エネルギー条件

未来向きの正規直交基底 $e_0,\dots,e_{n-1}$（$e_0$ が未来向き時間的）をとり、$X=x^0e_0+\sum_{i\ge1}x^ie_i$、$x':=(x^1,\dots,x^{n-1})$ と書く。
最後の主張：$\ell$ を光的とし、$\ell$ を $\pm\ell$ に替えて未来向きとしてよい。$\varepsilon>0$ について $g(\ell+\varepsilon e_0,\ell+\varepsilon e_0)=2\varepsilon g(\ell,e_0)-\varepsilon^2< 0$（時空 の命題「時間錐の性質」の 3 により $g(\ell,e_0)< 0$）なので、$\ell+\varepsilon e_0$ は時間的で、$\varepsilon\to0$ で $\ell$ に収束する。
$\Rightarrow$：$X$ が未来向き因果的で、$w$ も未来向き因果的とする。どちらかが時間的なら、同じ命題の 3 により $g(X,w)< 0$ である。両方が光的なら、$w$ を未来向き時間的な $w+\varepsilon e_0$ で近似して $g(X,w)=\lim g(X,w+\varepsilon e_0)\le0$ である。
$\Leftarrow$：$x'\ne0$ なら $w:=e_0+\sum_i(x^i/\lvert x'\rvert)e_i$ は未来向き光的で、$g(X,w)=-x^0+\lvert x'\rvert\le0$ なので $x^0\ge\lvert x'\rvert>0$、すなわち $X$ は未来向き因果的である。$x'=0$ なら $w=e_0$ として $-x^0\le0$ なので、$X=x^0e_0$ は未来向き時間的か零である。$\square$

1．光的な $\ell$ は時間的ベクトル $v_k$ の極限である（lem-energy-condition-dual-cone）。$T(v_k,v_k)\ge0$ から極限で $T(\ell,\ell)\ge0$ を得る。SEC では $g(v_k,v_k)\to g(\ell,\ell)=0$ なので、同じく $T(\ell,\ell)\ge0$ を得る。$\mathrm{Ric}$ についても同じである。後半はこれと定義を合わせたものである。
2．DEC を仮定し、$v,w$ を未来向き因果的とする。$J_v$ は未来向き因果的か零なので、lem-energy-condition-dual-cone により $T(v,w)=-g(J_v,w)\ge0$ である。逆を仮定する。時間的な $v$ について、$v$ か $-v$ が未来向きなので $T(v,v)=T(-v,-v)\ge0$ であり、WEC が成り立つ。未来向き因果的な $v$ について、任意の未来向き因果的な $w$ で $g(J_v,w)=-T(v,w)\le0$ なので、同じ補題により $J_v$ は未来向き因果的か零である。$\square$

方程式のトレースをとると、$\operatorname{tr}_gg=n$、$\operatorname{tr}_g\mathrm{Ric}=S$ により $S-\frac n2S+n\Lambda=8\pi\operatorname{tr}_gT$、すなわち $\frac12S=\frac{n\Lambda-8\pi\operatorname{tr}_gT}{n-2}$ である。これを $\mathrm{Ric}=8\pi T+\bigl(\frac12S-\Lambda\bigr)g$ に代入し、$\frac{n\Lambda}{n-2}-\Lambda=\frac{2\Lambda}{n-2}$ を使うと式を得る。光的な $\ell$ では $g(\ell,\ell)=0$ なので $\mathrm{Ric}(\ell,\ell)=8\pi T(\ell,\ell)$ であり、1 が従う。時間的な $v$ では
$$ \mathrm{Ric}(v,v)=8\pi\Bigl(T(v,v)-\frac{\operatorname{tr}_gT}{n-2}g(v,v)\Bigr)+\frac{2\Lambda}{n-2}g(v,v) $$
であり、$\Lambda=0$ なら最後の項は消えて 2 が従う。$\Lambda\le0$ なら $g(v,v)< 0$ より最後の項は $0$ 以上なので 3 が従う。$\square$

$u^\perp$ の上で $g$ は正定値なので（時空 の命題「時間的ベクトルの直交補空間」）、$w\in u^\perp$ について $\lvert w\rvert:=\sqrt{g(w,w)}$ とおく。
未来向きの単位時間的ベクトル $v$ を $v=\gamma u+w$（$w\in u^\perp$）と書くと、$\gamma=-g(u,v)$ で、$-1=-\gamma^2+\lvert w\rvert^2$ と未来向きであることから $\gamma\ge1$ である。逆に任意の $\gamma\ge1$ について、単位ベクトル $e\in u^\perp$ をとれば $v=\gamma u+\sqrt{\gamma^2-1}\,e$ がそのような $v$ である。$T(cv,cv)=c^2T(v,v)$ なので、時間的ベクトルについての条件は未来向きの単位ベクトルについて調べれば足りる。
1．光的な $\ell$ は $\ell=a u+w$（$a\ne0$、$w\in u^\perp$、$\lvert w\rvert=\lvert a\rvert$）と書け、$T(\ell,\ell)=(\rho+P)a^2$ である。
2．$T(v,v)=(\rho+P)\gamma^2-P=(\rho+P)(\gamma^2-1)+\rho$ である。これが任意の $\gamma\ge1$ で $0$ 以上であることは、$\gamma=1$ と $\gamma\to\infty$ を見て、$\rho\ge0$ かつ $\rho+P\ge0$ と同値である。
3．$\operatorname{tr}_gT=-(\rho+P)+nP$ なので
$$ T(v,v)-\frac{\operatorname{tr}_gT}{n-2}g(v,v)=(\rho+P)\gamma^2-P+\frac{nP-\rho-P}{n-2}=(\rho+P)(\gamma^2-1)+\frac{(n-3)\rho+(n-1)P}{n-2} $$
であり、2 と同じく $\gamma=1$ と $\gamma\to\infty$ を見ればよい。
4．prop-energy-condition-implications の 2 により、DEC は未来向き因果的な $v,w$ について $T(v,w)=(\rho+P)g(u,v)g(u,w)+P\,g(v,w)\ge0$ となることと同値である。
$\Rightarrow$：$v=w=u$ とすると $T(u,u)=\rho\ge0$ である。単位ベクトル $e\in u^\perp$ について $u\pm e$ は未来向き光的で、$g(u,u\pm e)=-1$、$g(u+e,u-e)=-2$ なので、$T(u+e,u+e)=\rho+P\ge0$、$T(u+e,u-e)=\rho-P\ge0$ である。よって $\rho\ge\lvert P\rvert$ である。
$\Leftarrow$：未来向き因果的な $v,w$ を $v=\alpha u+v'$、$w=\beta u+w'$（$v',w'\in u^\perp$）と書くと、$\alpha=-g(u,v)>0$、$\beta>0$、$\lvert v'\rvert\le\alpha$、$\lvert w'\rvert\le\beta$ である。$c:=-g(v,w)=\alpha\beta-g(v',w')$ は lem-energy-condition-dual-cone により $0$ 以上で、Cauchy–Schwarz の不等式により $c\le\alpha\beta+\lvert v'\rvert\lvert w'\rvert\le2\alpha\beta$ である。$T(v,w)=(\rho+P)\alpha\beta-Pc$ であり、$P\le0$ なら両項とも $0$ 以上、$P>0$ なら $T(v,w)\ge(\rho+P)\alpha\beta-2P\alpha\beta=(\rho-P)\alpha\beta\ge0$ である。$\square$