キャップ積

前提知識: 特異コホモロジー, カップ積, 向き付け可能多様体

余鎖は特異単体の上の「測り方」であり、カップ積 は単体の前半と後半をそれぞれ別の余鎖で測って掛ける操作だった。同じ発想で、単体の前半を余鎖で測って数を得て、後半の面はそのまま残すと、鎖と余鎖から次数の下がった鎖が得られる。これが キャップ積（cap product）である。キャップ積はホモロジーとコホモロジーの間の積 $H_k(X;R)\times H^\ell(X;R)\to H_{k-\ell}(X;R)$ を誘導し、ホモロジーをコホモロジー環の上の加群にする。
キャップ積のいちばん重要な使い道は Poincaré双対 である。向き付けられた $n$ 次元閉多様体 $M$ の基本類 $[M]$ とのキャップ積 $\alpha\mapsto[M]\frown\alpha$ は、コホモロジー $H^k(M)$ からホモロジー $H_{n-k}(M)$ への同型を与える。カップ積とキャップ積は $\psi(c\frown\varphi)=(\varphi\smile\psi)(c)$ という式で互いに双対であり、多様体の上のカップ積の対の非退化性はこの式を通じて Poincaré 双対から導かれる。

定義

$R$ を単位元をもつ可換環とし、特異鎖と特異余鎖の係数はすべて $R$ とする。カップ積 の定義と同じく、標準 $k$ 単体 $\Delta^k$ の頂点を $e_0,\dots,e_k$ とし、特異 $k$ 単体 $\sigma\colon\Delta^k\to X$ と $0\le i_0<\cdots< i_m\le k$ に対し、頂点 $e_j$ を $e_{i_j}$ に送るアフィン写像と $\sigma$ の合成を $\sigma|[e_{i_0},\dots,e_{i_m}]$ と書く。$\sigma$ の $i$ 番目の面は $\sigma|[e_0,\dots,\widehat{e_i},\dots,e_k]$ であり、境界作用素は $\partial\sigma=\sum_i(-1)^i\sigma|[e_0,\dots,\widehat{e_i},\dots,e_k]$、余境界作用素は $\delta\varphi=\varphi\circ\partial$ である。

$\sigma$ の前の $\ell$ 面 $\sigma|[e_0,\dots,e_\ell]$ で $\varphi$ を測って係数を得て、後ろの $(k-\ell)$ 面 $\sigma|[e_\ell,\dots,e_k]$ を残す。両者は頂点 $e_\ell$ を共有する。これは Poincaré双対 の定義「鎖と余鎖のキャップ積」（頂点を $v_i$ と書いている）、Hat02 §3.3（p. 239）と同じ式・同じ符号である。
2 単体と 1 余鎖のキャップ積（左）と、トーラスの基本類とのキャップ積（右）
左の図のように、2 単体 $\sigma$ と 1 余鎖 $\varphi$ のキャップ積は、底辺 $[e_0,e_1]$ での $\varphi$ の値を係数にもつ辺 $\sigma|[e_1,e_2]$ である。右の図はあとで計算するトーラスの例（thm-cap-product-torus）である。
定義からすぐにわかることを挙げる。定数関数 $1\in C^0(X;R)$（各特異 $0$ 単体に $1$ を割り当てる余鎖）について $\sigma\frown1=1\cdot\sigma|[e_0,\dots,e_k]=\sigma$ である。$k=\ell$ のときは、$\sigma\frown\varphi=\varphi(\sigma)\,\sigma|[e_k]$ は点 $\sigma(e_k)$ に係数 $\varphi(\sigma)$ を付けた $0$ 鎖である。したがって、各特異 $0$ 単体を $1$ に送る添加写像 $\varepsilon\colon C_0(X;R)\to R$ について
$$ \varepsilon(c\frown\varphi)=\varphi(c)\qquad(c\in C_k(X;R),\ \varphi\in C^k(X;R)) $$
が成り立つ。次数が等しいキャップ積は、余鎖を鎖で評価する対 $\varphi(c)$ を $0$ 鎖として書いたものである。

境界公式とホモロジーでの積

この補題は Poincaré双対 の補題「キャップ積の境界公式」の 1 と同じ式であり（同記事は証明の筋を述べて Hat02 に譲っている）、Hat02 p. 240 の式と符号も一致する。

同じ式で、相対版 $H_k(X,A;R)\times H^\ell(X;R)\to H_{k-\ell}(X,A;R)$ と $H_k(X,A;R)\times H^\ell(X,A;R)\to H_{k-\ell}(X;R)$ も定まる（Hat02 p. 240。後者は $A$ の鎖と $A$ の上で $0$ になる余鎖のキャップ積が $0$ であることによる）。境界付き多様体の Lefschetz 双対（Poincaré双対 の定理「Lefschetz 双対」）はこの相対版で述べられる。

基本性質：自然性とカップ積との関係

1 は Hat02 p. 241 の自然性、2 は Hat02 p. 249 の式 (∗)、1 と 3 のホモロジー版は Gysin写像 の補題「キャップ積の自然性と結合性」と同じ内容である。3 の順序に注意する。$c\frown\varphi$ に続けて $\psi$ を作用させると、カップ積は $\varphi\smile\psi$ の順になる（右からの作用）。順序を逆にした式は一般に成り立たない（ex-cap-product-counterexamples の 3）。
2 は、「$\varphi$ とのカップ積」と「$\varphi$ とのキャップ積」が互いの双対であることを意味する。ホモロジーで書くと、$a\in H_{m+\ell}(X;R)$、$\alpha\in H^m(X;R)$、$\beta\in H^\ell(X;R)$ について、Kronecker 対を $\langle\beta,z\rangle$ と書けば
$$ \langle\beta,\ a\frown\alpha\rangle=\langle\alpha\smile\beta,\ a\rangle $$
であり、評価写像 $h\colon H^\ell(X;R)\to\operatorname{Hom}_R(H_\ell(X;R),R)$ を使うと次の図式が可換になる。
$$ \xymatrix{ H^\ell(X;R) \ar[r]^{\alpha\smile} \ar[d]_{h} & H^{m+\ell}(X;R) \ar[d]^{h} \\ \operatorname{Hom}_R(H_\ell(X;R),R) \ar[r]_{(\frown\alpha)^*} & \operatorname{Hom}_R(H_{m+\ell}(X;R),R) } $$
図式が可換とは、$h(\alpha\smile\beta)=h(\beta)\circ(\frown\alpha)$、すなわち上の等式のことである（下の横の写像は $a\mapsto a\frown\alpha$ の双対）。$R$ が体のときは普遍係数定理により $h$ は同型なので（特異コホモロジー の定理「普遍係数定理」）、$\alpha$ とのカップ積は $\alpha$ とのキャップ積の双対写像そのものであり、一方から他方が決まる（Hat02 p. 249）。

Poincaré 双対の写像

$M$ を $n$ 次元の閉多様体（コンパクトで境界のない位相多様体）とし、$R$ 向き付けられているとする。連結なら、$H_n(M;R)\cong R$ の生成元で各点の局所的な向きを与えるもの、すなわち基本類 $[M]$ がただ 1 つある（向き付け可能多様体 の定理「最高次のホモロジーと向き」、Poincaré双対 の定理「基本類の存在と一意性」）。

Poincaré双対 の定理「閉多様体の Poincaré 双対」は、$D_M$ がすべての $k$ で同型であることを述べる（Hat02 Theorem 3.30、p. 241）。その証明は開集合の上の Mayer–Vietoris 完全列による帰納法で、同記事の「証明」の節が構成を述べている。prop-cap-product-properties の 2 により、カップ積の対は
$$ \langle\alpha\smile\beta,\ [M]\rangle=\langle\beta,\ D_M(\alpha)\rangle\qquad(\alpha\in H^k,\ \beta\in H^{n-k}) $$
と Poincaré 双対の写像で書ける。体係数のカップ積の対が完全対になること（Poincaré双対 の系「体係数の非退化対」）は、この式と $D_M$ が同型であることから従う。
トーラスでは、Poincaré 双対の写像をすべての次数で直接計算できる。カップ積 の節「トーラスのコホモロジー環」と同じく、$q\colon\mathbb{R}^2\to T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ と $\mathbb{R}^2$ の点 $p_0,\dots,p_k$ について、$e_j\mapsto p_j$ となるアフィン写像と $q$ の合成を $[p_0,\dots,p_k]$ と書き、
$$ v=[(0,0)],\quad a=[(0,0),(1,0)],\quad b=[(0,0),(0,1)],\quad c=[(0,0),(1,1)],\quad L=[(0,0),(1,0),(1,1)],\quad U=[(0,0),(0,1),(1,1)] $$
とおく。$L$ の前の 1 面は $a$、後ろの 1 面は $[(1,0),(1,1)]=b$、$U$ の前の 1 面は $b$、後ろの 1 面は $[(0,1),(1,1)]=a$、$L$ と $U$ の最後の頂点はどちらも $[(1,1)]=v$ である（平行移動 $\mathbb{Z}^2$ で同じ単体になる）。$\partial L=\partial U=a+b-c$ なので $L-U$ は輪体であり、その類は $H_2(T^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元である（Hat02 Example 2.3、p. 106 は $U-L$ を生成元とする。単体ホモロジーと特異ホモロジーの一致は Hat02 Theorem 2.27）。$H_1(T^2;\mathbb{Z})$ は $[a],[b]$ を基底にもち、$H_0(T^2;\mathbb{Z})$ は点の類 $[v]$ で生成される。

$D(\alpha)=[b]$、$D(\beta)=-[a]$ は、Hat02 Example 3.31（p. 241）が種数 $g$ の閉曲面について示す $[M]\frown\varphi_i=b_i$、$[M]\frown\psi_i=-a_i$ と同じ形である。prop-cap-product-properties の 2 で検算すると $\langle\beta,D(\alpha)\rangle=\beta(b)=1=\langle\alpha\smile\beta,[T^2]\rangle$ となる。この基本類の取り方は Poincaré双対 の例「トーラスの双対」の約束 $(a\smile b)([T^2])=1$ と同じである。

反例

規約の違い

文献によっては、余鎖を後ろの面で評価し、前の面を残す規約をとる（Poincaré双対 の定義「鎖と余鎖のキャップ積」の後の注意）。その規約の積を $c\frown'\varphi$ と書いて比べる。右の列の式は、この記事の lem-cap-product-boundary・prop-cap-product-properties と同じ直接の計算で確かめられる。

体 $F$ 係数では、2 つの規約はホモロジーの類として符号 $(-1)^{\ell(k-\ell)}$ だけ違う。実際、$a\in H_k(X;F)$、$\varphi\in H^\ell$、$\psi\in H^{k-\ell}$ について、カップ積の次数付き可換性（カップ積 の定理「次数付き可換性」）から $\langle\psi,a\frown'\varphi\rangle=\langle\psi\smile\varphi,a\rangle=(-1)^{\ell(k-\ell)}\langle\varphi\smile\psi,a\rangle=(-1)^{\ell(k-\ell)}\langle\psi,a\frown\varphi\rangle$ であり、体係数ではホモロジーの類はすべてのコホモロジー類との対で決まる（普遍係数定理）。Poincaré 双対の写像は規約によって符号が変わりうるが、同型であることとその帰結は変わらない。

注意

• キャップ積は、Poincaré 双対を通じてコホモロジーの側の操作をホモロジーの側に移す道具である。Gysin写像 はホモロジーの押し出しを Poincaré 双対でコホモロジーに移したものであり、サイクル類写像 の定義では、向き付けられた多様体の Borel–Moore ホモロジーの基本類とのキャップ積が Poincaré 双対の同型を与える（同記事の節「複素数体上の位相的なサイクル類」）。
• 多様体の上では、カップ積の対 $\langle\alpha\smile\beta,[M]\rangle$ とキャップ積 $[M]\frown\alpha$ は prop-cap-product-properties の 2 で結ばれている。整数係数で捩れがあるときは、評価写像 $h$ が同型とは限らないので、カップ積とキャップ積は互いに決め合うとは限らない（Hat02 p. 249）。
• カップ積は、積空間 $X\times X$ のコホモロジーのクロス積 $a\times b$ を対角写像 $X\to X\times X$ で引き戻したものとも書ける（Hat02 pp. 279–280）。キャップ積についても、ホモロジーとコホモロジーを組み合わせたスラント積という積が、同じ関係にある（この記事では証明しない。Hat02 §3.B の演習 5、p. 280 の問題文にある注意である）。

関連項目

• 前提: 特異コホモロジー, カップ積, 向き付け可能多様体
• 比較: 特異ホモロジー
• 直後に読む: Poincaré双対
• 発展: Gysin写像, サイクル類写像, Lefschetz不動点公式