Serreのひねり層

Proj(次数付き環の射影スキーム) の定理「Proj はスキームである」の 1・2 の証明で、分子 $a\in S$ を $m\in M$ に置き換えればよい。2 で使う茎の同型は、$\mathfrak{q}=\psi(\mathfrak{p})$ として $(M_{(f)})_{\mathfrak{q}}\to M_{(\mathfrak{p})}$、$(m/f^k)/(b/f^n)\mapsto mf^n/(bf^k)$ である。

1：$S(n)_{(f)}$ は $S_f$ の次数 $n$ の元全体である。$f$ は $S_f$ の次数 $1$ の単元なので、$x\mapsto xf^n$ は $S_{(f)}$ 加群の同型 $S_{(f)}\to S(n)_{(f)}$ を与え、逆は $y\mapsto yf^{-n}$ である。prop-twist-tilde の 2 により $\mathcal{O}_X(n)|_{D_+(f)}$ は $f^n$ を基底とする自由加群層である。被覆：$S=S_0[S_1]$ なので $S_+$ は $S_1$ が生成するイデアルであり、$\mathfrak{p}\in X$ は $S_+$ を含まないから、ある $f\in S_1$ を含まない。
2：$(m/g)\otimes(m'/g')\mapsto(m\otimes m')/(gg')$ は、局所的に分数で書ける切断の組を局所的に分数で書ける切断に写すので、層の射 $\widetilde{M}\otimes\widetilde{N}\to(M\otimes_SN)^{\sim}$ を定める。同型であることは $D_+(f)$（$f\in S_1$）の上で確かめればよい。$f$ が $S_f$ の次数 $1$ の単元なので、次数付き $S_f$ 加群 $P$ は $P_d=f^dP_0$ をみたし、$P\cong P_0\otimes_{S_{(f)}}S_f$ である。これを $M_f$、$N_f$ に使うと
$$ (M\otimes_SN)_f\cong M_f\otimes_{S_f}N_f\cong(M_{(f)}\otimes_{S_{(f)}}N_{(f)})\otimes_{S_{(f)}}S_f $$
であり、$S_f=\bigoplus_dS_{(f)}f^d$ の次数 $0$ の部分をとって $(M\otimes_SN)_{(f)}\cong M_{(f)}\otimes_{S_{(f)}}N_{(f)}$ を得る。アフィンスキーム上では付随する層とテンソル積が交換する（準連接層の命題「付随する層をとる関手の性質」の 2）ので、$D_+(f)$ の上で射は同型である。$S(m)\otimes_SS(n)\cong S(m+n)$、$M\otimes_SS(n)\cong M(n)$ から残りの主張が従う。
3：$f^n=(f/g)^ng^n$ は $S_{fg}$ での等式で、$f/g$ の逆元は $g/f$ である。$\square$

$X$ は $D_+(x_0),\dots,D_+(x_r)$ で覆われ、$D_+(x_i)\cap D_+(x_j)=D_+(x_ix_j)$ である。prop-twist-tilde の 2 と層の条件により、$\Gamma(X,\mathcal{O}(n))$ の元は、$t_i\in(S_{x_i})_n$ の組 $(t_0,\dots,t_r)$ で、$t_i$ と $t_j$ の $(S_{x_ix_j})_n$ での像が一致するものと同じである。$x_i$ は $S$ の非零因子なので、局所化の写像 $S\to S_{x_i}\to S':=S_{x_0x_1\cdots x_r}$ はすべて単射であり、$\Gamma_*(\mathcal{O}_X)$ は $S'$ の中の共通部分 $\bigcap_iS_{x_i}$ と同一視される。
$S'$ は Laurent 単項式 $x^\nu=x_0^{\nu_0}\cdots x_r^{\nu_r}$（$\nu\in\mathbb{Z}^{r+1}$）を基底とする自由 $A$ 加群であり、$S_{x_i}$ は $j\neq i$ のすべてで $\nu_j\ge0$ となる単項式が張る部分加群である。$r\ge1$ なので、各添字 $j$ に対して $j\neq i$ となる $i$ がある。よって $\bigcap_iS_{x_i}$ はすべての $\nu_j\ge0$ となる単項式が張る部分加群、すなわち $S$ である。次数 $n$ の部分をとれば主張を得る。$\square$

$\mathcal{O}(m)\cong\mathcal{O}(n)$ なら、両辺に $\mathcal{O}(-n)$ をテンソルして thm-twist-invertible の 2 を使うと $\mathcal{O}(m-n)\cong\mathcal{O}$ であり、thm-twist-global-sections により $\Gamma(\mathcal{O}(m-n))\cong\Gamma(\mathcal{O})=A\neq0$ なので $m-n\ge0$ である。同様に $n-m\ge0$ なので $m=n$ である。$\square$

$U_i=\operatorname{Spec}B_i$（$B_i=S_{(f_i)}$）、$\mathcal{F}|_{U_i}=\widetilde{M_i}$ とし、$h_i:=f/f_i\in B_i$ とおく。$\mathcal{O}(1)|_{U_i}$ は $f_i$ を基底とし、$f=h_if_i$ なので、$\mathcal{F}(n)|_{U_i}\cong\mathcal{F}|_{U_i}$（$u\otimes f_i^n\leftrightarrow u$）の下で $f^n$ 倍は $h_i^n$ 倍に対応する。また $D_+(f)\cap U_i=D_+(ff_i)$ は $U_i$ の基本開集合 $D(h_i)$ である。
1：$t|_{U_i}\in M_i$ の $(M_i)_{h_i}=\Gamma(D(h_i),\mathcal{F})$ での像が $0$ なので、ある $n_i$ で $h_i^{n_i}t|_{U_i}=0$ である。$n=\max n_i$ とすればすべての $U_i$ の上で $f^nt=0$ である。
2：$s|_{D(h_i)}=m_i/h_i^k$（$m_i\in M_i$、$k$ は $i$ によらずにとれる）と書き、$t_i:=m_i\otimes f_i^k\in\Gamma(U_i,\mathcal{F}(k))$ とおく。$D(h_i)$ の上で $t_i=h_i^ks\otimes f_i^k=f^ks$ である。$U_i\cap U_j$ の上の $t_i-t_j$ は $D_+(f)\cap U_i\cap U_j$ で $0$ なので、アフィンスキーム $U_i\cap U_j$ の上で 1 と同じ議論により、ある $l$ で $f^l(t_i-t_j)=0$ となる（$l$ は有限個の組 $(i,j)$ で共通にとる）。よって $f^lt_i$ は貼り合わさって $t\in\Gamma(X,\mathcal{F}(k+l))$ を定め、$t|_{D_+(f)}=f^{k+l}s$ である。$\square$

$B_i=S_{(f_i)}=A[f_0/f_i,\dots,f_r/f_i]$ である（$S_{(f_i)}$ の元 $a/f_i^m$ の分子 $a\in S_m$ は $f_j$ の $m$ 次の多項式）。よって $B_i$ は Noether 環であり（Hilbert の基底定理）、$\mathcal{F}|_{U_i}=\widetilde{M_i}$ の $M_i$ は有限生成 $B_i$ 加群である（連接層の節「アフィンスキームと Noether スキームの場合」）。生成元 $s_{i1},\dots,s_{ik_i}$ をとる。lem-twist-extension の 2 により、ある $n_1$ で各 $f_i^{n_1}s_{ij}$ が大域切断 $t_{ij}\in\Gamma(X,\mathcal{F}(n_1))$ に延びる（組は有限個なので $n_1$ は共通にとれる）。$n\ge n_1$ では $f_i^{n-n_1}t_{ij}\in\Gamma(X,\mathcal{F}(n))$ が $f_i^ns_{ij}$ の延長である。
同型 $\mathcal{F}(n)|_{U_i}\cong\mathcal{F}|_{U_i}$（$u\otimes f_i^n\leftrightarrow u$）の下で $f_i^ns_{ij}$ は $s_{ij}$ に対応するので、$U_i$ の上ではこれらの延長が $\mathcal{F}(n)$ を生成する。すべての $i,j$ にわたる有限個の延長は、$U_0,\dots,U_r$ が $X$ を覆うので $X$ 全体で $\mathcal{F}(n)$ を生成する。$n_0=n_1$ とすればよい。$\square$

$n\ge n_0$ について全射 $\mathcal{O}_X^{\oplus N}\to\mathcal{F}(n)$ がある。可逆層 $\mathcal{O}_X(-n)$ とのテンソル積は全射を保ち、thm-twist-invertible の 2 により $\mathcal{F}(n)\otimes\mathcal{O}(-n)\cong\mathcal{F}$ なので、全射 $\mathcal{O}_X(-n)^{\oplus N}\to\mathcal{F}$ を得る。$\square$