解析的不分岐局所環

元の像が零であることは各剰余が零であることだから、核の等式が従う。射影は $M$ の定数的な剰余列を通じて任意の剰余を得るので全射である。核による商の同型はその全射から従い、商同型が各推移写像と両立するので最後の逆極限は定義上の完成そのものである。これらは完成環のイデアルの冪と $F_n$ が等しいことをまだ主張しない。Noether有限の場合、その等式は上の完成の完全性から得られる。

$R^s$ の部分加群の有限生成性を $s$ で帰納する。$s=0$ では零加群だけである。$s>0$ では最後の座標への像はイデアルなので有限生成で、その生成元を部分加群へ持ち上げる。最後の座標が零になる核は $R^{s-1}$ の部分加群であり、帰納法で有限生成である。任意の元から持ち上げた生成元の線形結合を引けば核に入るので、両者の生成元を合わせればよい。有限生成加群は有限自由加群の商であり、部分加群の逆像にこの結果を適用して結論を得る。
一変数多項式環 $R[T]$ のイデアル $H$ を取る。$H=0$ は有限生成である。そうでなければ、$H$ の非零多項式の先頭係数が生成するイデアルを有限個の先頭係数で生成し、対応する $f_1,\ldots,f_v\in H$ を選ぶ。生成元として先頭係数そのものを選べるのは、最初に選んだ有限生成元が各々有限個の先頭係数の線形結合だからである。
$D=\max_i\deg f_i$ とする。次数が $D$ 以上の $g\in H$ は、$f_i$ の先頭係数の線形結合と適切な $T$ の冪によって最高次を消せる。次数が真に下がる操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と次数が $D$ 未満の $H$ の元との和になる。有界次数の部分は有限自由 $R$ 加群の部分加群なので、前半の結果から有限生成である。$D=0$ の場合には残る部分は零である。よって $H$ は有限生成で、$R[T]$ はNoetherである。変数数の帰納と商への逆像により、有限変数とその商もNoetherとなる。

$Q=0$ では $a=0$ とすればよい。生成元 $q_1,\ldots,q_s$ を選ぶと、$IQ=Q$ より $q_i=\sum_jc_{ij}q_j$、$c_{ij}\in I$ と書ける。行列 $E-C$ に随伴行列を掛けると、$\det(E-C)q_i=0$ が全 $i$ に成立する。行列式の展開では定数項が一、他の項は少なくとも一つの $c_{ij}$ を含む。従って $\det(E-C)=1-a$、$a\in I$ となる。$a$ がJacobson根基に入れば、どの極大イデアルも $1-a$ を含めないため $1-a$ は単元であり、$Q=0$ を得る。
局所環 $(R,\mathfrak m)$ の有限加群の元が $Q/\mathfrak mQ$ を生成するなら、その元の生成する部分加群を $U$ として $Q/U=\mathfrak m(Q/U)$ となる。前半を有限商加群に適用すれば $Q=U$ である。これが後で極大イデアルの生成元を選ぶ際に使う形である。

$M^{*}:=\bigoplus_{n\ge0}I^nMt^n$ は、$a t^m\in I^mt^m$ と $xt^n\in I^nMt^n$ の積を $axt^{m+n}$ で定めて次数付き環 $A^{*}$ 上の次数付き加群になる。$M$ の生成元 $m_1,\dots,m_s$ は次数 $0$ の元として $M^{*}$ を生成する（$I^nM$ の元は $\sum a_jm_j$、$a_j\in I^n$ と書け、$a_jt^n\in A^{*}$ だから）ので、$M^{*}$ は有限生成 $A^{*}$ 加群であり、$A^{*}$ が Noether 環なので Noether加群である。$N^{*}:=\bigoplus_{n\ge0}(I^nM\cap N)t^n$ は $M^{*}$ の部分加群である（$a\in I^m$、$x\in I^nM\cap N$ なら $ax\in I^{m+n}M\cap N$）から、有限個の斉次元 $y_1t^{d_1},\dots,y_qt^{d_q}$（$y_j\in I^{d_j}M\cap N$）で生成される。$N^{*}=0$ なら $N=0$ であり $c=0$ として結論は直ちに成立する。そうでなければ $c:=\max_jd_j$ とおく。$n\ge c$ のとき $I^nM\cap N$ の元 $x$ は、$xt^n=\sum_jb_jt^{n-d_j}\cdot y_jt^{d_j}$（$b_j\in I^{n-d_j}$）と書けるので
$$ x=\sum_jb_jy_j\in\sum_jI^{n-d_j}(I^{d_j}M\cap N)\subset\sum_jI^{n-c}I^{c-d_j}(I^{d_j}M\cap N)\subset I^{n-c}(I^cM\cap N) $$
である。逆の包含 $I^{n-c}(I^cM\cap N)\subset I^nM\cap N$ は明らかである。最後の主張は、$I^nN\subset I^nM\cap N$ が明らかであり、$n\ge c$ について $I^nM\cap N=I^{n-c}(I^cM\cap N)\subset I^{n-c}N$ であることから従う。$\square$

1. lem-aur-artin-rees を $N\subset M$ に適用し、$n=c+1$ とすると $N=I^{c+1}M\cap N=I(I^cM\cap N)=IN$ である。$A$ が Noether 環で $M$ が有限生成なので $N$ も有限生成であり、lem-aur-nakayama により主張が従う。
2. $a\in I$ が Jacobson 根基に属するので $1-a$ は単元であり、$(1-a)N=0$ から $N=0$ である。
3. $M=A$ とする。$a\in I\neq A$ なので $1-a\neq0$ であり、整域では $(1-a)N=0$ から $N=0$ である。$\square$

1. $M'$ を $M$ の部分加群とみなす。lem-aur-artin-rees により $M'$ の $I$ 進位相は $M$ からの相対位相に一致するので、$M'$ の完備化は $\varprojlim_nM'/(M'\cap I^nM)$ に等しい（部分加群の列 $\{I^nM'\}$ と $\{M'\cap I^nM\}$ は互いに他の各項を含む項をもつので、射影極限は同型になる）。各 $n$ について列
   $$ 0\to M'/(M'\cap I^nM)\to M/I^nM\to M''/I^nM''\to0 $$
   は完全である（左の写像の核は $M'\cap I^nM$ を法とする剰余類で $0$、中央の像は $M'+I^nM$ を法とする剰余類全体であり、$M''/I^nM''=M/(M'+I^nM)$ だから）。左端の射影系は推移写像が全射なので、射影極限の右端への全射性を直接構成できる。右端の両立する元の列を $(z_n)_n$ とする。次数一で $z_1$ の持ち上げ $y_1$ を選ぶ。$y_n$ が選べたら、まず $z_{n+1}$ の任意の持ち上げ $y'_{n+1}$ を選ぶ。その次数 $n$ への像と $y_n$ の差は右端では零なので、左端の次数 $n$ の元 $a_n$ の像である。左端の推移写像の全射性により、$a_n$ を次数 $n+1$ の元 $a'_{n+1}$ へ持ち上げられる。$y_{n+1}=y'_{n+1}-a'_{n+1}$ とすれば、像はなお $z_{n+1}$ であり、$y_n$ と両立する。この帰納により必要な極限の持ち上げを得る。
   左端の単射は各次数の単射から従う。中央の極限の元が右端で零なら、各次数の元は左端に一意に戻る。その一意性と写像の両立性により、戻した元の列も両立する。従って中央でも完全である。これで1の列全体の完全性が示された。この構成は 射影極限 と Mittag-Leffler条件 の一般論の基本例であり、AM69 第10章 Proposition 10.2 と比較できる。
2. $M=A^r$ のときは、射影極限が有限個の直和と交換するので $\widehat{A^r}=\hat{A}^r=\hat{A}\otimes_AA^r$ である。一般の $M$ に対し、有限表示 $A^s\xrightarrow{g}A^r\to M\to0$ をとる（$A$ が Noether なので $M$ は有限表示加群である）。$K:=\operatorname{im}g$ は $A^r$ の部分加群なので有限生成であり、完全列 $0\to K\to A^r\to M\to0$ と $0\to\ker g\to A^s\to K\to0$ に 1 を適用して、完全列 $\hat{A}^s\to\hat{A}^r\to\hat{M}\to0$ を得る。他方 $\otimes_A\hat{A}$ は右完全関手なので $\hat{A}^s\to\hat{A}^r\to\hat{A}\otimes_AM\to0$ も完全であり、左の 2 項の写像は両方の列で同じ $g$ から誘導される。したがって $\hat{A}\otimes_AM$ と $\hat{M}$ はいずれも $\hat{A}^s\to\hat{A}^r$ の余核であり、自然な写像は同型である。
   テンソル積の右完全性は、ここでは商の表示から直接確認できる。$W=V/H$ なら $V\otimes M$ を $h\otimes m$、$h\in H$ の生成する部分加群で割ったものは $W\otimes M$ である。写像 $(v+H,m)\mapsto v\otimes m$ の類は代表によらず双線形で、商写像のテンソルと純テンソル上で互いに逆になる。従って有限表示にテンソルを施すと同じ行列の余核を得る。この確認に平坦性は使っていない。
3. 完全列 $0\to I^nM\to M\to M/I^nM\to0$ に 1 を適用する。$M/I^nM$ は $I^n$ で消えるので $I$ 進位相は離散位相であり $\widehat{M/I^nM}=M/I^nM$ である。よって $\hat{M}_n=\ker(\hat{M}\to M/I^nM)$ は $\widehat{I^nM}\to\hat{M}$ の像に等しい。2 により $\widehat{I^nM}=\hat{A}\otimes_AI^nM$ であり、$\hat{A}\otimes_AI^nM\to\hat{A}\otimes_AM=\hat{M}$ の像は $1\otimes ax=a(1\otimes x)$（$a\in I^n$、$x\in M$）の形の元で生成される $\hat{A}$ 部分加群、すなわち $I^n\hat{M}$ である。したがって $\hat{M}_n=I^n\hat{M}$ であり、残りは lem-aur-coordinate-kernel から従う。$\square$

先に証明した局所環の交叉定理を有限加群 $M=A$、$I=\mathfrak m$ に適用すると $\bigcap_n\mathfrak m^n=0$ となる。従って座標の核の補題から $A\to\widehat A$ は単射である。$a^r=0$ なら完成でその像の $r$ 乗が零なので、完成の被約性から像は零となる。単射性より $a=0$ である。完備分離環では自然射 $A\to\widehat A$ 自体が同型なので、定義の被約性は元環の被約性と同じになる。

必要な素イデアルの基礎をまず確認する。Noether環には有限の素フィルトレーションがある。非零元の零化イデアルの中に極大なものを選ぶと、それは素である。実際 $abv=0$、$bv\ne0$ なら $\operatorname{Ann}(v)\subset\operatorname{Ann}(bv)$ であり、極大性から両者は同じなので $av=0$ となる。この巡回部分加群を取り、逐次商で繰り返すと、環のNoether性で増大列は有限回で停止する。因子は $A/P_i$ である。それらの素イデアルの積は環を零化するので、任意の素イデアルはある $P_i$ を含む。族の包含極小の元を取ると、それらが全極小素イデアルであることと、各素がそのいずれかを含むことが従う。
素イデアル全体の交叉は冪零根基である。非冪零元 $a$ の冪を避けるイデアルをZornで極大化すると素になる。極大元を $J$ とし、$cd\in J$、$c,d\notin J$ なら、$J+(c)$ と $J+(d)$ はそれぞれ $a$ の冪を含む。それらの表示を掛けると $J$ が $a$ の冪を含んで矛盾する。鎖の合併も全冪を避けるのでZornが適用できる。従って全素の交叉に入る元は冪零である。極小素の交叉も、各素が極小素を含むことから同じ根基になる。
まず $A$ が被約で、全 $A/\mathfrak p_i$ の完成が被約とする。有限個の極小素について写像
$$A\longrightarrow\bigoplus_i A/\mathfrak p_i$$
の核は交叉であり、被約性から零である。各加群は有限 $A$ 加群なので、上の完成の完全性が完成後の単射を与える。商の $\mathfrak m$ 進位相は商局所環の極大イデアル進位相に同じだから、
$$\widehat A\longrightarrow\prod_i\widehat{A/\mathfrak p_i}$$
は単射である。右辺が被約なら、左辺の冪零元の各成分は零となり、単射性から元も零となる。
逆に $\widehat A$ が被約とする。下降から $A$ は被約である。極小素を $\mathfrak p_1,\ldots,\mathfrak p_s$ とし、一つ $i$ を固定する。各 $j\ne i$ に対して $c_j\in\mathfrak p_j\setminus\mathfrak p_i$ を選び、$f=\prod_{j\ne i}c_j$ とおく。$s=1$ なら $f=1$ でよい。$f\notin\mathfrak p_i$ で、他の全極小素には入る。被約性と各商の整域性から
$$\operatorname{Ann}_A(f)=\mathfrak p_i$$
となる。実際、$af=0$ なら $A/\mathfrak p_i$ で $f$ は非零だから $a\in\mathfrak p_i$ であり、逆に $a\in\mathfrak p_i$ なら $af$ は全極小素に入って零となる。
従って乗法 $f$ は $A/\mathfrak p_i\to A$ という単射を与え、完成後も単射となる。完成の完全性から $\widehat{A/\mathfrak p_i}=\widehat A/\mathfrak p_i\widehat A$ である。この商で $z^r=0$ とし、$z$ の代表を $w\in\widehat A$ に取る。$w^r\in\mathfrak p_i\widehat A$ かつ $f\mathfrak p_i\widehat A=0$ なので $(fw)^r=0$。完成の被約性より $fw=0$ となる。完成後の乗法 $f$ の単射により $z=0$ であり、商完成は被約である。