胞体分解定理(o-極小)

$s\in S$、$t\in I\setminus S$ があるとして矛盾を導く。$s< t$ の場合を示す（逆も同様）。$e:=\sup\{x\in[s,t]\mid[s,x]\subset S\}$ とおく（定義可能な完備性により $e\in[s,t]$）。$e\in S$ なら、$S$ が開なので $e$ を含む開区間が $S$ に含まれ、$e\ne t$ だから、$e$ より少し大きい $x$ で $[s,x]\subset S$ となり、上限であることに反する。$e\notin S$ なら $e>s$ で、$I\setminus S$ が開なので、ある $e'< e$ について $(e',e]$ は $S$ と交わらない。一方、上限の定義から $x\in(e',e]$ で $[s,x]\subset S$ となるものがあり、矛盾である。$\square$

$B:=\{d\in I\mid$ すべての $x\in(a,d)$ について $g(x)\le g(d)\}$ は定義可能なので、ある $\alpha\in I$ について $(a,\alpha)\subset B$ または $(a,\alpha)\cap B=\emptyset$ である。

場合 1：$(a,\alpha)\subset B$。$\gamma\in(a,\alpha)$ をとり、$\gamma< \delta< \alpha$ かつ $\delta< g(\gamma)$ となる $\delta$ を選ぶ（$g(\gamma)>\gamma$ と順序の稠密性による）。$J:=(\gamma,\delta)$ とする。$x,y\in J$ なら $x\in B$ で $\gamma\in(a,x)$ なので $g(\gamma)\le g(x)$ であり、$y< \delta< g(\gamma)\le g(x)$ である。

場合 2：$(a,\alpha)\cap B=\emptyset$。$\beta\in(a,\alpha)$ をとる。$\beta\notin B$ なので $t_0\in(a,\beta)$ で $g(t_0)>g(\beta)$ となるものがある。特に $c:=g(\beta)\in M$ で、$c>\beta$ である。$S:=\{x\in(a,\beta)\mid g(x)>c\}$ は無限集合である。実際 $t_0\in S$ であり、$t_k\in S$ があれば $t_k\in(a,\alpha)$ は $B$ に属さないので $t_{k+1}\in(a,t_k)$ で $g(t_{k+1})>g(t_k)>c$ となるものがあり、$t_0>t_1>\cdots$ は $S$ の相異なる元である。$S$ は定義可能なので開区間 $J\subset(a,\beta)$ を含む。$x,y\in J$ なら $y< \beta< c< g(x)$ である。$\square$

$f$ は単射なので像 $f(I)$ は無限の定義可能集合であり、開区間 $K$ を含む。$J:=\{x\in I\mid f(x)\in K\}$ とおく。$x< z< y$ で $x,y\in J$ なら $f(x)< f(z)< f(y)$ なので $z\in J$、すなわち $J$ は凸な定義可能集合で、有限個の点と区間の和なので 1 つの区間である。$f(J)=K$ であり、$K$ は最大元も最小元ももたないので、$f$ が増加であることから $J$ も最大元・最小元をもたず、$J$ は開区間である。$f|_J\colon J\to K$ は順序を保つ全単射である。連続性：$x\in J$ と $f(x)$ を含む開区間 $W$ をとる。$K\cap W$ は $f(x)$ を含む開区間なので、$c< f(x)< d$ となる $c,d\in K\cap W$ があり、$c=f(x_1)$、$d=f(x_2)$（$x_1< x< x_2$）と書ける。$z\in(x_1,x_2)$ なら $f(z)\in(c,d)\subset W$ である。$\square$

$I=(a,b)$、$x\in I$ を固定し、$e:=\sup\{y\in(x,b)\mid f$ は $[x,y]$ 上で狭義増加$\}$ とおく。仮定からこの集合は空でない。$e< b$ とすると、$e$ を含む開区間 $(e_1,e_2)$ で $f$ は狭義増加であり、上限の定義から $y\in(\max(x,e_1),e)$ で $f$ が $[x,y]$ 上で狭義増加となるものがある。$u< v$ が $[x,y]\cup(e_1,e_2)$ の元なら、同じ部分にあれば $f(u)< f(v)$ であり、$u\in[x,y]$、$v\in(y,e_2)$ なら $f(u)\le f(y)< f(v)$ である。よって、$e< z< e_2$ となる点 $z$ をとると $f$ は $[x,z]$ 上で狭義増加であり（$[x,z]\subset[x,y]\cup(e_1,e_2)$）、$e$ が上限であることに反する。したがって $e=b$ であり、$x< y$ なら $f(x)< f(y)$ である。定数・狭義減少の場合も同じ議論である。$\square$

狭義増加なら $L:=\inf f((c,c'))\in\overline{M}$（定義可能な完備性。下に有界でなければ $-\infty$）とおく。$L$ を含む $\overline{M}$ の開区間 $(p,q)$（または $[-\infty,q)$）に対し、下限の定義から $f(x_1)< q$ となる $x_1\in(c,c')$ があり、$x\in(c,x_1)$ なら $L\le f(x)\le f(x_1)< q$ である。よって $f(x)\to L$ である。減少なら上限をとり、定数なら明らかである。$\square$

$E$ が無限集合だとすると、開区間 $I_1\subset E$ を含む。$x\in I_1$ について、正常でない $y$ の集合は $\overline{M}$ の空でない閉集合で定義可能なので、最小元 $\beta(x)$ をもつ（下限をとり、閉であることを使う）。$A_x$ は有限なので

$$l(x):=\max\{y\in A_x\mid y< \beta(x)\},\qquad u(x):=\min\{y\in A_x\mid y>\beta(x)\}$$

（該当する元がなければ $-\infty$、$+\infty$）が定まり、$\beta,l,u$ は定義可能である。「$\beta,l,u$ が $\pm\infty$ をとるか」「$\beta(x)\in A_x$ か」で $I_1$ を有限個の定義可能集合に分けると、そのどれかが開区間 $I_2$ を含む。$\beta,l,u$ のうち $M$ に値をとるものに単調性定理を当てはめ、開区間 $I_3\subset I_2$ で $\beta,l,u$ がすべて連続になるものをとる。$x_0\in I_3$ とし、$\beta(x_0)$ を含む $\overline{M}$ の開区間 $K$ を、$l(x_0)$ より上にあり、$u(x_0)\ne+\infty$ なら $u(x_0)$ より下にあるようにとる（$l(x_0)< \beta(x_0)< u(x_0)$ なのでとれる。$\beta(x_0)=+\infty$ なら $u\equiv+\infty$ で、$K$ は $(c,+\infty]$ の形、$\beta(x_0)=-\infty$ なら $K$ は $[-\infty,d)$ の形）。$l,u,\beta$ の連続性により、$x_0$ を含む開区間 $J\subset I_3$ で、$x\in J$ について $\beta(x)\in K$ であり、$K$ が $l(x)$ より上、（$u$ が有限なら）$u(x)$ より下にあるものがとれる。このとき $x\in J$ について $A_x\cap K\subset\{\beta(x)\}$ である（$l(x)$ と $u(x)$ の間にある $A_x$ の元は $\beta(x)$ だけ）。$I_3$ 上で $\beta(x)\notin A_x$ なら $A\cap(J\times K)=\emptyset$、$\beta(x)\in A_x$ なら $A\cap(J\times K)$ は連続関数 $\beta|_J$ のグラフである。どちらでも $(x_0,\beta(x_0))$ は正常であり、矛盾する。

$J$ を $I\setminus E$ に含まれる開区間とし、$a\in J$、$A_a=\{b_1< \cdots< b_m\}$ とする。各 $(a,b_i)$ は正常で $A$ に属するので、開箱 $J_i\times K_i$ で $A\cap(J_i\times K_i)$ が連続関数 $\varphi_i$（$\varphi_i(a)=b_i$）のグラフになるものがある。$K_i$ を $b_i$ を含む互いに交わらない開区間に縮め、$\varphi_i$ の連続性で $J_i$ も縮めて、$J':=\bigcap_iJ_i$ とする。$x\in J'$ なら各 $K_i$ に $A_x$ の元がちょうど 1 つずつあるので $\lvert A_x\rvert\ge m$ である。

$a$ のすぐ右で $\lvert A_x\rvert>m$ となる、すなわち「$A_x\setminus\bigcup_iK_i\ne\emptyset$ となる $x$ の集合」が $(a,a')$ を含むとする。$\gamma(x):=\min(A_x\setminus\bigcup_iK_i)$（$x\in(a,a')$）は定義可能で、cor-cdo-one-sided-limit により $y^*:=\lim_{x\to a+}\gamma(x)\in\overline{M}$ が存在する。$\gamma(x)$ は開集合 $\bigcup_iK_i$ の外にあるので $y^*$ もその外にあり、特に $y^*\notin A_a$ である。$(a,y^*)$ は正常なので、$A$ と交わらない開箱 $J''\times K''$ が $(a,y^*)$ のまわりにとれる。ところが $x\to a+$ で $(x,\gamma(x))\to(a,y^*)$ であり、$(x,\gamma(x))\in A$ がこの箱に入る。これは矛盾である。左側も同様なので、$a$ の近くで $\lvert A_x\rvert=m$ である。

よって、各 $m$ について $\{x\in J\mid\lvert A_x\rvert=m\}$ とその補集合はどちらも $J$ の開集合で定義可能であり、lem-cdo-interval-connected により $\lvert A_x\rvert$ は $J$ 上で一定である。$E$ は有限で、$I\setminus E$ は有限個の開区間の和なので、$\lvert A_x\rvert$ は有限個の値しかとらない。$\square$

段 1。$B=I\times K$ とし、$E:=\{(x,y)\in B\mid y$ を含むどの開区間の上でも $f(x,\cdot)$ は「連続かつ定数または狭義単調」でない$\}$ とおく。単調性定理により各 $E_x$ は有限集合である。thm-cdo-plane-sets により $B$、$E$ と両立する分解 $\mathcal{D}$ をとる。底の分点以外の $x\in I$ をとると、$\{x\}\times K$ は無限集合で、$x$ を含む底の区間の上のグラフとは 1 点ずつしか交わらないので、ある帯 $C\in\mathcal{D}$ と交わる。$C$ は $B$ と交わるので $C\subset B$ であり、$C$ のファイバーは無限なので $C\not\subset E$、よって $C\cap E=\emptyset$ である。$C=(g,h)_U$ の点 $(x_0,y_0)$ をとり、$g(x_0)< c< y_0< d< h(x_0)$ となる $c,d$ と、$g< c$、$d< h$ が成り立つ $x_0$ の近くの開区間 $U'$ をとると、$U'\times(c,d)\subset C$ である。この小箱の上では、各 $x$ について $f(x,\cdot)$ は $(c,d)$ の各点の近くで連続かつ定数または狭義単調なので、lem-cdo-interval-connected と lem-cdo-local-global（単調性定理の証明と同じ議論）により、$(c,d)$ 全体で連続かつ定数または狭義単調である。

段 2。座標を入れ替えた $\tau(x,y)=(y,x)$ で同じ議論をすると、段 1 の小箱の中に小箱 $B'=U''\times V''$ で、各 $y$ について $f(\cdot,y)$ が $U''$ 上で連続なものがとれる。段 1 の性質は小箱に移っても保たれる。

段 3。$(a,b)\in B'$ と $f(a,b)$ を含む開区間 $W$ をとる。$f(a,\cdot)$ の連続性により、$b_1< b< b_2$ で $f(a,b_1),f(a,b_2)\in W$ となる $b_1,b_2\in V''$ がある。$f(\cdot,b_1)$、$f(\cdot,b_2)$ の連続性により、$a$ を含む開区間 $U_0$ で、$x\in U_0$ について $f(x,b_1),f(x,b_2)\in W$ となるものがある。$(x,y)\in U_0\times(b_1,b_2)$ なら、$f(x,\cdot)$ は定数または狭義単調なので $f(x,y)$ は $f(x,b_1)$ と $f(x,b_2)$ の間（両端を含む）にあり、$W$ は区間なので $f(x,y)\in W$ である。よって $f$ は $(a,b)$ で連続である。$\square$

$C\subset M^n$ を定義可能に連結な胞体とする。グラフ $\Gamma(f)$ の場合、射影 $\pi\colon\Gamma(f)\to C$ は定義可能な同相写像（逆写像 $x\mapsto(x,f(x))$）なので、$\Gamma(f)$ の中で開かつ閉な定義可能集合は $C$ の中で開かつ閉な定義可能集合に移り、$\Gamma(f)$ も定義可能に連結である。

帯 $Y=(f,g)_C$ の場合、$Y=U\sqcup V$（$U,V$ は $Y$ の中で開かつ閉な定義可能集合）とする。各 $x\in C$ のファイバー $Y_x=(f(x),g(x))$ は開区間なので、lem-cdo-interval-connected により $U_x$ は $\emptyset$ か $Y_x$ である。よって $U=Y\cap\pi^{-1}(\pi(U))$、$V=Y\cap\pi^{-1}(\pi(V))$ で、$\pi(U),\pi(V)$ は $C$ を分割する定義可能集合である。$\pi(U)$ は $C$ の中で開である：$(x,y)\in U$ について、$U$ は $Y$ の中で開なので、$x$ の近傍 $C\cap O$ と $y$ を含む開区間 $K$ で $Y\cap(O\times K)\subset U$ となるものがあり、$f,g$ の連続性で $O$ を縮めると、$x'\in C\cap O$ について $K$ の点 $y$ が $Y_{x'}$ に入るので $x'\in\pi(U)$ である。同様に $\pi(V)$ も開なので、$C$ の定義可能な連結性から $\pi(U)$ か $\pi(V)$ は空であり、$U$ か $V$ は空である。$\square$