永田の例(無限次元のNoether環)

$R$ の任意のイデアル $I$ が有限生成であることを示す。$I=0$ なら明らかなので、$0$ でない $a\in I$ を取る。条件 2 により、$a$ を含む極大イデアルは有限個で、それを $\mathfrak n_1,\dots,\mathfrak n_r$ とする。
条件 1 により $IR_{\mathfrak n_l}$ は有限生成なので、各 $l$ について $I$ の有限個の元で、その像が $IR_{\mathfrak n_l}$ を生成するものを選べる（生成元 $b/s$ の分母は $R_{\mathfrak n_l}$ の単元なので、分子 $b\in I$ だけで生成される）。これらすべてと $a$ で生成される $I$ の部分イデアルを $J$ とする。$J$ は有限生成で、すべての極大イデアル $\mathfrak n$ について $JR_{\mathfrak n}=IR_{\mathfrak n}$ である。実際、$\mathfrak n=\mathfrak n_l$ なら選び方による。それ以外の $\mathfrak n$ では $a\notin\mathfrak n$ なので $a$ は $R_{\mathfrak n}$ の単元であり、$JR_{\mathfrak n}=IR_{\mathfrak n}=R_{\mathfrak n}$ である。
$I=J$ を示す。$I/J$ に $0$ でない元 $u$ があれば、その零化イデアル $\operatorname{Ann}(u)$ は真のイデアルなので、ある極大イデアル $\mathfrak n$ に含まれる。$u$ の $(I/J)_{\mathfrak n}$ での像が $0$ なら、ある $s\notin\mathfrak n$ で $su=0$ となり、$s\in\operatorname{Ann}(u)\subset\mathfrak n$ に矛盾する。従って $(I/J)_{\mathfrak n}\ne0$ である。一方、局所化は完全なので $(I/J)_{\mathfrak n}=IR_{\mathfrak n}/JR_{\mathfrak n}=0$ であり、矛盾する。よって $I=J$ は有限生成である。$\square$

$I\ne0$ で、どの $\mathfrak p_i$ にも含まれないと仮定して矛盾を導く。$0$ でない $f\in I$ を取る。有限指標により $f$ を含む $\mathfrak p_i$ は有限個で、それを $\mathfrak p_{i_1},\dots,\mathfrak p_{i_s}$ とする。$I$ はこの有限個のどれにも含まれないので、有限個の素イデアルの回避（素イデアル回避）により、どの $\mathfrak p_{i_j}$ にも入らない $g\in I$ がある（$s=0$ なら $g=f$ とする）。
$f$ にも $g$ にも現れない組 $X_c$ を選び、その変数 $t\in X_c$ を一つ取って $h:=f+tg\in I$ とおく。$h$ がどの $\mathfrak p_i$ にも入らないことを、組 $X_i$ の変数を $0$ にした像 $\bar h=\bar f+\bar t\,\bar g$ で確かめる。

• $i=c$ のとき：$f,g$ は $X_c$ の変数を使わないので $\bar f=f$、$\bar g=g$、$\bar t=0$ であり、$\bar h=f\ne0$ である。
• $i=i_j$ のとき：$\bar f=0$、$\bar g\ne0$（$g\notin\mathfrak p_{i_j}$）、$\bar t=t$ なので $\bar h=t\bar g\ne0$ である。
• それ以外の $i$ のとき：$f\notin\mathfrak p_i$ なので $\bar f\ne0$ である。$\bar f$ と $\bar g$ は変数 $t$ を含まないので、$t$ についての次数を見ると、$\bar f$ は次数 $0$ の $0$ でない元、$t\bar g$ は次数 $1$ 以上の項だけからなる。従って $\bar h\ne0$ である。
  よって $h\in I$ はどの $\mathfrak p_i$ にも入らず、$I\subset\bigcup_i\mathfrak p_i$ に反する。$\square$

$S\subset A\setminus\mathfrak p_i$ なので、局所化を二段に分けて $B_{\mathfrak m_i}=(S^{-1}A)_{S^{-1}\mathfrak p_i}\cong A_{\mathfrak p_i}$ である。$A=C_i[y_1,\dots,y_i]$ であり、$C_i\setminus\{0\}$ の元は $\mathfrak p_i$ に入らない（$y$ を $0$ にしても変わらない）。そこでまず $C_i\setminus\{0\}$ で局所化すると $K_i[y_1,\dots,y_i]$ になり、$\mathfrak p_i$ は $(y_1,\dots,y_i)$ に移るので、$A_{\mathfrak p_i}\cong K_i[y]_{(y)}$ である。
$D:=K_i[y]_{(y)}$ は体上の有限変数多項式環の局所化なので Noether 局所環であり（Hilbertの基底定理、局所化）、極大イデアルは $i$ 個の元 $y_1,\dots,y_i$ で生成される。従って $\dim D\le i$ である（パラメータ系 の補題「極大根基の生成元数による次元上界」）。一方 $D/(y_1,\dots,y_j)D$ は $K_i[y_{j+1},\dots,y_i]$ の局所化で整域なので、
$$ 0\subsetneq(y_1)\subsetneq(y_1,y_2)\subsetneq\cdots\subsetneq(y_1,\dots,y_i) $$
は $D$ の素イデアルの鎖であり、$\dim D\ge i$ である。よって $\dim D=i$ で、極大イデアルが $\dim D$ 個の元で生成されるので $D$ は正則局所環である。$\square$

1. $B$ の素イデアルは、$S$ と交わらない $A$ の素イデアル $P$ によって $S^{-1}P$ と書ける（局所化）。$P\cap S=\emptyset$ は $P\subset\bigcup_i\mathfrak p_i$ を意味するので、lem-nagata-avoidance によりある $i$ で $P\subset\mathfrak p_i$ である。また $j\ne i$ なら $X_i$ の変数は $\mathfrak p_j$ に入らないので $\mathfrak p_i\not\subset\mathfrak p_j$ である。
   $\mathfrak p_i$ を含み $S$ と交わらない素イデアル $P$ は、ある $j$ で $\mathfrak p_i\subset P\subset\mathfrak p_j$ となるので $j=i$、$P=\mathfrak p_i$ である。従って $\mathfrak m_i=S^{-1}\mathfrak p_i$ は $B$ の極大イデアルである。逆に $B$ の任意の極大イデアル $S^{-1}P$ は、$P\subset\mathfrak p_i$ となる $\mathfrak m_i$ に含まれるので $\mathfrak m_i$ に等しい。局所環の主張は lem-nagata-local-ring であり、$\operatorname{ht}\mathfrak m_i=\dim B_{\mathfrak m_i}=i$ である。
2. thm-nagata-noether-criterion の条件を確かめる。条件 1 は lem-nagata-local-ring による。条件 2：$0$ でない $b=f/s\in B$（$f\in A$、$s\in S$）が $\mathfrak m_i$ に入れば、ある $u\in S$ で $uf\in\mathfrak p_i$ となり、$u\notin\mathfrak p_i$ と素イデアルの性質から $f\in\mathfrak p_i$ である。有限指標により、そのような $i$ は有限個である。従って $B$ は Noether 環である。
3. 1 により $\dim B\ge\operatorname{ht}\mathfrak m_i=i$ がすべての $i$ で成り立つ。$\square$