquare$

$\lambda=\max(\aleph_0,|A|,|B|)$ とおく。$\kappa$ は非可算なので $\lambda<\kappa$ である。各写像は $A\times B$ の部分集合であるグラフによって一意に決まる。無限基数の積の公式により $|A\times B|\le\lambda\cdot\lambda=\lambda$ だから
$$ |B^A|\le2^{|A\times B|}\le2^\lambda<\kappa. $$
最後の不等式が強極限性である。$A$ または $B$ が空の場合も、グラフによるこの評価はそのまま成り立つ。
後半では $A,B\in V_\kappa$ とする。両者の階数の共通上界 $\alpha<\kappa$ を取る。Kuratowskiの順序対の階数は成分の階数の最大値より高々2大きいので、$A\times B$、そのべき集合、さらにその部分集合である $B^A$ の階数は $\alpha$ に一定の有限数を加えた値で抑えられる。$\kappa$ は極限順序数なのでこの値も $\kappa$ 未満であり、$B^A\in V_\kappa$ となる。$\square$