立方体定理

$T:=Y\times Z$ とおく。$T$ は多様体で、とくに連結である。$t\in T$ について $L_t$ は $C$ 上の可逆層である。
次数．$t_0:=(y_0,z_0)$ での $L_{t_0}$ は $L|_{C\times Y\times\{z_0\}}$ の制限なので自明で、次数は $0$ である。thm-cube-jacobian の 1 により、すべての $t$ で $\deg L_t=0$ である。
種数 $0$ の場合．$C\cong\mathbb{P}^1$ の上の可逆層は次数で決まる（Har77 II, Corollary 6.17, p. 145）ので、すべての $t$ で $L_t\cong\mathcal{O}_C$ である。$C$ は完備なので、prop-cube-seesaw の 2（$V=C$）により $L\cong p_T^*N$ となる $N$ がある。
種数が正の場合．$J$ と $\iota$ を thm-cube-jacobian のとおりとし、$\varphi:=\iota_T(L)\colon T\to J$ とおく。$Y$ の射 $i\colon Y\to T$、$y\mapsto(y,z_0)$ について、$(1_C\times i)^*L=L|_{C\times Y\times\{z_0\}}$ は自明なので、自然性から $\varphi\circ i=\iota_Y\bigl((1_C\times i)^*L\bigr)$ は単位元、すなわち $0$ への定値写像である。同様に $j\colon Z\to T$、$z\mapsto(y_0,z)$ について $\varphi\circ j$ も $0$ への定値写像である。
$\varphi\colon Y\times Z\to J$ は、完備な多様体 $Y$ と多様体 $Z$ の積からの射で、ファイバー $Y\times\{z_0\}$ を 1 点 $0$ に写す。$J$ は分離的なので、剛性補題(アーベル多様体) の定理「剛性補題」（$X,Y,Z$ をそれぞれ $Y,Z,J$ として）により、$\varphi=g\circ p_Z$、$g:=\varphi\circ(y_0,1_Z)=\varphi\circ j$ が成り立つ。$\varphi\circ j$ は $0$ への定値写像なので、$\varphi$ も $0$ への定値写像である。$\iota_T$ は群の同型なので、$L$ の類は単位元、すなわち $L\cong p_T^*N$ となる $N\in\operatorname{Pic}(T)$ がある。$\square$

$T:=Y\times Z$ とおく。証明は 4 段に分ける。
段 1：曲線の上で $L|_{\{x\}\times T}$ は一定．非特異な点 $x_1\in X$ をとり、$N_1:=L|_{\{x_1\}\times T}$ とおく。$C'$ を $x_1$ を通る $X$ の既約な曲線とする。$X$ は完備なので閉部分スキーム $C'$ も完備である。その正規化 $\nu\colon C\to C'$ は有限な双有理射（正規化 の命題「有限型の代数幾何での有限性」）なので全射かつ固有であり、$C$ は完備で連結な 1 次元の正規な多様体である。1 次元の正規な局所環は離散付値環なので $C$ は非特異であり、完備な非特異曲線は射影的である（Har77 II, Proposition 6.7, p. 136）。こうして $C$ は滑らかで連結な射影曲線である。$c_1\in C$ を $\nu(c_1)=x_1$ となる点とする。$L':=(\nu\times1_T)^*L$ を $C\times Y\times Z$ 上の可逆層とすると、$L'|_{C\times Y\times\{z_0\}}$ は自明な $L|_{X\times Y\times\{z_0\}}$ の引き戻し、$L'|_{C\times\{y_0\}\times Z}$ は自明な $L|_{X\times\{y_0\}\times Z}$ の引き戻しなので、どちらも自明である。lem-cube-curve により $L'\cong p_T^*N'$ となる $N'$ があり、prop-cube-seesaw の 2 の最後の主張と同じく、各 $c\in C$ で $L'|_{\{c\}\times T}\cong N'$ である。$L'|_{\{c\}\times T}=L|_{\{\nu(c)\}\times T}$ なので、$c=c_1$ とおいて $N'\cong N_1$ を得る。したがって $C'$ のすべての点 $x$ で $L|_{\{x\}\times T}\cong N_1$ である。lem-cube-curves により、このような点 $x$ 全体の集合 $W$ は $X$ で稠密である。
段 2：$N_1$ の $Y\times\{z\}$ への制限は自明．$z\in Z$ を固定し、$X\times Y$ 上の可逆層
$$ M:=L|_{X\times Y\times\{z\}}\otimes p_Y^*\bigl(N_1|_{Y\times\{z\}}\bigr)^{-1} $$
を考える。$x\in W$ なら $M|_{\{x\}\times Y}=L|_{\{x\}\times Y\times\{z\}}\otimes(N_1|_{Y\times\{z\}})^{-1}$ は段 1 により自明である。$Y$ は完備なので、prop-cube-seesaw の 1（$V=Y$、$T=X$）により、$M|_{\{x\}\times Y}$ が自明になる $x$ の集合は閉点の閉集合で、稠密な $W$ を含むので $X$ のすべての閉点からなる。とくに $x=x_0$ で $M|_{\{x_0\}\times Y}$ は自明である。仮定により $L|_{\{x_0\}\times Y\times\{z\}}$ は自明なので、$N_1|_{Y\times\{z\}}$ は自明である。
段 3：$L|_{X\times Y\times\{z\}}$ は自明．段 2 により、すべての $x\in X$ で $L|_{\{x\}\times Y\times\{z\}}$ は自明である。prop-cube-seesaw の 2 を $V=Y$、$T=X$ で当てると、$X$ 上の可逆層 $N_z$ で $L|_{X\times Y\times\{z\}}\cong p_X^*N_z$ となるものがあり、$N_z\cong L|_{X\times\{y_0\}\times\{z\}}$ である。仮定により $L|_{X\times\{y_0\}\times Z}$ は自明なので $N_z$ は自明で、$L|_{X\times Y\times\{z\}}$ は自明である。
段 4：$L$ は自明．$X\times Y$ は完備な多様体で、段 3 によりすべての $z\in Z$ で $L|_{X\times Y\times\{z\}}$ は自明である。prop-cube-seesaw の 2 を $V=X\times Y$、$T=Z$ で当てると、$Z$ 上の可逆層 $N$ で $L\cong p_Z^*N$ となるものがあり、$N\cong L|_{\{(x_0,y_0)\}\times Z}$ である。これは自明な $L|_{\{x_0\}\times Y\times Z}$ の制限なので自明であり、$L$ は自明である。$\square$

$\{0\}\times A\times A$ を $A\times A$ と同一視し、$q_1,q_2$ を $A\times A$ の射影、$m$ を和とする。制限すると $m_{123}\mapsto m$、$m_{12}\mapsto q_1$、$m_{13}\mapsto q_2$、$m_{23}\mapsto m$、$p_1\mapsto 0$ への定値写像、$p_2\mapsto q_1$、$p_3\mapsto q_2$ となるので、
$$ \Theta(L)|_{\{0\}\times A\times A}\cong m^*L\otimes q_1^*L^{-1}\otimes q_2^*L^{-1}\otimes m^*L^{-1}\otimes\mathcal{O}\otimes q_1^*L\otimes q_2^*L\cong\mathcal{O}_{A\times A} $$
である（定値写像による引き戻しは自明）。$\Theta(L)$ の定義は 3 つの座標について対称なので、$A\times\{0\}\times A$ と $A\times A\times\{0\}$ への制限も同じ計算で自明である。thm-cube-main により $\Theta(L)$ は自明である。$\square$

$(f,g,h)\colon V\to A\times A\times A$ による $\Theta(L)$ の引き戻しである。$m_{123}\circ(f,g,h)=f+g+h$、$m_{12}\circ(f,g,h)=f+g$ などとなるからである。自明な可逆層の引き戻しは自明である。$\square$

cor-cube-three-maps を $V=A$、$f=1_A$、$g$ を $a$ への定値写像、$h$ を $b$ への定値写像として使う。$f+g+h=t_{a+b}$、$f+g=t_a$、$f+h=t_b$ であり、$g+h$、$g$、$h$ は定値写像なので、それらによる引き戻しは自明である。よって $t_{a+b}^*L\otimes t_a^*L^{-1}\otimes t_b^*L^{-1}\otimes L$ が自明であり、これが最初の主張である。両辺に $L^{-2}$ を掛けると
$$ t_{a+b}^*L\otimes L^{-1}\cong(t_a^*L\otimes L^{-1})\otimes(t_b^*L\otimes L^{-1}), $$
すなわち $\varphi_L(a+b)=\varphi_L(a)\varphi_L(b)$ である。$\square$

要点：cor-cube-three-maps を $f=n_A$、$g=1_A$、$h=(-1)_A$ で使うと、$n_A^*L$ の 2 階の差分が $L\otimes(-1)_A^*L$ に等しいという漸化式が出る。指数 $\frac{n^2\pm n}{2}$ は同じ漸化式をみたすので、$n=0,1,-1$ から帰納法で従う。