付値

1：$v(x)< v(y)$ としてよい。$v(x+y)\ge v(x)$ である。もし $v(x+y)>v(x)$ なら、$x=(x+y)+(-y)$ と $v(-y)=v(y)$ から $v(x)\ge\min\{v(x+y),v(y)\}>v(x)$ となり矛盾する。よって $v(x+y)=v(x)$ である。
2：最小値をとる添字が $i$ だけだとすると、付値の条件 3 を繰り返し使って $v\bigl(\sum_{j\neq i}x_j\bigr)\ge\min_{j\neq i}v(x_j)>v(x_i)$ となり、$x_i=-\sum_{j\neq i}x_j$ の両辺の付値が一致しない（すべての $x_j$ が $0$ のときは最小値 $\infty$ をすべての添字がとるので主張は成り立つ）。

1：$|x|=0\iff v(x)=\infty\iff x=0$ である。$|xy|=c^{-v(x)-v(y)}=|x||y|$ である。$t\mapsto c^{-t}$ は減少関数なので、$v(x+y)\ge\min\{v(x),v(y)\}$ から $|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}\le|x|+|y|$ である。
2：$|x|=0\iff x=0$ から条件 1 が、$\log(|x||y|)=\log|x|+\log|y|$ から条件 2 が従う。$-\log$ は減少関数なので、強三角不等式から $v(x+y)\ge\min\{v(x),v(y)\}$ が従う。
3：$(c^s)^{-v(x)}=(c^{-v(x)})^s=c^{-(sv)(x)}$ による。付値環と付値イデアルの記述は、$c^{-t}\le1\iff t\ge0$、$c^{-t}<1\iff t>0$ から従う。

1 ⇒ 2：$|0|=0$、$|1|=1$ であり、$n\ge1$ で $|n-1|\le1$ なら $|n|=|(n-1)+1|\le\max\{|n-1|,|1|\}\le1$ である。帰納法により $n\ge0$ で $|n|\le1$ であり、$|-n|=|-1||n|=|n|$ から負の整数でも成り立つ。
2 ⇒ 3：明らかである。
3 ⇒ 1：すべての整数 $n$ について $|n|\le N$ とする。$x,y\in K$ とし、$|x|\ge|y|$ としてよい。$n\ge1$ について、二項定理と三角不等式から
$$ |x+y|^n=\Bigl|\sum_{\nu=0}^n\binom{n}{\nu}x^\nu y^{n-\nu}\Bigr|\le\sum_{\nu=0}^n\Bigl|\binom{n}{\nu}\Bigr|\,|x|^\nu|y|^{n-\nu}\le(n+1)N|x|^n $$
である（二項係数は整数なので、その絶対値は $N$ 以下である）。$n$ 乗根をとって $|x+y|\le\bigl((n+1)N\bigr)^{1/n}|x|$ となり、$n\to\infty$ で $\bigl((n+1)N\bigr)^{1/n}\to1$ なので、$|x+y|\le|x|=\max\{|x|,|y|\}$ である。

1：整数の像 $n\cdot1$ は素体 $\mathbb{F}_p$ の $p$ 個の元のどれかなので、$\{|n|\}$ は有限集合で有界である。thm-valuation-nonarchimedean-criterion による。
2：$q$ 個の元からなる有限体の $0$ でない元 $x$ は $x^{q-1}=1$ を満たす（乗法群の位数が $q-1$ であることによる）ので、$|x|^{q-1}=1$、$|x|>0$ から $|x|=1$ である。

3 ⇒ 1：中心 $a$、半径 $r$ の開球は、$|\cdot|_1$ についての半径 $r$ の開球と $|\cdot|_2$ についての半径 $r^s$ の開球とが一致する。開球の族が同じなので位相も同じである。
1 ⇒ 2：$|x|<1$ であることは、点列 $x^n$ が $0$ に収束することと同値である（$|x^n-0|=|x|^n$ であり、$|x|\ge1$ なら $|x|^n\ge1$ で $0$ に近づかない）。点列の収束は位相だけで決まるので、$|\cdot|_1$ について $x^n\to0$ なら $|\cdot|_2$ についても $x^n\to0$ である。
2 ⇒ 3：まず、$|x|_1>1$ なら $|x^{-1}|_1<1$ なので $|x^{-1}|_2<1$、すなわち $|x|_2>1$ である。$|\cdot|_1$ は自明でないので $|z|_1\neq1$ となる $z\neq0$ があり、$z$ か $z^{-1}$ をとって $|y|_1>1$ となる $y$ を固定する。このとき $|y|_2>1$ である。
$0$ でない $x\in K$ について、$|x|_1=|y|_1^{\alpha}$ となる実数 $\alpha$ をとる。有理数 $m/n>\alpha$（$n\ge1$）について $|x|_1<|y|_1^{m/n}$、すなわち $|x^n/y^m|_1<1$ なので、2 から $|x^n/y^m|_2<1$、すなわち $|x|_2<|y|_2^{m/n}$ である。有理数 $m/n<\alpha$ については、同様に $|y^m/x^n|_1<1$ から $|x|_2>|y|_2^{m/n}$ である。$m/n$ を上下から $\alpha$ に近づけると $|x|_2=|y|_2^{\alpha}$ となる。したがって
$$ \frac{\log|x|_2}{\log|y|_2}=\alpha=\frac{\log|x|_1}{\log|y|_1} $$
であり、$s=\log|y|_2/\log|y|_1>0$ とおくと $|x|_2=|x|_1^{\,s}$ である。$x=0$ では両辺が $0$ である。

場合 1（$v(t)\ge0$）．$f=\sum a_it^i\in k[t]$ の各項は $v(a_it^i)=v(a_i)+iv(t)\ge0$（$a_i\neq0$ のとき）を満たすので、条件 3 により $v(f)\ge0$ である。
$$ \mathfrak{p}=\{f\in k[t]\mid v(f)>0\} $$
とおく。$\mathfrak{p}$ は和で閉じ（条件 3）、$g\in k[t]$ を掛けても $v(gf)=v(g)+v(f)>0$ なので閉じており、$v(1)=0$ なので $1\notin\mathfrak{p}$ である。$v(fg)=v(f)+v(g)>0$ で $v(f),v(g)\ge0$ なら一方は正なので、$\mathfrak{p}$ は素イデアルである。もし $\mathfrak{p}=0$ なら、$0$ でないすべての多項式の付値が $0$ になり、$v(f/g)=v(f)-v(g)=0$ から $v$ は自明になって仮定に反する。$k[t]$ は単項イデアル整域なので、$\mathfrak{p}=(q)$ となるモニックな既約多項式 $q$ がある。
$\gamma=v(q)>0$ とおく。$0$ でない $f\in k[t]$ を $f=q^mg$（$q\nmid g$）と書くと $g\notin\mathfrak{p}$ なので $v(g)=0$、よって $v(f)=m\gamma=v_q(f)\gamma$ である。積の公式から、すべての $x\in K^\times$ で $v(x)=v_q(x)\gamma$ となる。$n\mapsto n\gamma$ は $\mathbb{Z}$ から $v(K^\times)=\mathbb{Z}\gamma$ への順序を保つ同型なので、$v$ は $v_q$ と同値である。
場合 2（$v(t)<0$）．$s=1/t$ とおくと $K=k(s)$、$v(s)>0$ なので、場合 1 を変数 $s$ について当てはめられる。このとき $s\in\mathfrak{p}$ なので $\mathfrak{p}=(s)$ であり、$v$ は $k(s)$ の $s$ についての付値 $v_s$ と同値である。$0$ でない $f=\sum_{i=0}^da_it^i\in k[t]$（$a_d\neq0$）について
$$ f=s^{-d}\bigl(a_d+a_{d-1}s+\cdots+a_0s^d\bigr) $$
であり、括弧の中は定数項 $a_d\neq0$ をもつので $s$ で割り切れない。よって $v_s(f)=-d=v_\infty(f)$ であり、積の公式から $v_s=v_\infty$ である。
一意性．$q\neq q'$ をモニックな既約多項式とすると $v_q(q)=1>0$、$v_{q'}(q)=0$、$v_\infty(q)=-\deg q<0$ である。同値な付値は順序を保つ同型で移り合うので、元の付値の正負は同値で変わらない。よって $v_q$（$q$ は全体を動く）と $v_\infty$ のどの二つも同値でない。