複素コボルディズム

前提知識: コボルディズム, Chern類, 概複素構造, 形式群, 一般コホモロジー理論

複素コボルディズム（complex cobordism）は、接束に（安定的な）複素構造を入れた閉多様体を、同じ構造をもつ多様体の境界になるかどうかで分類する理論である。同境類の全体は非交和と直積で次数付き可換環 $\Omega^U_*$ をなし、Thom スペクトラム $MU$ のホモトピー群 $\pi_*(MU)$ と同型になる。$MU$ は一般コホモロジー理論 $MU^*(-)$ を定め、これが複素コボルディズム理論である。
複素コボルディズム環は Milnor と Novikov によって多項式環 $\mathbb Z[x_1,x_2,\dots]$（$x_i$ は次数 $2i$）と決定され、2 つの多様体が複素同境であることは Chern 数がすべて等しいことと同値である。さらに Quillen は、$MU$ が複素射影空間 $\mathbb{CP}^\infty$ を通じて定める形式群則が普遍的な形式群則であること、すなわち $\pi_*(MU)$ が Lazard 環と同型であることを示した。これにより、安定ホモトピー論と形式群の代数が結びつく。この記事では、安定複素構造と Chern 数を定義し、境界になる多様体の Chern 数が $0$ であることを証明する。次に複素向きをもつコホモロジー理論から形式群則が得られることを証明し、通常のコホモロジーと $K$ 理論の例と Quillen の定理を述べる。

安定複素多様体と Chern 数

多様体は滑らかでコンパクトとし、境界付きの場合も含める。実ベクトル束 $\varepsilon^k$ は階数 $k$ の自明束を表す。

複素ベクトル束は標準的な向きをもつので（概複素構造 の命題「次元の偶数性と標準的な向き」）、安定複素多様体は向き付けられる。概複素多様体（とくに複素多様体）は $k=0$ の安定複素多様体である。$\mathbb R^{n+1}$ の中の球面 $S^n$ では $TS^n\oplus\varepsilon^1\cong\varepsilon^{n+1}$ なので（法束が自明）、$n$ が奇数なら $TS^n\oplus\varepsilon^1\cong\mathbb C^{(n+1)/2}_{\mathbb R}$ という安定複素構造が入る。$n$ が偶数でも $\varepsilon^1$ をもう 1 つ足せば同様である。
$W$ が境界付きの安定複素多様体で $TW\oplus\varepsilon^k\cong\xi_{\mathbb R}$ なら、外向きの法線ベクトル場が $TW|_{\partial W}\cong T(\partial W)\oplus\varepsilon^1$ を与えるので、$\partial W$ に安定複素構造 $T(\partial W)\oplus\varepsilon^{k+1}\cong(\xi|_{\partial W})_{\mathbb R}$ が入る。これを 誘導された安定複素構造という。
$TM\oplus\varepsilon^k\cong\xi_{\mathbb R}$ に $\varepsilon^2$ を足し、$\varepsilon^2=\mathbb R^2$ を複素共役な複素構造で $\mathbb C$ とみると、$\xi\oplus\mathbb C$ による安定複素構造で向きが逆のものが得られる。これを $-M$ と書く。自明な複素直線束を足しただけなので、$-M$ の Chern 類は $M$ と同じである。閉じた安定複素多様体 $M_0,M_1$ が 複素同境であるとは、$M_0$ と $-M_1$ の非交和が、ある安定複素多様体の境界として（誘導された構造を含めて）現れることをいう。これは同値関係で、$n$ 次元の閉じた安定複素多様体の同境類の全体は非交和でアーベル群 $\Omega^U_n$ をなし、直積で次数付き可換環 $\Omega^U_*=\bigoplus_n\Omega^U_n$ になる（Rav04 §4.1, p. 104。この記事では証明しない）。
$M$ を閉じた安定複素多様体で実次元 $2n$ とし、$TM\oplus\varepsilon^k\cong\xi_{\mathbb R}$ とする。$c_i(M):=c_i(\xi)\in H^{2i}(M;\mathbb Z)$ は、自明な直線束を足しても変わらないので（Chern類 の例「自明束と自明な直和因子」）、安定複素構造だけで決まる。$n$ の分割 $I=(i_1,\dots,i_r)$（$i_1+\cdots+i_r=n$）について
$$ c_I[M]:=\bigl\langle c_{i_1}(M)\cdots c_{i_r}(M),\ [M]\bigr\rangle\in\mathbb Z $$
を $M$ の Chern 数という。$[M]\in H_{2n}(M;\mathbb Z)$ は向きの定める基本類である。実次元が奇数なら Chern 数はすべて $0$ と定める。

これは向き付けられた多様体の Pontryagin 数についての Pontryagin の補題（MS74 Lemma 17.3, p. 202）と同じ議論である。Chern 数は非交和について加法的で、$-M$ では基本類の符号だけが変わるので $c_I[-M]=-c_I[M]$ である。よって $M_0\sqcup(-M_1)$ が境界なら $c_I[M_0]=c_I[M_1]$ であり、各 $c_I$ は準同型 $c_I\colon\Omega^U_{2n}\to\mathbb Z$ を定める。

Thom スペクトラム $MU$

$BU(n)$ を $U(n)$ の分類空間、$\gamma^n$ をその上の普遍な複素 $n$ 次元ベクトル束とし、$MU(n)$ を $\gamma^n$ の Thom空間 とする。包含 $BU(n)\to BU(n+1)$ による $\gamma^{n+1}$ の引き戻しは $\gamma^n\oplus\mathbb C$ で、その Thom 空間は $\Sigma^2MU(n)$ なので、写像 $\Sigma^2MU(n)\to MU(n+1)$ が得られる。こうしてできるスペクトラム（スペクトル(ホモトピー論)）を Thom スペクトラム $MU$ という。そのホモトピー群は $\pi_m(MU)=\operatorname{colim}_n\pi_{m+2n}(MU(n))$ である。
Thom の Pontryagin–Thom 構成は、閉じた安定複素多様体を十分大きな次元の Euclid 空間に埋め込み、法束の分類写像と法束の管状近傍のつぶしから $S^{m+2n}\to MU(n)$ を作るもので、同型 $\Omega^U_m\cong\pi_m(MU)$ を与える（Rav04 p. 104。この記事では証明しない）。ここでは安定複素構造を接束でなく安定法束の複素構造で与える流儀をとっており、$TM\oplus\nu\cong\varepsilon^N$ により 2 つの流儀は互いに移り合う。直積は $MU$ の積 $MU(m)\wedge MU(n)\to MU(m+n)$（$\gamma^m\times\gamma^n$ の分類写像の Thom 空間）に対応し、$MU$ は可換な環スペクトラムとして乗法的な一般コホモロジー理論 $MU^*(-)$ を定める。$MU^*(-)$ を 複素コボルディズム理論という。係数環は $MU^{-m}(\mathrm{pt})=\pi_m(MU)\cong\Omega^U_m$ である。

複素向きと形式群則

乗法的なコホモロジー理論 $E^*(-)$（可換な環スペクトラム $E$ が定めるもの。一般コホモロジー理論）について、$E^*:=E^*(\mathrm{pt})$ と書く。

これは Rav04 Definition 4.1.1（p. 104）の定義である。整数係数の通常のコホモロジー $H$ は $\mathbb{CP}^\infty$ の超平面類 $x_H=c_1(\gamma^1)$ で複素向き付けられる（Rav04 Example 4.1.2）。$MU$ は、$\mathbb{CP}^\infty=BU(1)\simeq MU(1)\to\Sigma^2MU$ が定める類 $x_{MU}\in MU^2(\mathbb{CP}^\infty)$ で複素向き付けられる（同 Example 4.1.3）。

$\mathbb{CP}^\infty=BU(1)$ は複素直線束を分類し、直線束のテンソル積 $L_1\otimes L_2$ を分類する写像 $t\colon\mathbb{CP}^\infty\times\mathbb{CP}^\infty\to\mathbb{CP}^\infty$ がある。直線束のテンソル積は同型を除いて結合的・可換で、自明な直線束が単位元なので、$t$ はホモトピーを除いて結合的・可換で、基点 $*$ を単位元とする（$t(-,*)\simeq\mathrm{id}$）。

これは Rav04 Lemma 4.1.4 (c)（p. 105）で、そこでは $\mathbb{CP}^\infty$ が結合的・可換な単位元つきの H 空間であることから従うと述べられている。

条件を外したときの反例

1 行目：$\mathbb{CP}^1=S^2$ は向き付けられた多様体として $D^3$ の境界だが、$c_1[\mathbb{CP}^1]=2\neq0$ である（cc-ex-cpn）。cc-thm-boundary により、$D^3$ のどの安定複素構造も $\mathbb{CP}^1$ の複素構造を誘導しない。2 行目：$KO$ は複素向きをもたない環スペクトラムの例として挙げられている（Rav04 p. 104）。
$H$ と $K$ の形式群則は、$\mathbb Z$ の上では同型でない（形式群 の例「反例：$\mathbb Z$ 上では乗法形式群と加法形式群は同型でない」）。$\mathbb Q$ を係数に含めると、どの形式群則も対数によって加法形式群則と同型になる（形式群 の定理「形式群の対数」）。$F_K$ の対数は $\beta^{-1}\log(1+\beta X)$ である（$1+\beta F_K(X,Y)=(1+\beta X)(1+\beta Y)$ の対数をとる）。

補足

複素コボルディズムは安定ホモトピー論の計算の中心にある。$MU$ を使った Adams スペクトル系列（Adams–Novikov スペクトル系列）の $E_2$ 項は、Quillen の定理により形式群則とその同型の代数で記述される（Rav04 第 4 章）。素数 $p$ で局所化した $MU$ は、Brown–Peterson スペクトラム $BP$ を乗法的なレトラクトにもち、$\pi_*(BP)=\mathbb Z_{(p)}[v_1,v_2,\dots]$（$|v_n|=2(p^n-1)$）である（同 Theorem 4.1.12, p. 108）。
向きを考えない同境では Stiefel–Whitney 数が、向き付けられた同境では Pontryagin 数と Stiefel–Whitney 数が同様の役割を果たす（コボルディズム の定理「Pontryagin と Thom の定理」）。

関連項目

• 前提: コボルディズム, Chern類, 概複素構造, 形式群, 一般コホモロジー理論
• 比較: 位相的K理論, Thom空間, スペクトル(ホモトピー論)
• 応用: 球面のホモトピー群, Lubin–Tate形式群
• 関連: Thom同型, 複素射影空間