2点間の距離

方針：2 点が同じ縦の線か同じ横の線の上にあるときは、その線を数直線と見て距離を求める。そうでないときは、$P$ を通る横の線と $Q$ を通る縦の線の交点 $R$ をとり、直角三角形 $PRQ$ に三平方の定理を使う。
段 1（同じ縦の線の上にあるとき：$x_1=x_2$）。$P$、$Q$ は直線 $x=x_1$ の上にある。座標平面（高校数学） で見たとおり、この直線の上では $y$ 座標が数直線の座標になっているので、数直線（高校数学） の「2 点の距離と向き」により $PQ=|y_2-y_1|$ である。一方、公式の右辺は $\sqrt{0^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(y_2-y_1)^2}=|y_2-y_1|$ で、一致する（$\sqrt{t^2}=|t|$ は、$|t|\ge0$ かつ $|t|^2=t^2$ だからである）。
段 2（同じ横の線の上にあるとき：$y_1=y_2$）。段 1 の $x$ と $y$ を入れかえて、$PQ=|x_2-x_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+0^2}$ である。
段 3（それ以外のとき：$x_1\ne x_2$ かつ $y_1\ne y_2$）。点 $R(x_2,y_1)$ をとる。$P$ と $R$ は $y$ 座標が等しいので直線 $y=y_1$ の上にあり、段 2 から $PR=|x_2-x_1|$ である。$R$ と $Q$ は $x$ 座標が等しいので直線 $x=x_2$ の上にあり、段 1 から $RQ=|y_2-y_1|$ である。直線 $y=y_1$ は $x$ 軸に平行、直線 $x=x_2$ は $y$ 軸に平行で（座標平面（高校数学） の「$x$ 座標が一定の点の集まり」）、$x$ 軸と $y$ 軸は垂直なので、この 2 直線も垂直に交わる。$R$ は $P$、$Q$ のどちらとも異なる（$x_1\ne x_2$、$y_1\ne y_2$）ので、三角形 $PRQ$ は $R$ を直角の頂点とする直角三角形である。三平方の定理（高校数学） の「直角三角形の三平方の定理」により
$$ PQ^2=PR^2+RQ^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 $$
で、$PQ>0$ なので両辺の正の平方根をとって公式を得る。
段 4（原点との距離）。$P$ を $O(0,0)$、$Q$ を $P(x,y)$ として公式を使えばよい。$\square$

方針：$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ とし、thm-dtp-main の式で確かめる。
1：平方根は $0$ 以上なので $PQ\ge0$ である。$PQ=0$ なら $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=0$ で、$0$ 以上の 2 数の和が $0$ なので、どちらも $0$ である。よって $x_1=x_2$、$y_1=y_2$ で、座標平面（高校数学） の「点と実数の組の 1 対 1 対応」により $P=Q$ である。逆に $P=Q$ なら差はどちらも $0$ で、$PQ=0$ である。
2：$(x_1-x_2)^2=(x_2-x_1)^2$、$(y_1-y_2)^2=(y_2-y_1)^2$ なので、$QP$ の式は $PQ$ の式と同じ値である。
3：$P'(x_1+p,y_1+q)$、$Q'(x_2+p,y_2+q)$ なので、座標の差は $(x_2+p)-(x_1+p)=x_2-x_1$、$(y_2+q)-(y_1+q)=y_2-y_1$ で、移動の前と同じである。$\square$

方針：座標の差を文字でおき、両辺を 2 乗して比べる。最後は「$($式$)^2\ge0$」に帰着させる。
段 1（文字をおく）。$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$、$R(x_3,y_3)$ とし、$a:=x_2-x_1$、$b:=y_2-y_1$、$c:=x_3-x_2$、$d:=y_3-y_2$ とおく。$x_3-x_1=a+c$、$y_3-y_1=b+d$ なので、thm-dtp-main から示すべき式は
$$ \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} $$
である。
段 2（2 乗して同値な式に直す）。両辺は $0$ 以上なので、2 乗して比べてよい（$0$ 以上の数 $s$、$t$ では、$s\le t$ と $s^2\le t^2$ は同値）。左辺の 2 乗は $a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)$、右辺の 2 乗は $a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ である。したがって示すべき式は
$$ ac+bd\le\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\qquad(\ast) $$
と同値である。
段 3（$ac+bd< 0$ のとき）。右辺は $0$ 以上なので、$(\ast)$ は成り立つ。
段 4（$ac+bd\ge0$ のとき）。両辺が $0$ 以上なので、$(\ast)$ は $(ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ と同値である。右辺から左辺を引くと
$$ (a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)-(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\ge0 $$
で、成り立つ。$\square$

方針：$PA=PB$ を 2 乗した式に直し、展開すると $x^2$、$y^2$ が両辺で打ち消し合って 1 次の式が残ることを見る。
段 1（2 乗した式に直す）。$PA\ge0$、$PB\ge0$ なので、$PA=PB$ と $PA^2=PB^2$ は同値である。thm-dtp-main により、これは
$$ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 $$
である。
段 2（展開する）。左辺は $x^2-2x_1x+x_1^2+y^2-2y_1y+y_1^2$、右辺は $x^2-2x_2x+x_2^2+y^2-2y_2y+y_2^2$ である。両辺から $x^2+y^2$ を引き、移項すると
$$ 2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2 $$
となる。各段は同値な変形なので、$PA=PB$ はこの式と同値である。
段 3（直線であること）。$A\ne B$ なので、$x_2-x_1$ と $y_2-y_1$ の少なくとも一方は $0$ でない。$x$、$y$ の係数の少なくとも一方が $0$ でない 1 次方程式の表す図形は直線である（直線の方程式と点と直線の距離 の「直線の一般形」）。さらに、同じ記事の「係数ベクトルは直線に垂直」により、直線の上のどの 2 点 $P$、$P'$ についても、係数の組 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\,y_2-y_1)$ との内積が $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{PP'}=0$ になる（係数の $2$ 倍は向きに影響しない）。つまり直線は $AB$ に垂直である。
段 4（中点を通ること）。線分 $AB$ の中点が $M\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{y_1+y_2}2\right)$ であることは 内分点・外分点の座標 の「座標平面の内分点・外分点」による。$M$ の座標を代入すると、左辺は $(x_2-x_1)(x_1+x_2)+(y_2-y_1)(y_1+y_2)=x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2$ で、右辺に等しい。$\square$