テンソル場

要点：座標を取り替えると成分は Jacobi 行列の成分の積の和で変換されるので、変換関数は $C^\infty$ 級であり、ベクトル束の再構成の方法で位相と多様体の構造が入る。

1 ⇔ 2：座標近傍 $(U,\varphi)$ と prop-tf-bundle の座標近傍 $(\varphi\times\mathrm{id})\circ\Phi_U$ に関する $A|_U$ の局所表示は $x\mapsto\bigl(x,\ (A^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s}(\varphi^{-1}(x)))\bigr)$ である。$C^\infty$ 級であることは局所的な性質なので、$A$ が $C^\infty$ 級であることと、すべての座標近傍で成分が $C^\infty$ 級であることは同値である。
2 ⇒ 3 は明らか。3 ⇒ 2：任意の座標近傍 $(\tilde U;\tilde x^i)$ と点 $p\in\tilde U$ をとり、3 の族の座標近傍 $(U;x^i)$ で $p\in U$ となるものをとる。$U\cap\tilde U$ 上で $\tilde A$ の成分は、prf-tf-bundle の変換則（$x$ と $\tilde x$ の役割を入れ替えたもの）により、$C^\infty$ 級関数 $\partial\tilde x^l/\partial x^i$、$\partial x^k/\partial\tilde x^j$ と $A$ の成分の積の和なので $C^\infty$ 級である。$p$ は任意なので $\tilde A$ の成分は $\tilde U$ 上で $C^\infty$ 級である。
2 ⇒ 4：座標近傍 $U$ 上で $\omega^a=\omega^a_i\,dx^i$、$X_b=X_b^j\,\partial_j$ と書くと、係数は $C^\infty$ 級であり（ベクトル場 の記事の命題（滑らかさの同値な言い換え）と、$(0,1)$ 型に当てた 1 ⇔ 2）、多重線形性により
$$ A(\omega^1,\dots,X_s)=A^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s}\,\omega^1_{i_1}\cdots\omega^r_{i_r}\,X_1^{j_1}\cdots X_s^{j_s} $$
は $U$ 上で $C^\infty$ 級である。
4 ⇒ 2：座標近傍 $(U;x^i)$ と $p_0\in U$ をとる。ベクトル場 の記事の補題（隆起関数の存在と局所関数の延長）により、$\rho\in C^\infty(M)$ で $\operatorname{supp}\rho\subset U$、$p_0$ の開近傍 $U'$ 上で $\rho\equiv1$ となるものがある。$U$ 上で $\rho\,\partial_j$、$\rho\,dx^i$、$U$ の外で $0$ と定めたものを $E_j\in\mathfrak{X}(M)$、$\varepsilon^i\in\Omega^1(M)$ とする（係数 $\rho$ は同じ補題の 2 により $C^\infty$ 級）。$U'$ 上で
$$ A(\varepsilon^{i_1},\dots,\varepsilon^{i_r},E_{j_1},\dots,E_{j_s})=A^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s} $$
であり、左辺は 4 により $C^\infty$ 級である。$p_0$ は任意なので、成分は $U$ 上で $C^\infty$ 級である。$\square$

2 ⇒ 1 は上で述べた。1 ⇒ 2 を示す。記号を簡単にするため、ベクトル場の変数について述べる（1 形式の変数についても、座標ベクトル場 $\partial_j$ を座標 1 形式 $dx^i$ に替えて同じ議論が通る）。
局所性。ある変数 $X_b$ が点 $p$ の開近傍 $U$ 上で恒等的に $0$ なら、$\mathcal{A}(\dots,X_b,\dots)(p)=0$ である。実際、$\operatorname{supp}\rho\subset U$、$\rho(p)=1$ となる隆起関数 $\rho$（ベクトル場 の記事の補題（隆起関数の存在と局所関数の延長））をとると、$\rho X_b=0$ なので、線形性により
$$ 0=\mathcal{A}(\dots,\rho X_b,\dots)(p)=\rho(p)\,\mathcal{A}(\dots,X_b,\dots)(p)=\mathcal{A}(\dots,X_b,\dots)(p) $$
である。
各点性。$X_b|_p=0$ なら $\mathcal{A}(\dots,X_b,\dots)(p)=0$ である。実際、$p$ のまわりの座標近傍 $(U;x^i)$ 上で $X_b=X^j\partial_j$ と書くと $X^j(p)=0$ である。$\operatorname{supp}\rho\subset U$ で $p$ の開近傍 $U'$ 上で $\rho\equiv1$ となる $\rho$ をとり、$E_j:=\rho\,\partial_j$、$f^j:=\rho X^j$（$U$ の外では $0$）とおくと、$E_j\in\mathfrak{X}(M)$、$f^j\in C^\infty(M)$ で、$U'$ 上で $X_b=f^jE_j$ である。局所性を差 $X_b-f^jE_j$ に当て、線形性を使うと
$$ \mathcal{A}(\dots,X_b,\dots)(p)=\mathcal{A}(\dots,f^jE_j,\dots)(p)=f^j(p)\,\mathcal{A}(\dots,E_j,\dots)(p)=0 $$
である（$f^j(p)=\rho(p)X^j(p)=0$）。線形性と合わせると、$\mathcal{A}(\omega^1,\dots,X_s)(p)$ は各変数の $p$ での値だけで決まる。
テンソル場の構成。$p\in M$、$\alpha^a\in T_p^*M$、$v_b\in T_pM$ に対し、$\omega^a_p=\alpha^a$、$X_b|_p=v_b$ となる $\omega^a\in\Omega^1(M)$、$X_b\in\mathfrak{X}(M)$ をとって
$$ A_p(\alpha^1,\dots,\alpha^r,v_1,\dots,v_s):=\mathcal{A}(\omega^1,\dots,\omega^r,X_1,\dots,X_s)(p) $$
と定める。このような延長は存在する（$v=v^j\partial_j|_p$ なら、上の $\rho$ について $v^j\rho\,\partial_j$ をとればよい。$\alpha$ についても同様）。各点性により右辺は延長の選び方によらず、延長を線形にとれるので $A_p$ は多重線形である。こうして得たテンソル場 $A$ について $A(\omega^1,\dots,X_s)=\mathcal{A}(\omega^1,\dots,X_s)$ は $C^\infty$ 級なので、thm-tf-smoothness の 4 により $A$ は滑らかである。$A_p$ の値はすべて $\mathcal{A}$ で決まるので、$A$ は一つに決まる。$\square$

$\mathcal{A}(\omega,X_1,\dots,X_s):=\omega(\mathcal{B}(X_1,\dots,X_s))$ は $C^\infty(M)$ 上で多重線形なので、thm-tf-characterization により対応する $(1,s)$ 型テンソル場 $B$ がある。$B_p(\cdot,v_1,\dots,v_s)\in(T_p^*M)^*=T_pM$ が $\mathcal{B}(X_1,\dots,X_s)(p)$ に一致する（$T_p^*M$ のすべての元との対が一致するので）。$\square$

1：接空間 の記事の命題（微分の局所座標表示）により $dF_p(\partial_{x^j}|_p)=\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\,\partial_{y^i}|_{F(p)}$ である。これを定義に代入し、$A_{F(p)}$ の多重線形性を使うと式を得る。右辺は $C^\infty$ 級関数の積の和である。$F(U)\subset V$ となる座標近傍 $U$ は $M$ を覆うので、thm-tf-smoothness の 3 により $F^*A$ は滑らかである。
2：各点で、定義の右辺が $A$ について線形であり、$(fA)_{F(p)}=f(F(p))A_{F(p)}$、$(A\otimes B)_{F(p)}(dF_pv_1,\dots)=A_{F(p)}(dF_pv_1,\dots)\,B_{F(p)}(\dots)$ であることから従う。
3：接空間 の記事の定理（連鎖律）$d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p$ を定義に代入すると $((G\circ F)^*A)_p(v_1,\dots)=A_{G(F(p))}(dG\,dF_pv_1,\dots)=(G^*A)_{F(p)}(dF_pv_1,\dots)=(F^*(G^*A))_p(v_1,\dots)$ である。$\mathrm{id}_N$ の微分は恒等写像である。
4：対称性は $g$ の対称性から従う。$v\in T_pM$ について $(F^*g)_p(v,v)=g_{F(p)}(dF_pv,dF_pv)\ge0$ であり、$g$ は正定値なので、等号は $dF_pv=0$ のときに限る。よって $(F^*g)_p$ が正定値であることは、$dF_pv=0$ となる $v$ が $0$ だけであること、すなわち $dF_p$ が単射であることと同値である。滑らかさは 1 による。$\square$