テータ因子

要点：$Y$ の正定値性で項が $e^{-c|n|^2}$ の程度に減り、準周期性は和の番号を $n\mapsto n+m$ とずらせば出る。

第 1 式から $f(v)=\sum_kc_ke^{2\pi ik^{\mathsf T}v}$ と展開できる。第 2 式の左辺は $\sum_kc_ke^{2\pi ik^{\mathsf T}\tau m}e^{2\pi ik^{\mathsf T}v}$、右辺は
$$ e^{-\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m}\sum_kc_ke^{2\pi i(k-m)^{\mathsf T}v}=\sum_kc_{k+m}e^{-\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m}e^{2\pi ik^{\mathsf T}v} $$
である。係数の一意性から、すべての $k,m\in\mathbb{Z}^g$ について
$$ c_{k+m}=c_k\exp\bigl(\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m+2\pi i\,k^{\mathsf T}\tau m\bigr) $$
が成り立つ。$k=0$ とおくと $c_m=c_0\,e^{\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m}$ であり、これは $\theta$ の Fourier 係数の $c_0$ 倍である。よって $f=c_0\theta$ である。$\theta$ 自身が 2 式を満たすことは prop-theta-divisor-quasi による。$\square$

$\theta$ の Fourier 係数 $c_0=1$ は $0$ でないので $\theta\not\equiv0$ であり、零点の集合は内点をもたない。prop-theta-divisor-quasi を $\theta(v-a)$ と $\theta(v)$ に当てると、$m\in\mathbb{Z}^g$ について
$$ h(v+m)\theta(v)=h(v)\theta(v),\qquad h(v+\tau m)e^{-\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m-2\pi i\,m^{\mathsf T}v}\theta(v)=h(v)e^{-\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m-2\pi i\,m^{\mathsf T}(v-a)}\theta(v) $$
である。$\theta$ で割ると（零点の集合の外で割り、連続性で延ばす）
$$ h(v+m)=h(v),\qquad h(v+\tau m)=e^{2\pi i\,m^{\mathsf T}a}h(v). $$
$h$ を $h(v)=\sum_kb_ke^{2\pi ik^{\mathsf T}v}$ と展開し、第 2 式の係数を比べると、すべての $k,m$ について $b_k\bigl(e^{2\pi ik^{\mathsf T}\tau m}-e^{2\pi im^{\mathsf T}a}\bigr)=0$ である。$\theta(v-a)\not\equiv0$ なので $h\not\equiv0$ であり、$b_k\ne0$ となる $k$ がある。$\tau$ は対称なので $k^{\mathsf T}\tau m=m^{\mathsf T}\tau k$ であり、すべての $m$ について $m^{\mathsf T}(\tau k-a)\in\mathbb{Z}$ となる。$m$ として標準基底をとると、$\tau k-a$ の各成分は整数である。よって $a\in\tau k+\mathbb{Z}^g\subset\Lambda_\tau$ である。$\square$

1：$\theta$ が零点をもたなければ、$a\in\mathbb{C}^g$ を何にとっても $\theta(v-a)/\theta(v)$ は整関数なので、thm-theta-divisor-translate から $\mathbb{C}^g=\Lambda_\tau$ となって矛盾する。2：$\theta(v-a)$ の零点の因子は $\Theta_\tau+a$ である。両者の因子が等しければ、因子の定義（Deb99 定義 IV.2.1、p. 41）により、各点の近くで $\theta(v-a)$ と $\theta(v)$ は零点をもたない正則関数倍の違いしかなく、商 $\theta(v-a)/\theta(v)$ は整関数に延びるので、thm-theta-divisor-translate から $a\in\Lambda_\tau$ である。逆に $a\in\Lambda_\tau$ なら、prop-theta-divisor-quasi により $\theta(v-a)$ は $\theta(v)$ の、零点をもたない関数倍である。$\square$

半指標であること：$\lambda=n+\tau m$、$\lambda'=n'+\tau m'$ について $E_\tau(\lambda,\lambda')=m^{\mathsf T}n'-m'^{\mathsf T}n$ であり、$(m+m')^{\mathsf T}(n+n')\equiv m^{\mathsf T}n+m'^{\mathsf T}n'+E_\tau(\lambda,\lambda')\pmod2$ である。
関数等式：右辺の因子を $a_\lambda(v)$ と書く。等式が $\lambda$ と $\mu$ で成り立てば、$\tilde\theta(v+\lambda+\mu)=a_\lambda(v+\mu)a_\mu(v)\tilde\theta(v)=a_{\lambda+\mu}(v)\tilde\theta(v)$（$a$ は保型因子。Appell–Humbertの定理 の記事の命題「$a^{(H,\alpha)}$ は保型因子」）となり、$-\lambda$ でも同様に成り立つ。よって $\lambda=n$ と $\lambda=\tau m$ で確かめればよい。$n$ は実ベクトルなので $H_\tau(v,n)=v^{\mathsf T}Y^{-1}n$ であり、$\theta(v+n)=\theta(v)$ から
$$ \frac{\tilde\theta(v+n)}{\tilde\theta(v)}=\exp\Bigl(\pi v^{\mathsf T}Y^{-1}n+\frac{\pi}{2}n^{\mathsf T}Y^{-1}n\Bigr)=a_n(v). $$
$\lambda=\tau m$ では、prop-theta-divisor-quasi により比の指数は
$$ \pi v^{\mathsf T}Y^{-1}\tau m+\frac{\pi}{2}m^{\mathsf T}\tau Y^{-1}\tau m-\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m-2\pi i\,m^{\mathsf T}v $$
である。$\bar\tau=\tau-2iY$ を使うと $\pi H_\tau(v,\tau m)=\pi v^{\mathsf T}Y^{-1}\bar\tau m=\pi v^{\mathsf T}Y^{-1}\tau m-2\pi i\,v^{\mathsf T}m$、$\frac{\pi}{2}H_\tau(\tau m,\tau m)=\frac{\pi}{2}m^{\mathsf T}\tau Y^{-1}\tau m-\pi i\,m^{\mathsf T}\tau m$ であり、指数は $\pi H_\tau(v,\tau m)+\frac{\pi}{2}H_\tau(\tau m,\tau m)$ に一致する。$\alpha_0(n)=\alpha_0(\tau m)=1$ なので等式が成り立つ。$\exp(\frac{\pi}{2}v^{\mathsf T}Y^{-1}v)$ は零点をもたないので、$\tilde\theta$ の零点の因子は $\Theta_\tau$ である。$\square$

Appell–Humbertの定理 により $L\cong L(H_\tau,\alpha)$ である。$\alpha/\alpha_0$ はユニタリ指標で、$E_\tau$ の行列式が $1$ なので、Appell–Humbertの定理 の記事の系「$\varphi_L$ とその核」の 2 により $\alpha/\alpha_0=\chi_x$（$\chi_x(\lambda)=e^{2\pi iE_\tau(x,\lambda)}$）となる $x\in X_\tau$ がただ一つある。同記事の系「平行移動の公式」により $L\cong t_x^*L(H_\tau,\alpha_0)$ である。$s\mapsto s\circ t_x$ は $H^0(L(H_\tau,\alpha_0))$ と $H^0(t_x^*L(H_\tau,\alpha_0))$ の同型で、前者の元は整関数 $\varphi$ で $\varphi(v+\lambda)=a_\lambda(v)\varphi(v)$（$a=a^{(H_\tau,\alpha_0)}$）を満たすものであり、prop-theta-divisor-line-bundle の $\tilde\theta$ と $\theta$ の関係から、$f:=\exp(-\frac{\pi}{2}v^{\mathsf T}Y^{-1}v)\varphi$ が thm-theta-divisor-unique の 2 式を満たすことと同値である。よってこの空間は 1 次元である。$0$ でない切断 $\tilde\theta\circ t_x$ の零点の因子は $\Theta_\tau-x$ である。これで、テータ因子はすべて平行移動 $\Theta_\tau+x'$ の形であることが分かり、$x'$ の一意性は cor-theta-divisor-translate の 2 による。$\square$