ベクトル束の分類定理

包含 $\mathbb{K}^N\to\mathbb{K}^\infty$ は直極限位相の定義から連続なので、直積位相で開な $W$ について $W\cap P_N$ は開である。

逆に、すべての $N$ で $W\cap P_N$ が開であるとし、$w=(c,a^1,\dots,a^m)\in W$ をとり、$a^j\in\mathbb{K}^n$ となる $n$ を選ぶ。$N\ge n$ に対し、正の数 $\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N$ から決まるコンパクト集合 $$C_N:=\{(c',b^1,\dots,b^m)\in P_N\mid|c'_i-c_i|\le\varepsilon_0,\ |b^j_k-a^j_k|\le\varepsilon_k\ (k\le N)\}$$ が $W$ に含まれるように、$\varepsilon$ を帰納的に選ぶ。$N=n$ では $W\cap P_n$ が開なので、$\varepsilon_0=\cdots=\varepsilon_n$ を小さくとればよい。$C_N\subset W$ まで選んだとき、$P_{N+1}=P_N\times\mathbb{K}^m$（各 $b^j$ の第 $N+1$ 成分をまとめる）とみると $C_N\times\{0\}\subset W\cap P_{N+1}$ であり、$C_N$ のコンパクト性から $0\in\mathbb{K}^m$ の開近傍 $O$ で $C_N\times O\subset W$ となるものがある（管状近傍の議論）。$\varepsilon_{N+1}$ を、各成分の絶対値が $\varepsilon_{N+1}$ 以下の点が $O$ に入るようにとれば、$a^j_{N+1}=0$ より $C_{N+1}\subset W$ である。

$U:=\{c'\mid|c'_i-c_i|< \varepsilon_0\}\times\prod_{j=1}^m\{x\in\mathbb{K}^\infty\mid|x_k-a^j_k|< \varepsilon_k\ (k\ge1)\}$ とおく。各因子は各 $\mathbb{K}^N$ との交わりが有限個の開条件で定まるので開であり、$U$ は直積位相で開で $w$ を含む。$U$ の点はある $N\ge n$ で $P_N$ に入り、そのとき $C_N\subset W$ に入る。よって $W$ は直積位相で開である。

後半：写像 $\Phi$ が各 $P_N$ 上で連続なら、開集合の逆像 $\Phi^{-1}(O')$ は各段で開なので、前半により開である。和・スカラー倍・内積は $P_N$ 上で成分の多項式（と共役）であり、値は $\mathbb{K}^N$ または $\mathbb{K}$ に入る。線形写像は、各 $\mathbb{K}^M$ を有限次元の部分空間に、したがってある $\mathbb{K}^{M'}$ の中に写すので各段で連続である。$\square$

1：$V_r\cap(\mathbb{K}^N)^r$ は $r\times N$ 行列の $r$ 次小行列式のどれかが $0$ でない集合なので開であり、lem-cvb-product により $V_r$ は開である。$q$ の $V_r\cap(\mathbb{K}^N)^r$ への制限は Grassmann多様体 の記事の行空間をとる商写像 $q_N$ で、$S\subset\mathrm{Gr}_r(\mathbb{K}^\infty)$ について $q^{-1}(S)\cap(\mathbb{K}^N)^r=q_N^{-1}(S\cap\mathrm{Gr}_r(\mathbb{K}^N))$ である。よって「$S$ が開」「すべての $N$ で $q^{-1}(S)\cap(\mathbb{K}^N)^r$ が開」「$q^{-1}(S)$ が開」（補題）は同値であり、$q$ は連続な商写像である。

2：$X_0$ の正規直交基底 $x_1,\dots,x_r$ を固定し、$v=(v_1,\dots,v_r)\in V_r$ に $r\times r$ 行列 $A(v):=(\langle x_k,v_j\rangle)_{k,j}$ を対応させる。$h\in GL_r(\mathbb{K})$ で基底を取り替えた組 $vh$ について $A(vh)=A(v)h$ なので、$\det A(v)\ne0$ は $q(v)$ だけで決まる条件である（$X_0$ への直交射影が $q(v)$ の上で同型であること）。$U:=\{q(v)\mid\det A(v)\ne0\}$ は、$q^{-1}(U)$ が補題により開なので開であり、$X_0$ を含む。$\sigma_i(v):=\sum_jv_j(A(v)^{-1})_{ji}$ は $\sigma_i(vh)=\sigma_i(v)$ を満たす連続写像なので、$s_i(q(v)):=\sigma_i(v)$ は $U$ 上の連続写像を定め（商写像の飽和開集合への制限は商写像）、$s_1(X),\dots,s_r(X)$ は $X$ の基底である。$\Psi(X,a):=(X,\sum_ia_is_i(X))$ は $U\times\mathbb{K}^r\to\gamma^r|_U$ の連続な全単射で、Gram 行列 $G(X):=(\langle s_i(X),s_j(X)\rangle)$ を使った逆写像 $(X,w)\mapsto(X,G(X)^{-1}(\langle s_i(X),w\rangle)_i)$ も補題により連続である。

3：$b$ のまわりの局所自明化 $(U,\phi_U)$ をとり $t_i(u):=\phi_U^{-1}(u,e_i)$ とおくと、$u\mapsto(g(t_1(u)),\dots,g(t_r(u)))$ は $U\to V_r$ の連続写像で、$q$ との合成が $\bar g|_U$ なので $\bar g$ は連続である。主張の写像は連続な束写像で、各ファイバーで線形同型 $E_b\to g(E_b)$ である。ファイバーごとに線形同型な束写像は、局所自明化を通すと $(u,a)\mapsto(u,M(u)a)$（$M\colon U'\to GL_r(\mathbb{K})$ は連続）と書け、逆行列をとる写像の連続性により逆写像も連続なので、束同型である（ベクトル束 の命題「自明性の判定」の証明と同じ議論）。

4：$g$ は $\Phi$ の成分なので連続である。$f^*\gamma^r$ の $b$ 上のファイバーは $\{b\}\times\{f(b)\}\times f(b)$ で、$\Phi$ はファイバーごとに線形同型なので $g|_{E_b}$ は線形単射で像は $f(b)$ である。$\square$

パラコンパクト空間 の定理「1 の分割の存在」により $(\lambda_i)$ をとる。$I$ の空でない有限部分集合 $S$ に対し、$U(S)$ を「すべての $\alpha\in S$ と $\beta\notin S$ について $\lambda_\alpha(b)>\lambda_\beta(b)$ かつ $\lambda_\alpha(b)>0$」となる $b$ の集合とし、$V_k:=\bigcup_{|S|=k}U(S)$ とおく。

開であること：$b$ の開近傍 $\Omega$ で有限個の台 $\operatorname{supp}\lambda_i$（$i\in I_\Omega$）としか交わらないものをとると、$\Omega$ 上で $U(S)$ は「$S$ の関数の最小値が、$0$ と $I_\Omega\setminus S$ の関数の最大値より大きい」という有限個の連続関数の比較で定まる。覆うこと：$b$ に対し $S:=\{i\mid\lambda_i(b)>0\}$ は有限で空でなく、$b\in U(S)$ である。$|S|=|T|$、$S\ne T$ なら $\alpha\in S\setminus T$、$\beta\in T\setminus S$ について $U(S)$ 上で $\lambda_\alpha>\lambda_\beta$、$U(T)$ 上で $\lambda_\beta>\lambda_\alpha$ なので $U(S)\cap U(T)=\emptyset$ である。$\alpha\in S$ について $U(S)\subset\operatorname{supp}\lambda_\alpha$ なので $U(S)$ は $\mathcal{U}$ のある成員に含まれる。局所有限であること：$U(S)\cap\Omega\ne\emptyset$ なら $S\subset I_\Omega$ なので、$k>|I_\Omega|$ で $V_k\cap\Omega=\emptyset$ である。

最後の主張：$\mathcal{U}$ を局所自明化の定義域の全体とすると、各 $E|_{U(S)}$ は自明で、$V_k$ は互いに交わらない開集合 $U(S)$（$|S|=k$）の和なので、自明化を並べて $E|_{V_k}$ の自明化が得られる。$\square$

1：lem-cvb-countable により、各 $E|_{V_k}$ が自明な局所有限な開被覆 $(V_k)_{k\ge1}$ と自明化 $\phi_k\colon E|_{V_k}\to V_k\times\mathbb{K}^r$ をとり、$\operatorname{supp}\rho_k\subset V_k$ となる 1 の分割 $(\rho_k)$ をとる。$h_k\colon E\to\mathbb{K}^r$ を、$\pi(e)\in V_k$ では $h_k(e):=\rho_k(\pi(e))\,\mathrm{pr}_2\phi_k(e)$、$\pi(e)\notin\operatorname{supp}\rho_k$ では $h_k(e):=0$ と定める。2 つの式は重なりで一致し、どちらも開集合の上で連続なので $h_k$ は連続で、ファイバーごとに線形である。$\mathbb{K}^\infty$ の座標を $r$ 個ずつの塊に区切り、第 $k$ の塊に $h_k(e)$ を置いた数列を $g(e)$ とする。各点の近傍で $0$ でない $\rho_k$ は有限個なので、その近傍の上で $g$ はある $\mathbb{K}^{rn}$ に値をとり連続であり、したがって $g$ は連続である。$\rho_k(b)>0$ となる $k$ では $h_k|_{E_b}$ が単射なので、$g|_{E_b}$ は単射である。$E\cong\bar g^*\gamma^r$ は prop-cvb-universal の 3 である。

2：奇数番目・偶数番目の座標へずらす線形写像 $d_{\mathrm o}(e_k):=e_{2k-1}$、$d_{\mathrm e}(e_k):=e_{2k}$ を使い、$g_0$ と $d_{\mathrm o}g_0$、$d_{\mathrm o}g_0$ と $d_{\mathrm e}g_1$、$d_{\mathrm e}g_1$ と $g_1$ をそれぞれ線分 $(1-t)a+tc$ でつなぐ。$d_{\mathrm o},d_{\mathrm e}$ は lem-cvb-product により連続で、線分も補題により $E\times[0,1]$ 上で連続である。各線分がどの $t$ でもファイバーごとに単射であることを示せばよい。$e\ne0$ とする。真ん中の線分では、$(1-t)d_{\mathrm o}g_0(e)+td_{\mathrm e}g_1(e)$ の奇数番目の成分は $(1-t)g_0(e)$、偶数番目は $tg_1(e)$ の成分なので、どちらかは $0$ でない。最初の線分では、$x:=g_0(e)\ne0$ の $0$ でない成分の番号の最大値を $m$ とする。$m=1$ なら $d_{\mathrm o}x=x$ である。$m\ge2$ なら $2m-1>m$ なので、$(1-t)x+td_{\mathrm o}x$ の第 $2m-1$ 成分は $tx_m$ で、$t>0$ なら $0$ でなく、$t=0$ なら値は $x\ne0$ である。最後の線分も、第 $2m$ 成分 $(1-t)x_m$ を見て同様である。3 本を $[0,1/3]$、$[1/3,2/3]$、$[2/3,1]$ に縮めてつなげば $G$ が得られる。

3：$E\times[0,1]$ は $(e,t)\mapsto(\pi(e),t)$ により $B\times[0,1]$ 上の階数 $r$ の束（$E$ の射影 $B\times[0,1]\to B$ による引き戻し）であり、$G$ はそのファイバーごとに単射な写像である。prop-cvb-universal の 3 により $(b,t)\mapsto G_t(E_b)$ は連続で、$\bar g_0$ と $\bar g_1$ を結ぶホモトピーである。$\square$

各 $t\in[0,1]$ について、$x$ の開近傍 $U_t$ と $t$ を含む開区間 $J_t$ で $E'|_{U_t\times J_t}$ が自明なものがある。有限個の $J_{t_1},\dots,J_{t_p}$ が $[0,1]$ を覆い、細分 の定理「Lebesgue 数の存在」により分点 $0=s_0< s_1< \cdots< s_q=1$ を各 $[s_{i-1},s_i]$ がある $J_{t_j}$ に含まれるようにとれる。$U:=\bigcap_jU_{t_j}$ とおくと、$E'$ は各 $U\times[s_{i-1},s_i]$ の上で自明である。$E'|_{U\times[0,s_i]}$ の自明化 $\tau$ と $E'|_{U\times[s_i,s_{i+1}]}$ の自明化 $\tau'$ があるとき、$U\times\{s_i\}$ の上で $\tau\circ\tau'^{-1}(u,s_i,a)=(u,s_i,M(u)a)$ と書け、$M\colon U\to GL_r(\mathbb{K})$ は連続である。$\tau'$ に $(u,s,a)\mapsto(u,s,M(u)a)$ を合成したものは境目で $\tau$ と一致し、2 つの閉集合 $E'|_{U\times[0,s_i]}$、$E'|_{U\times[s_i,s_{i+1}]}$ の上の連続写像を貼り合わせて $E'|_{U\times[0,s_{i+1}]}$ の自明化が得られる（逆写像も同様）。$i$ について帰納すればよい。$\square$

1：$B$ を有限個の自明化の定義域 $V_1,\dots,V_n$ で覆い、$\operatorname{supp}\rho_k\subset V_k$ となる 1 の分割をとって thm-cvb-gauss の 1 の構成を行うと、$g$ は $\mathbb{K}^N$（$N:=rn$）に値をとる。$\bar g$ は局所的に、$V_r\cap(\mathbb{K}^N)^r$ への連続写像と Grassmann多様体 の記事の商写像 $q_N$ の合成なので、$\mathrm{Gr}_r(\mathbb{K}^N)$ への写像として連続である。prop-cvb-universal の 3 の同型の値は $\gamma^r|_{\mathrm{Gr}_r(\mathbb{K}^N)}$ に入る。

2：1 の $g$ について $E^{\perp}_b:=g(E_b)^\perp\subset\mathbb{K}^N$（標準内積に関する直交補）とおき、$E^{\perp}:=\{(b,v)\in B\times\mathbb{K}^N\mid v\in E^{\perp}_b\}$ とする。$b_0$ の近くの $E$ の局所枠 $t_1,\dots,t_r$ の像 $g(t_i(b))$ を Gram–Schmidt の直交化で正規直交化した $u_i(b)$ は $b$ について連続であり、$g(E_b)^\perp$ への直交射影 $\Pi_b(w):=w-\sum_i\langle u_i(b),w\rangle u_i(b)$ も連続である。$\Pi_{b_0}$ は $E^{\perp}_{b_0}$ への全射なので、$w_1,\dots,w_{N-r}\in\mathbb{K}^N$ を $\Pi_{b_0}w_j$ が $E^{\perp}_{b_0}$ の基底になるようにとれる。線形独立性は小行列式が $0$ でないという開条件なので、$b_0$ の近くで $\Pi_bw_1,\dots,\Pi_bw_{N-r}$ は線形独立で、次元 $N-r$ の $E^{\perp}_b$ の基底である。ベクトル束 の補題「直積の部分束と局所的な枠」により $E^{\perp}$ は階数 $N-r$ のベクトル束である。$(e,(b,v))\mapsto(b,g(e)+v)$ は $E\oplus E^{\perp}\to B\times\mathbb{K}^N$ の連続な束写像で、$\mathbb{K}^N=g(E_b)\oplus g(E_b)^\perp$ により各ファイバーで線形同型なので、prop-cvb-universal の 3 の証明と同じく束同型である。$\square$